수반 함자 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''수반 함자'''(隨伴函子, {{llang|en|adjoint functor}}) 또는 '''딸림 함자'''(-函子)는 두 개의 [[함자 (수학)|함자]]가 서로 간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, [[범주론]]의 연구 대상이다.

== 정의 ==
=== 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의 ===
두 범주 <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal D</math> 사이의 두 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>
:<math>G\colon\mathcal D\to\mathcal C</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>F</math>와 <math>G</math> 사이의 '''수반'''({{llang|en|adjunction}}) <math>(\epsilon,\eta)</math>는 다음과 같은 두 개의 [[자연 변환]]의 순서쌍이다.
:<math>\epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}</math>
:<math>\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF</math>
여기서 <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C</math> 및 <math>\operatorname{id}_{\mathcal D}\colon\mathcal D\to\mathcal D</math>는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.
:<math>\operatorname{id}_F=\epsilon F\circ F\eta</math>
:<math>\operatorname{id}_G=G\epsilon\circ\eta G</math>
여기서 <math>\operatorname{id}_F\colon F\Rightarrow F</math> 및 <math>\operatorname{id}_G\colon G\Rightarrow G</math>는 항등 [[자연 변환]]이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.
:<math>\begin{matrix}
F&\xrightarrow{F\eta}&FGF\\
&{\scriptstyle\operatorname{id}_F}\searrow&\downarrow\scriptstyle\epsilon F\\
&&F
\end{matrix}
\qquad\begin{matrix}
G&\xrightarrow{\eta G}&GFG\\
&{\scriptstyle\operatorname{id}_G}\searrow&\downarrow\scriptstyle G\epsilon\\
&&G
\end{matrix}</math>
이 경우, <math>F</math>를 <math>G</math>의 '''왼쪽 수반 함자'''(-隨伴函子, {{llang|en|left-adjoint functor}})라고 하고, <math>G</math>를 <math>F</math>의 '''오른쪽 수반 함자'''(-隨伴函子, {{llang|en|right-adjoint functor}})라고 하며, <math>\epsilon</math>은 '''쌍대단위원'''(雙對單位元, {{llang|en|counit}}), <math>\eta</math>는 '''단위원'''(單位元, {{llang|en|unit}})이라고 한다. 이는 기호로
:<math>F\dashv G</math>
또는
:<math>F\colon\mathcal C\leftrightarrows\mathcal D\colon G</math>
와 같이 쓴다.

=== 보편 성질을 통한 정의 ===
두 범주 <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal D</math> 사이의 두 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>
:<math>G\colon\mathcal D\to\mathcal C</math>
사이의 '''수반'''은 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시키는 사상들로 이루어진 [[자연 변환]]
:<math>\epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}</math>
이다.
* 임의의 대상 <math>Y\in\operatorname{ob}(\mathcal D)</math> 및 <math>X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math> 및 사상 <math>f\colon F(X)\to Y</math>에 대하여, <math>f=\epsilon_YF(g)</math>인 유일한 사상 <math>g\colon X\to G(Y)</math>가 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
FG(Y) & \xrightarrow{\epsilon_Y} & Y \\
{\scriptstyle G(\exists!g)}\uparrow & \nearrow{\scriptstyle f} \\
F(X)
\end{matrix}
</math>
마찬가지로, 다음과 같이 정의할 수 있다. <math>F</math>와 <math>G</math> 사이의 '''수반'''은 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시키는 사상들로 이루어진 [[자연 변환]]
:<math>\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF</math>
이다.
* 임의의 대상 <math>X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math> 및 <math>Y\in\operatorname{ob}(\mathcal D)</math> 및 사상 <math>f\colon X\to G(Y)</math>에 대하여, <math>f=G(g)\circ\eta_X</math>인 유일한 사상 <math>g\colon F(X)\to Y</math>이 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
X & \xrightarrow{\eta_X} & GF(X) \\
& {\scriptstyle\forall f}\searrow & \downarrow{\scriptstyle G(\exists!g)} \\
& & G(Y)
\end{matrix}
</math>
이 두 정의는 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의와 [[동치]]이다. 구체적으로, <math>(\epsilon,\eta)</math>가 쌍대단위원과 단위원의 순서쌍을 이룬다면, <math>\epsilon</math>과 <math>\eta</math>를 이루는 사상들은 두 정의에서의 [[보편 성질]]을 각각 만족시킨다. 반대로, [[자연 변환]] <math>\epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}</math>을 이루는 사상들이 [[보편 성질]]을 만족시킨다면, 이를 쌍대단위원으로 삼는 단위원 <math>\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF</math>을 찾을 수 있다. 마찬가지로, [[보편 성질]]을 만족시키는 [[자연 변환]] <math>\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF</math>에 대하여, 이를 단위원으로 하는 쌍대단위원 <math>\epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}</math>을 찾을 수 있다.

