수족 삼각형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Pedal Triangle.svg|섬네일|수족 삼각형]]
[[파일:Pedal Line.svg|섬네일|[[심슨 직선]]]]
[[기하학]]에서 '''수족 삼각형'''(垂足三角形, {{llang|en|pedal triangle}})은 주어진 점에서 [[삼각형]]의 세 변에 내린 [[수직|수선]]의 발들로 이루어진 삼각형이다.

== 정의 ==
점 <math>P</math>에서 삼각형 <math>ABC</math>의 세 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>에 내린 수선의 발을 각각 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하자. 만약 <math>P</math>가 삼각형 <math>ABC</math>의 [[외접원]] 위의 점이라면, <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 한 직선 위의 점이며, 이 직선을 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 '''[[심슨 직선]]'''이라고 한다. 만약 <math>P</math>가 삼각형 <math>ABC</math>의 [[외접원]] 위의 점이 아니라면, <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 한 직선 위의 점이 아니며, 이 경우 삼각형 <math>DEF</math>를 점 <math>P</math>에 대한 삼각형 <math>ABC</math>의 '''수족 삼각형'''이라고 한다.

== 성질 ==
점 <math>P</math>에서 삼각형 <math>ABC</math>의 세 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>에 내린 수선의 발을 각각 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하고, 삼각형 <math>ABC</math>의 세 변의 길이를 각각 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, 외접원의 반지름을 <math>R</math>라고 하자. 그렇다면 [[사인 법칙]]에 따라 수족 삼각형 <math>DEF</math>의 세 변의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|23, §1.9, Theorem 1.91}}
:<math>EF=AP\cdot\sin A=\frac{AP\cdot a}{2R}</math>
:<math>FD=BP\cdot\sin B=\frac{BP\cdot b}{2R}</math>
:<math>DE=CP\cdot\sin C=\frac{CP\cdot c}{2R}</math>

점 <math>P</math>에서 삼각형 <math>ABC</math>의 세 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>에 내린 수선의 발을 각각 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하자. 그렇다면 수족 삼각형의 세 꼭짓점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 원래 삼각형의 변을 나누는 길이는 다음 등식을 만족시킨다.<ref name="Posamentier">{{서적 인용
|성1=Posamentier
|이름1=Alfred S.
|성2=Salkind
|이름2=Charles T.
|제목=Challenging Problems in Geometry
|url=https://archive.org/details/challengingprobl0000posa_h2a7
|언어=en
|판=2
|출판사=Dover Publications
|위치=New York
|날짜=1996
|isbn=0-486-69154-3
|lccn=95052535
}}</ref>{{rp|85–86}}
:<math>AF^2+BD^2+CE^2=FB^2+DC^2+EA^2</math>

[[등각 켤레점]]을 이루는 두 점에 대한 수족 삼각형의 [[외접원]]은 일치하며, 그 공통 외접원의 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|67, §7.4, (viii)}}

