수직 이등분선 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''수직 이등분선'''(垂直二等分線, {{llang|en|perpendicular bisector}})은 주어진 [[선분]]을 길이가 같은 두 선분으로 [[이등분]]하고 이 선분에 [[수직]]인 [[직선]]이다.

== 정의 ==
평면 위에서 [[선분]] <math>AB</math>의 '''수직 이등분선'''은 선분 <math>AB</math>의 [[중점 (기하학)|중점]]을 지나는 선분 <math>AB</math>의 [[수직|수선]]이다.

== 성질 ==
평면 위에서 선분 <math>AB</math>의 수직 이등분선은 두 끝점 <math>A,B</math>와의 거리가 같은 점들의 [[자취]]이다. 즉, 평면 위의 점 <math>P</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>P</math>는 선분 <math>AB</math>의 수직 이등분선 위의 점이다.
* <math>PA=PB</math>

평면 위에서 <math>AB=AC</math>를 만족시키는 [[이등변 삼각형]] <math>\triangle ABC</math>의 밑변 <math>BC</math>의 수직 이등분선은 삼각형 <math>\triangle ABC</math>의 점 <math>A</math>를 지나는 [[중선]]이자 [[각 (수학)|각]] <math>\angle A</math>의 [[각의 이등분선|이등분선]]이다.

[[파일:Perpendicular bisector of a circle chord.svg|섬네일|원의 현의 수직 이등분선]]
평면 위에서 [[원 (기하학)|원]]의 [[현 (기하학)|현]]의 수직 이등분선은 원의 [[중심 (기하학)|중심]]을 지난다.
{{-}}

평면 위에서 [[삼각형]]의 세 변의 수직 이등분선은 [[공점선]]이다. 삼각형의 세 수직 이등분선의 교점은 삼각형의 [[외접원]]의 중심이며, 이를 삼각형의 [[외심]]이라고 한다.<ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4
}}</ref>{{rp|50, §2A, Theorem 2.1}}

== 작도 ==
선분 <math>AB</math>의 수직 이등분선은 다음과 같이 [[작도]]된다.
* 중심이 <math>A</math>이고 반지름이 선분 <math>AB</math>의 길이인 원 <math>\Gamma</math>를 작도한다.
* 중심이 <math>B</math>이고 반지름이 선분 <math>AB</math>의 길이인 원 <math>\Gamma'</math>을 작도한다.
* 두 원 <math>\Gamma,\Gamma'</math>의 두 교점을 <math>P,Q</math>라고 할 때, 직선 <math>PQ</math>는 선분 <math>AB</math>의 수직 이등분선이다.

== 일반화 ==
=== 수직 이등분면 ===
공간 속에서 선분 <math>AB</math>의 '''수직 이등분면'''(垂直二等分面, {{llang|en|perpendicular bisecting plane}})은 선분 <math>AB</math>의 중점을 지나고 선분 <math>AB</math>에 수직인 평면이다. 이는 두 끝점 <math>A,B</math>와의 거리가 같은 공간 속 점의 자취이다.

=== 수직 이등분 초평면 ===
양의 정수 <math>d</math>가 주어졌다고 하자. <math>d</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^d</math> 속에서, 선분 <math>AB</math>의 '''수직 이등분 초평면'''(垂直二等分超平面, {{llang|en|perpendicular bisecting hyperplane}})은 선분 <math>AB</math>의 중점을 지나고 선분 <math>AB</math>와 [[직교]]하는 <math>(d-1)</math>차원 [[부분 아핀 공간]]이다. 이는 <math>d=2</math>일 경우 수직 이등분선이고 <math>d=3</math>일 경우 수직 이등분면이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=PerpendicularBisector|title=Perpendicular bisector}}
* {{매스월드|id=PerpendicularBisectorTheorem|title=Perpendicular bisector theorem}}

[[분류:유클리드 평면기하학]]