수축량 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|수축기}}
[[파일:TorusSystoleLoop.png|섬네일|right|이 원환면 위에서, 수축 불가능 폐곡선 가운데 길이가 최소인 것은 붉게 표시된 폐곡선이며, 그 길이는 이 원환면이 수축량이다.]]

[[기하학]]에서, '''수축량'''(收縮量, {{llang|en|systole|시스톨}})은 어떤 [[거리 공간]]에서, [[상수 함수]]와 [[호모토픽]]하지 않는 [[폐곡선]]의 최소 길이이다.<ref name="Berger08">{{저널 인용|성=Berger|이름= Marcel|저자링크=마르셀 베르제|제목= What is … a systole? |url=http://www.ams.org/notices/200803/tx080300374p.pdf | 저널= Notices of the American Mathematical Society | 권=55 |날짜=2008|호=3|쪽=374–376|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Katz|이름= Mikhail G. |제목= Systolic geometry and topology|총서= Mathematical Surveys and Monographs|권= 137|출판사=  American Mathematical Society|날짜= 2007|isbn= 978-0-8218-4177-8|doi=10.1090/surv/137|mr=2292367|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Gromov|이름=Mikhail|저자링크=미하일 그로모프|장url=http://smf4.emath.fr/Publications/SeminairesCongres/1996/1/pdf/smf_sem-cong_1_291-362.pdf|장=Systoles and intersystolic inequalities|제목=Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992)|쪽=291—362|총서=Sémin. Congr.|권=1|출판사=Soc. Math. France|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|날짜=1996|언어=en|access-date=2018-06-15|archive-date=2017-08-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20170809211918/http://smf4.emath.fr/Publications/SeminairesCongres/1996/1/pdf/smf_sem-cong_1_291-362.pdf}}</ref>

== 정의 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[거리 공간]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math> 속의 폐곡선
:<math>\gamma \colon \mathbb S^1 = [0,1]/(0\sim 1) \to X</math>
의 길이
:<math>\operatorname{length}\gamma =\sup_{n\in\mathbb Z^+}\sup_{t_0,t_1,t_2,\dotsc,t_n\in[0,1]}\sum_{i=1}^n d(\gamma(t_{i-1}),\gamma(t_i)) \in [0,\infty]</math>
를 생각하자.

<math>X</math>의 '''수축량'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{sys}X = \inf\{\operatorname{length}\gamma\colon \gamma \in \mathcal C^0(\mathbb S^1,X), \; 1_{ \pi_1(X,\gamma(0))} \ne [\gamma] \in \pi_1(X,\gamma(0))\}</math>
여기서 <math>\pi_1(X,\gamma(0))</math>은 [[점을 가진 공간]] <math>(X,\gamma(0))</math>의 [[기본군]]이다. 즉, [[기본군]]에서 자명하지 않은 동치류를 갖는 [[폐곡선]]의 길이의 [[하한]]이다.

<math>n</math>차원 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>M</math>의 '''수축량비'''(收縮量比, {{llang|en|systolic ratio}})는 다음과 같은 값이다.
:<math>\operatorname{SR}(M) = \frac{(\operatorname{sys}M)^n}{\operatorname{vol}M}\in[0,\infty]</math>
(만약 <math>M</math>이 [[단일 연결 공간]]이라면, 수축량비는 무한대이다.)

== 성질 ==
임의의 [[리만 다양체]] 구조가 주어진 2차원 [[원환면]] <math>\mathbb T^2</math>을 생각하자. 그 위에는 다음과 같은 '''뢰브너 부등식'''({{llang|en|Loewner inequality}})이 성립한다.
:<math>\operatorname{SR}\mathbb T^2 \le \frac2{\sqrt3}</math>
여기서 <math>\operatorname{vol}(\mathbb T^2)</math>는 원환면의 넓이이다.