같은 점에 대한 수족 삼각형의 수족 삼각형의 수족 삼각형은 원래 삼각형과 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다. 즉, 점 <math>P</math>에 대한 삼각형 <math>ABC</math>의 수족 삼각형을 <math>D_1E_1F_1</math>라고 하고, 같은 점 <math>P</math>에 대한 삼각형 <math>D_1E_1F_1</math>의 수족 삼각형을 <math>D_2E_2F_2</math>라고 하고, 같은 점 <math>P</math>에 대한 삼각형 <math>D_2E_2F_2</math>의 수족 삼각형을 <math>D_3E_3F_3</math>라고 하자. 그렇다면 삼각형 <math>D_3E_3F_3</math>은 원래 삼각형 <math>ABC</math>와 닮음이다.<ref name="Coxeter" />{{rp|24, §1.9, Theorem 1.92}} 보다 일반적으로, <math>n</math>각형이 주어졌을 때, 같은 점에 대한 <math>n</math>번째 수족 <math>n</math>각형은 원래 <math>n</math>각형과 닮음이다.<ref name="Stewart">{{저널 인용
|성=Stewart
|이름=B. M.
|제목=Cyclic Properties of Miquel Polygons
|언어=en
|저널=The American Mathematical Monthly
|권=47
|호=7
|쪽=462–466
|날짜=1940
|issn=0002-9890
|doi=10.2307/2303956
|jstor=2303956
}}</ref>
{{증명}}
마주보는 두 각이 직각인 사각형의 네 꼭짓점은 한 원 위의 점이므로, [[원주각]]의 성질에 따라
:<math>\angle PAC=\angle PF_1E_1=\angle PE_2D_2=\angle PD_3F_3</math>
:<math>\angle PAB=\angle PE_1F_1=\angle PF_2D_2=\angle PD_3E_3</math>
이다. 따라서 <math>\angle BAC=\angle E_3D_3F_3</math>이다. 마찬가지로 <math>\angle ABC=\angle D_3E_3F_3</math>임을 보일 수 있다. 따라서 삼각형 <math>ABC</math>와 삼각형 <math>D_3E_3F_3</math>은 닮음이다.
{{증명 끝}}

=== 반수족 삼각형 ===
삼각형 <math>ABC</math> 및 점 <math>P</math>가 주어졌다고 하자. 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는, 직선 <math>PA</math>, <math>PB</math>, <math>PC</math>의 평행선의 세 교점을 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>라고 하자. 만약 점 <math>P</math>가 직선 <math>BC</math> 또는 <math>CA</math> 또는 <math>AB</math> 위의 점이라면, 세 직선 가운데 한 쌍은 평행하며 세 교점 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> 가운데 하나는 [[무한 원점]]이다. 만약 점 <math>P</math>가 삼각형 <math>ABC</math>의 외접원 위의 점이라면, 세 직선은 한 점 <math>X=Y=Z</math>에서 만난다.<ref name="Johnson" />{{rp|225, §XII.360}} 만약 점 <math>P</math>가 직선 <math>BC</math> 또는 <math>CA</math> 또는 <math>AB</math> 위의 점이 아니며 삼각형 <math>ABC</math>의 외접원 위의 점이 아니라면, 세 교점 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>는 삼각형의 꼭짓점을 이루며, 이 경우 삼각형 <math>XYZ</math>를 점 <math>P</math>에 대한 삼각형 <math>ABC</math>의 '''반수족 삼각형'''(反垂足三角形, {{llang|en|antipedal triangle}})이라고 한다. 이 경우 반수족 삼각형은 원래 삼각형을 수족 삼각형으로 하는 유일한 삼각형이다.

주어진 점에 대한 반수족 삼각형은 그 [[등각 켤레점]]에 대한 수족 삼각형과 [[중심 닮음]]이다.<ref name="Johnson">{{서적 인용
|성=Johnson
|이름=Roger A.
|제목=Advanced Euclidean Geometry
|언어=en
|출판사=Dover Publications
|위치=New York, N. Y.
|날짜=1960
|원본연도=1929
}}</ref>{{rp|225, §XII.360}}

== 예 ==
일부 특수한 점에 대한 수족 삼각형 또는 반수족 삼각형은 다음과 같다.
* [[내심]]에 대한 수족 삼각형은 [[제르곤 삼각형]]이다.
* [[외심]]에 대한 수족 삼각형은 [[중점 삼각형]]이다.
* [[수심 (기하학)|수심]]에 대한 수족 삼각형은 [[수심 삼각형]]이다.
* 내심에 대한 반수족 삼각형은 [[방심 삼각형]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=PedalTriangle|제목=Pedal triangle}}
* {{매스월드|id=PedalCircle|제목=Pedal circle}}
* {{매스월드|id=AntipedalTriangle|제목=Antipedal triangle}}
* {{웹 인용
|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/OrthologicPedal.shtml
|성=Bogomolny
|이름=Alexander
|제목=Pedal triangle and isogonal conjugacy
|언어=en
|웹사이트=Cut the Knot
}}

[[분류:삼각 기하학]]