수식 문서 원본 보기

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'''수식'''(數式, {{lang|en|mathematical expression}})은 [[수학 표기]]와, [[수학 기호]]를 사용하여 수학적 관계를 나타내는 것이다. 수학의 개념들은 수식으로 정리되어 표현된다. [[등식]], [[부등식]], [[논리식]], [[방정식]]과 같은 것들이 있다.

== 역사 ==
수학적 관계를 식으로 나타내기 시작한 것은 근대 이후의 일이다. 그 이전엔 세계의 모든 문화에서 수학적 관계를 문장으로 나타내었다. 예를 들어 [[대수학]]의 기반을 마련한 [[알콰리즈미]]는 《복원과 소거의 과학》에서 <math>x^2+10x = 39</math>를 “제곱과 근의 열 배는 39와 같다”로 기술하였다.<ref>스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, 2012년, {{ISBN|978-89-6105-603-8}}, 79-85쪽</ref> [[피에르 드 페르마]] 역시 그의 유명한 마지막 정리, 양의 정수인 x, y, z, n에 대하여 <math> n>2 </math>일 때 <math>x^n + y^n = z^n</math>를 만족하는 해는 존재하지 않는다는 것을 문장으로 서술하였다.<ref>사이먼 싱, 박병철 역, 《페르마의 마지막 정리》, 영림카디널, 2002년, {{ISBN|89-85055-97-6}}, 90-91쪽</ref>

{{인용문| 임의의 세제곱수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없고, 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없으며, 일반적으로 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.<ref>1670년 피에르 드 페르마의 아들에 의해서 출간된 《피에르 드 페르마의 주석이 달린 디오판토스》61쪽 문제 2-8에 달린 각주.</ref>}}

수식의 사용은 아라비아 숫자의 사용, 미지수의 도입, 연산 기호의 도입 등 여러 사건들이 점진적으로 이루어지면서 일반화되었다. [[피보나치]]는 13세기 초 《계산서》에서 북아프리카 방식의 아라비아 숫자를 소개하였다.<ref>Seife, Charles (2000). Zero: The Biography of a Dangerous Idea. New York: Penguin Books. {{ISBN|0-670-88457-X}}. p.77</ref> 1494년 이탈리아의 [[루카 파촐리]]는 《산술집성》(Summa de Arithmetica)에서 미지수를 표현하는 문자로 어떤 것이라는 의미의 이탈리아어 낱말 co를 사용하였다.<ref>윌리엄 던햄, 조정수 역, 《수학의 천재들》, 경문사, 2009년, {{ISBN|89-7282-737-1}}, 240쪽</ref> 이후 [[대수학]]에서는 [[변수 (수학)|변수]]를 문자로 나타내는 방법이 발달하기 시작하였다. [[프랑수아 비에트]]는 미지수를 나타내기 위해 알파벳 모음을 사용하였다.<ref>Fraleigh, John B. (1989). A First Course in Abstract Algebra (4 ed.). United States: Addison-Wesley. p. 276. {{ISBN|0-201-52821-5}}.</ref> 한편 [[연산 기호]] 역시 점차적으로 도입되기 시작하였는데, 16세기 독일의 위드만이 《상업산술》에서 [[덧셈|+]], [[뺄셈|-]] 기호를 사용하기 시작하였고, 영국의 레코드는 《지혜의 숫돌》에서 등호(=)를 사용하기 시작하였다. 나눗셈 기호(÷), 곱셈 기호(×), 부등호 역시 이 시기의 영국 수학자들에 의해 사용되기 시작하였다.<ref>계명희, 《명화와 함께 떠나는 수학사 여행》, 살림, 2006년, {{ISBN|978-89-5220-578-0}}, 188-189쪽</ref> 다양한 경로를 거쳐 수학에 도입된 수학 표기와 연산 기호들이 일반화 되면서 수식 표현 역시 정형화되어 [[아이작 뉴턴]]이 《[[자연철학의 수학적 원리]]》을 출간한 17세기 무렵엔 수식의 사용이 일반화되었다.