마찬가지로, [[실수 사영 평면]] <math>\mathbb R\mathrm P^2</math> 위에는 다음과 같은 '''푸 부등식'''([蒲]不等式, {{Llang|en|Pu’s inequality}})이 성립한다.
:<math>\operatorname{SR}\mathbb R\mathrm P^2 \le \frac\pi2</math>

각종 곡면에 대하여, 수축량비의 상한은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 곡면 !! 수축량비의 상한 !! 수축량비의 상한을 포화하는 [[리만 계량]]
|-
| [[구 (기하학)|구]] <math>\mathbb S^2</math> || ∞ || ([[기본군]]이 [[자명군]])
|-
| [[원환면]] <math>\mathbb T^2</math> || <math>2/\sqrt3</math> || 정삼각형 격자의 몫 <math>\mathbb C/(\mathbb Z+\exp(\pi\mathrm i/3)\mathbb Z)</math>으로 주어지는, 곡률 0의 [[원환면]]
|-
| [[실수 사영 평면]] <math>\mathbb R\mathrm P^2</math> || <math>\pi/2</math> || 대칭 [[구 (기하학)|구]]의 대척점에 대한 몫 <math>\{x\in\mathbb R^3\colon \|x\|=1\}/(x\sim -x)</math>
|-
| [[클라인 병]]  <math>\mathbb R\mathrm P^2\# \mathbb R\mathrm P^2</math> || <math>\pi/\sqrt8</math> ||<ref>{{저널 인용 |last=Bavard |first=C. |title=Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein |url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1986-07_274_3/page/n90 |journal=Mathematische Annalen |volume=274 |year=1986 |issue=3 |pages=439–441 |doi=10.1007/BF01457227|언어=fr }}</ref>
|}

보다 일반적으로, 종수 <math>g</math>의 콤팩트 가향 곡면 <math>\Sigma_g</math>에 대하여, <math>g\ge1</math>일 경우 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{SR}(\Sigma_g) \le 2</math>
사실, 충분히 큰 <math>g</math>에 대하여, 다음이 항상 성립하게 되는, 종수에 의존하지 않는 두 상수 <math>C_+,C_-</math>가 존재한다.
:<math>C_- \frac{(\ln g)^2}{g} \le \operatorname{SR}(\Sigma_g) \le C_+ \frac{(\ln g)^2}g</math>

=== 그로모프 부등식 ===
[[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>M</math>에서, 다음이 성립한다면, <math>M</math>을 '''본질적 다양체'''({{llang|en|essential manifold}})라고 하자.
:자연스러운 [[군 준동형]] <math>\operatorname H_{\dim M}(M;R) \to \operatorname H_{\dim M}(\operatorname K(\pi_1(M),1);R)</math> 아래, 기본류 <math>[M]\in\operatorname H_{\dim M}(M)</math>의 상이 자명하지 않다. 여기서 <math>R</math>는 <math>M</math>이 [[가향 다양체]]일 때 <math>R=\mathbb Z</math>이며, 아닐 때 <math>R =\mathbb F_2</math>이다. <math>\operatorname K(-,-)</math>는 [[에일렌베르크-매클레인 공간]]이다.

'''그로모프 부등식'''({{llang|en|Gromov’s inequality}})에 따르면, 각 차원 <math>n</math>에 대하여, 모든 <math>n</math>차원 본질적 다양체들의 수축량비들의 집합은 (차원에만 의존하는) 상한 <math>C_n</math>을 갖는다.
:<math>\operatorname{SR}M \le C_n </math>

== 역사 ==
수축량의 개념은 카를 뢰브너({{llang|de|Karl Löwner}}, {{llang|cs|Karel Löwner|카렐 뢰브네르}}, {{llang|en|Charles Loewner|찰스 로브너}}, 1893~1968)가 도입하였다. “수축량”({{llang|fr|systole|시스톨}})이라는 용어는 [[마르셀 베르제]]가 1980년에 도입하였다.<ref name="Berger08"/> 이는 원래 생물학에서 심장의 수축을 뜻하는 용어이며, {{llang|grc|συστολή|시스톨레}}(수축)에서 유래하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:리만 기하학]]