=== 사상 집합을 통한 정의 ===
<math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math>가 [[국소적으로 작은 범주]]라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자
:<math>F\colon\mathcal C\leftrightarrows\mathcal D\colon G</math>
는 다음과 같이 정의할 수 있다. <math>F</math>와 <math>G</math> 사이의 '''수반'''은 함자
:<math>\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\colon\mathcal \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal D\to\operatorname{Set}</math>
:<math>\hom_{\mathcal C}(-,G(-))\colon\mathcal \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal D\to\operatorname{Set}</math>
사이의 [[자연 동형]]
:<math>\Phi\colon\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\Rightarrow\hom_{\mathcal C}(-,G(-))</math>
이다.

[[국소적으로 작은 범주]]의 경우, 쌍대단위원 및 단위원을 통한 정의와 사상 집합을 통한 정의는 서로 [[동치]]이다. 구체적으로, 쌍대단위원 <math>\epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}</math>과 단위원 <math>\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF</math>의 순서쌍이 주어졌을 때,
:<math>\Phi_{X,Y}\colon(F(X)\xrightarrow fY)\longmapsto(X\xrightarrow{\eta_X}GF(X)\xrightarrow{G(f)}G(Y))\qquad(X\in\operatorname{ob}(\mathcal C),\;Y\in\operatorname{ob}(\mathcal D))</math>
는 [[자연 동형]]을 이룬다. 반대로, [[자연 동형]] <math>\Phi\colon\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\Rightarrow\hom_{\mathcal C}(-,G(-))</math>이 주어졌을 때, 항등 사상에 대응하는 사상
:<math>\epsilon_Y=\Phi_{G(Y),Y}^{-1}(\operatorname{id}_{G(Y)})\qquad(Y\in\operatorname{ob}(\mathcal D))</math>
:<math>\eta_X=\Phi_{X,F(X)}(\operatorname{id}_{F(X)})\qquad(X\in\operatorname{ob}(\mathcal C))</math>
들은 <math>F,G</math>의 쌍대단위원과 단위원을 이룬다.

== 성질 ==
=== 프레이드 수반 함자 정리 ===
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.
* <math>\mathcal D</math>는
** [[완비 범주]]이다.
** [[국소적으로 작은 범주]]이다.
* <math>\mathcal C</math>는 범주이다.
'''프레이드 수반 함자 정리'''({{llang|en|Freyd adjoint functor theorem}})에 따르면, 함자 <math>G\colon\mathcal D\to\mathcal C</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="MacLane">{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>{{rp|121, Theorem V.6.2}}
* <math>G</math>는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
* <math>G</math>는 모든 작은 [[극한 (범주론)|극한]]을 보존하며, '''해집합 조건'''을 만족시킨다.
여기서  '''해집합 조건'''(解集合條件, {{llang|en|solution set condition}})이란 다음과 같다. 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합 <math>\{\tilde X_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal D</math> 및 사상들의 집합 <math>\{f_i\colon X\to G(\tilde X_i)\}_{i\in I}</math>이 존재한다.
:임의의 <math>\tilde Y\in\mathcal D</math> 및 사상 <math>g\colon X\to G(\tilde Y)</math>에 대하여, <math>g= G(\tilde g)\circ f_i</math>를 만족시키는 <math>i\in I</math> 및 <math>\tilde g\colon\tilde X_i\to\tilde Y</math>가 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
X&\overset g\to&G(\tilde Y)\\
{\scriptstyle f_i}\downarrow&&\|\\
G(\tilde X_i)&\underset{G(\tilde g)}\to&G(\tilde Y)
\end{matrix}</math>
만약 실제로 어떤 수반 함자쌍
:<math>F\colon\mathcal C\leftrightarrows\mathcal D\colon G</math>
이 존재한다면, 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여
:<math>I=\{0\}</math>
:<math>\tilde X_0=F(X)</math>
:<math>f\colon X\to G(F(X))=G(\tilde X_0)</math>
로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.

=== 특수 수반 함자 정리 ===
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.
* <math>\mathcal D</math>는
** [[완비 범주]]이다.
** [[국소적으로 작은 범주]]이다.
** [[정멱 범주]]이다.
** [[쌍대 생성 집합]]을 갖는다.
* <math>\mathcal C</math>는 [[국소적으로 작은 범주]]이다.
'''특수 수반 함자 정리'''({{llang|en|special adjoint functor theorem}})에 따르면, 함자 <math>G\colon\mathcal D\to\mathcal C</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="MacLane"/>{{rp|129, Theorem V.8.2}}
* <math>G</math>는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
* <math>G</math>는 모든 작은 [[극한 (범주론)|극한]]을 보존하며, [[단사 사상]]들의 ([[집합]]이 아닐 수 있는) [[모임 (집합론)|모임]]의 [[당김 (범주론)|당김]]을 보존한다.