== 표기와 기호 ==
{{본문|수학 표기|수학 기호}}
[[수학 표기]]는 [[숫자]]와 같은 수학적 객체나 [[극한]]과 같은 개념을 나타내는 기호이다. [[국제단위계]]에서 숫자는 [[아라비아 숫자]]를 사용하며<ref>[http://physics.nist.gov/cuu/Units/checklist.html SI Unit rules and style conventions checklist], National Institute of Standards and Technology</ref>, 수학계에서는 미지수는 문자로, 지수는 첨자로, [[극한]]이나 [[급수 (수학)|급수]]는 그에 해당하는 기호로 나타내는 등 표기가 나타내는 관습적인 의미가 확립되어 있으며, [[사칙 연산]]을 비롯한 [[연산 기호]] 역시 따로 특별히 정의하지 않는 한 일반적인 용법이 확립되어 있다.<ref>조중걸, 《조중걸 교수와 함께하는 열정적 고전 읽기》, 프로네시스, 2006년, {{ISBN|89-0106-037-X}}, 166-168 쪽</ref> 이와 같은 용법에 따라 수식은 문장으로 풀어 읽을 수 있다. 예를 들어 <math> \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = 1\frac{1}{6} </math>은 “2분의 1 더하기 3분의 2는 1과 6분의 1과 같다”로 읽는다.

== 구조와 종류 ==
{{참고|다항식|등식|부등식|방정식|항등식|논리식}}

다음의 식을 살펴 수식의 일반적 구조를 보자.

:<math>8 = 4x^2 + 16x + 24</math> --- ⓐ

위 식ⓐ는 등호를 사이에 두고 두 식이 있는 것을 알 수 있다. 따라서 이 수식은 [[등식]]이고<ref>정완상, 《디오판토스가 들려주는 방정시 이야기》, 자음과모음, 2008년, {{ISBN|978-89-5440-371-9}}, 9쪽</ref> 수학적 의미는 두 식의 값이 같다는 것이다. 이 때 등호의 왼쪽을 좌변, 오른쪽을 우변이라고 한다. 이제 좌변과 우변을 각각 살펴 보면;
:좌변: <math>8</math> --- ⓑ
:우변: <math>4x^2 +16x + 24</math> --- ⓒ

위의 좌변과 우변에서 연산 기호를 제외한 숫자와 문자로 이루어진 것을 항이라고 한다. 좌변은 <math>8</math> 단독으로 있는 식이기 때문에 단항식이다. 한편 우변은 <math>4x^2</math>, <math>16x</math>, <math>24</math> 세 개의 항이 있으므로 삼항식이 된다. 단항식 또는 항이 둘 이상인 식은 [[다항식]]이라고 한다. 따라서 식 ⓐ는 좌변이 단항식이고 우변이 다항식인 등식이다. 한편, 식ⓐ는 우변에 [[미지수]]를 포함하고 있는 [[방정식]]이기도 하다. <math>x</math> 가 [[실수]]일 때, 등식의 성질을 이용하여 수식을 정리하면 <math>x</math>의 값을 구할 수 있다. 이 과정을 방정식을 푼다고 하고 <math>x</math>에 해당하는 값을 방정식의 근 또는 해라고 한다. 위 식ⓐ를 등식의 성질을 이용하여 풀면;

:<math>8 = 4x^2 + 16x + 24</math>
::<math>8 - 8 = 4x^2 + 16x + 24 -8</math> -- 등식의 양 변에 같은 수를 더하거나 빼어도 등식이 성립한다.
::<math>0 = 4x^2 + 16x +16 </math>
::<math>0 \div 4 = (4x^2 + 16x + 16 ) \div 4</math> -- 등식의 양 변에 같은 수를 곱하거나 나누어도 등식이 성립한다.
::<math> 0 = x^2 + 4 x + 4 </math>
::<math> 0 = (x+2)^2</math>
:: ∴ <math> x = -2</math>

