수직축 정리 문서 원본 보기

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[[고전역학]]에서 '''수직축 정리'''(perpendicular-axis-theorem)란 임의의 평면판의 [[관성 모멘트]]는 그 수직축과 평면판의 교점을 지나고 평면판에서 서로 수직인 임의의 두 축에 대한 관성 모멘트의 합과 같음을 나타내는 정리이다.

원점 O에서 만나는 수직인 세 회전축 <math>x, y,z</math>를 정의하고, <math>z</math>축에 수직인 <math>xy</math>평면 위의 평면판을 정의하자. 이때, <math>I_x,I_y,I_z</math>를 각각 <math>x, y,z</math>축을 회전축으로 하는 관성 모멘트라고 하면, 수직축 정리는 다음을 나타낸다<ref>{{서적 인용|title=Physics|url=https://archive.org/details/physics0000tipl|author=Paul A. Tipler|chapter=Ch. 12: Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis|publisher=Worth Publishers Inc.|isbn=0-87901-041-X|year=1976}}</ref>:

<math>I_z=I_x+I_y</math>

이 정리는 [[평행축 정리]]와 더불어 관성 모멘트를 구하는데에 유용하게 쓰인다.

== 수직축 정리의 증명 ==
회전축이 <math>z</math>축인 <math>xy</math>평면 위의 평면판을 생각하자.

이때, 관성 모멘트 <math>I_z</math><math>=\sum (x^2_i+y^2_i)m_i</math>이고,

<math>\sum (x^2_i+y^2_i)m_i=\sum x^2_im_i+\sum y^2_im_i</math>이다.

이때, 평면이 <math>x</math>축과 <math>y</math>축을 회전축으로 회전운동할 때의 관성 모멘트 <math>I_x</math>, <math>I_y</math>를 구하면

평면 위의 임의의 점 <math>(x_i,y_i)</math>에서 <math>x</math>축까지의 거리는 <math>|y_i|</math>, <math>y</math>축까지의 거리는 <math>|x_i|</math> 이므로

<math>I_x=\sum y^2_im_i</math> , <math>I_y=\sum x^2_im_i</math> 가 된다.

그러므로 <math>I_z</math><math>=I_x+I_y</math> 임을 알 수 있다.

== 수직축 정리의 활용 ==

=== 원판에서의 활용 ===
밀도가 균일한 원판의 관성 모멘트는 <math>I= \frac{1}{2}MR^2</math>로 알려져 있다.

원판의 중심을 지나는 원판 위의 회전축에 의한 원판의 관성 모멘트를 <math>I_c</math> 라 하면

회전축을 어떠한 방향으로 잡든 <math>I_c</math>의 값이 항상 같다.

이때, 수직축 정리에 의해 <math>\frac{1}{2} MR^2 =2I_c</math>가 성립하므로 <math>I_c=\frac{1}{4}MR^2</math>를 얻는다.

== 같이 보기 ==
* [[평행축 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:고전역학]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:물리학 정리]]
[[분류:강체]]
[[분류:모멘트 (물리학)]]