== 예 ==
=== 자유-망각 수반 ===
{{본문|자유 대상}}
[[대수 구조 다양체]]의 범주 <math>\mathcal V</math>에서, [[자유 대수]] 함자
:<math>\langle-\rangle\colon\operatorname{Set}\to\mathcal V</math>
는 망각 함자
:<math>|-|\colon\mathcal V\to\operatorname{Set}</math>
의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.
:<math>\langle-\rangle\dashv|-|</math>

=== 곱-지수 수반 ===
[[데카르트 닫힌 범주]] <math>\mathcal C</math>의 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, [[곱 (범주론)|곱]] 함자
:<math>-\times X\colon\mathcal C\to\mathcal C</math>
:<math>-\times X\colon Y\mapsto Y\times X</math>
는 [[지수 대상]] 함자
:<math>(-)^X\colon\mathcal C\to\mathcal C</math>
:<math>(-)^X\colon Y\mapsto Y^X</math>
의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.
:<math>-\times X\dashv(-)^X</math>
[[집합]]과 [[함수]]의 범주에서의 곱-지수 수반은 [[커링]]이라고 한다.

다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 [[곱 (범주론)|곱]]이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 '''[[텐서곱]]'''이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 <math>\otimes</math>이다.)

=== 대각-극한 수반 ===
범주 <math>\mathcal C</math> 및 범주 <math>\mathcal J</math>가 주어졌고, 모든 함자 <math>D\colon\mathcal J\to\mathcal C</math>의 [[극한 (범주론)|극한]]이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자
:<math>\varprojlim\colon\mathcal C^{\mathcal J}\to\mathcal C</math>
는 왼쪽 수반 함자
:<math>\Delta\dashv\varprojlim</math>
를 가진다. 이는 <math>\mathcal C</math>의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.
:<math>\Delta\colon\mathcal C\to\mathcal C^{\mathcal J}</math>
:<math>\Delta\colon X\mapsto(J\mapsto X)</math>

예를 들어, <math>\mathcal C</math>가 [[곱 (범주론)|곱]]을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면
:<math>(-)^2\colon\mathcal C^2\to\mathcal C</math>
:<math>(-)^2\colon X\mapsto X\times X</math>
:<math>\Delta\colon\mathcal C\to\mathcal C^2</math>
:<math>\Delta\colon X\mapsto(X,X)</math>
는 서로 수반 함자를 이룬다.
:<math>\Delta\dashv(-)^2</math>

마찬가지로, 범주 <math>\mathcal C</math> 및 범주 <math>\mathcal J</math>가 주어졌고, 모든 함자 <math>D\colon\mathcal J\to\mathcal C</math>의 [[쌍대극한]]이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자
:<math>\varinjlim\colon\mathcal C^{\mathcal J}\to\mathcal C</math>
는 오른쪽 수반 함자
:<math>\varinjlim\dashv\Delta</math>
를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면
:<math>\varinjlim\dashv\Delta\dashv\varprojlim</math>
가 된다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Adjoint functor}}
* {{nlab|id=adjoint functor|title=Adjoint functor}}
* {{nlab|id=left adjoint|title=Left adjoint}}
* {{nlab|id=right adjoint|title=Right adjoint}}
* {{nlab|id=examples of adjoint functors|title=Examples of adjoint functors}}
* {{nlab|id=adjoint functor theorem|title=Adjoint functor theorem}}
* {{nlab|id=solution set condition|title=Solution set condition}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/16/adjoint-functors/|제목=Adjoint functors|날짜=2007-07-16|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|이름=John|성=Armstrong|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/17/the-unit-and-counit-of-an-adjunction/|제목=The unit and counit of an adjunction|날짜=2007-07-17|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|이름=John|성=Armstrong|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://projects.lsv.ens-cachan.fr/topology/?page_id=719|제목=Adjoint functor theorems: GAFT and SAFT|웹사이트=Non-Hausdorff Topology and Domain Theory: Electronic supplements to the book|이름=Jean|성=Goubault-Larrecq|날짜=2015-07-27|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/5786/how-do-i-check-if-a-functor-has-a-left-right-adjoint|제목=How do I check if a functor has a (left/right) adjoint?|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[반사 부분 범주]]
* [[칸 확대]]
* [[모나드 (범주론)]]

[[분류:수반 함자| ]]