또한 <math>0 = 4x^2 + 16x +16 </math>는 <math>0 = (2x)^2 + 8(2x) +16 </math>이므로<math> 2x= k</math>로 [[치환 (수학)|치환]]해서 대입 정리해도 등식이 성립한다.
:<math> k^2 + 8k +16=0 </math>
:<math>(k+4)(k+4)=0 </math>
:<math>\therefore (k+4)=0 </math>
:<math>k=-4</math>
:<math> 2x= k</math>
:<math> x= {k \over 2}</math>
:<math> x= {(-4) \over 2}</math> 대입하여 정리하면,
:<math> x= {-2}</math>
한편 수식은 [[미분]]이나 [[적분]]과 같은 수학적 개념을 포함할 수도 있다. 다음은 미분의 정의를 나타내는 수식이다.<ref name="방은숙">{{서적 인용
|저자=방은숙
|제목=미분적분학
|출판사=학문사
|날짜=1998
|isbn=89-467-4111-2
}}</ref>{{rp|71}}

: <math>\frac{d}{d x} f(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} </math>

위 식에서 <math>\frac{d}{d x}</math>는 미분을 뜻하는 기호이며, <math>f(x)</math>는 관습적으로 사용되는 일반적인 함수를 의미하는 기호이다. <math>x</math>는 함수의 정의역에 속하는 임의의 원소를, <math>\Delta \; x</math>는 <math>x</math>에서 연속적으로 진행되는 변화량을 뜻한다. 따라서 <math> \lim_{\Delta x \to 0}</math>는 변화량 <math>\Delta \; x</math>가 <math>0</math>으로 [[수렴]]한다는 의미의 기호이다. 이와 같은 의미를 알면 위 식은 미분이 평균변화율의 극한을 취하여 함수 <math>f(x)</math>의 특정 지점 <math>x</math>에서 변화량 <math>\Delta \; x</math> 가 <math>0</math>으로 수렴할 때의 변화율, 즉 순간변화율이라는 것을 설명하고 있다고 파악할 수 있다.

수식에는 여기서 설명한 것 외에도 [[부등식]], [[논리식]]과 같은 종류가 있다.

== 연산의 우선 순위 ==
{{본문|연산의 우선순위}}
수식에서 여러 가지 연산 기호가 함께 쓰이는 경우 혼란을 막기 위하여 [[연산의 우선순위]]를 둔다. 일반적으로 쓰여진 수식에서는 다음과 같은 우선순위를 따른다. 목록의 앞쪽에 있는 연산의 우선순위가 높다.
# 괄호안쪽의 수식
# 지수 및 근호
# 곱셈과 나눗셈
# 덧셈과 뺄셈

아래는 연산의 우선 순위에 대한 예이다.

괄호 안의 수식은 어떤 경우에서든지 우선순위가 가장 높다.
:<math>3 \div (2-1) = 3 \div 1 = 3</math>

아래와 같은 수식의 경우 다음과 같이 계산된다. 곱하기와 나누기가 우선이고 그 다음이 더하기 또는 빼기를 하는 것이다.
:<math>2+3 \times 4 = 2 + 12 = 14</math>

부호보다 지수가 먼저 계산된다.
:<math>-3^2 = -(3\times3) = -9 \ne (-3)^2 = (-3)\times(-3) = 9</math>

근호로 둘러싸인 수식은 먼저 계산한다.
:<math>\sqrt{3+1} \times 2 = \sqrt{4} \times 2 = 2 \times 2 = 4</math>

분수형태에 갇혀있는 수식은 먼저 계산한다.
:<math>\frac{4+2}{1+2} + 4 = \frac{6}{3} +4 = 2 + 4 = 6</math>

우선순위가 같은 연산은 앞에서부터 차례로 계산한다.
:<math>2 \div 3 \times 5 = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}</math>

지수위의 지수가 있는 경우, 위쪽에 있는 지수의 우선순위가 높다.
:<math>2^{3^2} = 2^9 = 512 \ne (2^3)^2 = 64</math>

== 같이 보기 ==
* [[변수 (수학)|변수]]
* [[공식]]
* [[값 (수학)|값]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:논리식]]