수리 논리학 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{학문 정보
|학문명 = 수리논리학
|그림 = Venn A intersect B.svg
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'''수리논리학'''(數理論理學, {{llang|en|mathematical logic}}) 또는 기호논리학은 [[논리학]]에서 사용하는 명제들을 수학적인 [[기호]]로 표시하는 학문이다. [[고틀로프 프레게]], [[버트런드 러셀]], [[폴 조지프 코언]] 등이 개척한 분야로서 일상 언어와 같은 [[자연언어]]의 사용에서 올수있는 복잡성과 오류의 용이성을 제거하고 명제를 효과적으로 쉽게 다룰 수 있도록 하기 위해 도입한 현대 논리학 이론으로서, 기호를 많이 사용하여 '기호 논리학'(symbolic logic)이라고도 한다. [[컴퓨터 과학]] 및 철학논리와 밀접하게 연관되어 있다.<ref>안동환. [https://n.news.naver.com/mnews/article/081/0000127798?sid=102 美 수리논리학 개척자 코헨 사망]. 서울신문. 2007년 4월 3일.</ref><ref>이성주. [https://n.news.naver.com/mnews/article/293/0000016142?sid=105 '시리'가 아직까지 말귀를 못 알아듣는 까닭]. 블로터. 2015년 5월 14일.</ref>

이 분야는 논리학 및 형식논리의 타 분야로의 응용에 관한 수학적 연구를 포함하고 있으며, 통합적으로는 형식 체계의 표현력과 형식 증명 체계의 연역 가능성에 관한 연구를 포함한다.<ref>오정연. [http://www.daejonilbo.com/news/newsitem.asp?pk_no=1129610 '벤 다이어그램'의 창시자 수학자 존 벤 탄생 180주년]. 대전일보. 2014년 8월 5일.</ref><ref>김대수. [https://n.news.naver.com/mnews/article/353/0000020593?sid=004 (김대수의 수학 어드벤처)디지털의 출발점은 논리학자 아리스토텔레스]. 중앙SUNDAY. 2014년 11월 9일.</ref><ref>김대수. [https://n.news.naver.com/mnews/article/353/0000021818?sid=105 (김대수의 수학 어드벤처)19세기에 디지털 시대 터 닦은 불멸의 수학자들]. 중앙SUNDAY. 2015년 3월 1일.</ref>

수리논리학은 종종 [[집합론]], [[모형 이론]], [[재귀 이론]], [[증명 이론]], 구성적 수학 등의 하위 분야로 나뉜다. 이 분야들은 공통적으로 [[1차 논리]]와 정의가능성 등의 기본적인 논리학적 결과들을 바탕으로 하고 있다.

수리논리학은 처음 출현한 이후 줄곧 [[수학기초론]]의 연구와 영향을 주고 받았다. 이 연구는 19세기 말 기하학, 대수학, 해석학의 공리적 구조의 개발과 함께 시작되었다. 20세기 초에는 [[수학기초론]]의 무모순성을 증명하려는 [[다비트 힐베르트]]의 연구에 의해 다듬어졌다. [[쿠르트 괴델]]과 [[게르하르트 겐첸]] 등은 그 연구에 일부 해결 방법을 제시하였고 무모순성 증명과 관련한 문제들을 명확히 하였다. 비록 몇몇 정리들이 집합 이론의 공리 체계에서 증명 불가능하지만, 집합 이론에서의 연구는 거의 모든 일반적인 수학은 집합의 형태로 형식화할 수 있다는 것을 보여주었다. [[수학기초론]]에서 최근의 연구는 종종 모든 수학을 전개할 수 있는 이론을 찾기보다는 수학의 어느 부분이 특정 형식 체계에서 형식화할 수 있는지 찾는 데 중점을 두고 있다.

== 기호의 예 ==
{| class="wikitable"
|-
! 언어 !! 기호
|-
| 그리고 || <math>\cdot , \land</math>
|-
| 또는 || <math>\lor</math>
|-
| 만일 A 이면 B 이다 || <math>A \subset  B  ,A \to  B </math>
|-
|  아니다 || <math>-,\neg</math>
|}

== 추론 형식 ==
{| class="wikitable"
|-
! 형식 !! 구조 !! 추론
|-
| F1 || 전가언 [[삼단논법|3단논법]](3명제 모두가 [[가언 명제]]) || 간접추론
|-
| F2 || 혼합가언 [[전건긍정]] 3단논법(대전제 가언 ·소전제 [[정언 명제]])  || 간접추론
|-
| F3 || 혼합가언 [[후건부정]] 3단논법(대전제 가언·소전제 정언) || 간접추론
|-
| F4 || 혼합선언 부정3단논법(대전제 [[선언 명제]]·소전제 정언) || 간접추론
|-
| F5 || [[드 모르간의 법칙]]  <br>
<math>\neg (P \lor Q) = \neg P \land \neg Q</math><br>
<math>\neg (P \land Q) = \neg P \lor \neg Q</math>      <br>
 || 직접추론

|-
| F6 || [[연언 명제]] || 직접추론
|-
| F7 || 연언 명제의 분리(Conjunction Elimination) || 직접추론
|-
| F8 || [[이중부정]] || 직접추론

|}

== 고전 논리학과 기호 논리학의 비교 ==
{| class="wikitable"
|-
! 명제 !! 고전 논리학 !! 기호논리학의 기호화  || 기호논리학의 근거제시
|-
| 전제 1|| 만약 A가 B라면 C가 아니거나 D이다. || <math> (A\subset B)\subset (-C \lor D)</math>|| (-C)
|-
| 전제 2 || A는 E이거나 또는 C이다. ||<math> A \subset (E \lor C) </math>|| (E)
|-
| 전제 3 || A는 B이다. ||<math>  A \subset B</math>||
|-
| 전제 4 || A는 D가 아니다. || <math> A \subset -D</math>||
|-
| 결론1 || A는 C가 아니다. || <math> A \subset -C</math>||  전제1,전제4, F3
|-
| 결론2 || A는 E이다. || <math> A\subset E</math>||  전제2,결론1, F3
|}

기호논리학은 복잡한 자연언어의 문장들로 구성된 추론들로부터 기호화된 [[추론 형식]]을 적용함으로써 타당성 검증이 가능하게 한다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
{{포털|수학}}
* [[수학 원리]]
* [[프레게]]
* [[버트런드 러셀]]
* [[알프레드 노스 화이트헤드|화이트헤드]]
* [[1차논리]]
* [[술어논리]]
* [[직관논리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=數理論理學|저자=林禎垈|출판사=연세대학교 출판부|날짜=1982-11|isbn=89-7141-226-7|url=http://cmsdv.yonsei.ac.kr/press/sub03/sub0301/view.asp?ID=237|언어=ko|확인날짜=2014-11-24|보존url=https://web.archive.org/web/20150424155334/http://cmsdv.yonsei.ac.kr/press/sub03/sub0301/view.asp?ID=237#|보존날짜=2015-04-24|url-status=dead}}
* {{서적 인용|제목= 數理論理學|성=Kleene|이름=S. C.|기타=朴漢植 역|출판사=교학연구사|날짜=1997|isbn=978-89-3540174-1|url=http://cafe.daum.net/kyohakyongusa/9yqG/1|언어=ko}}
** {{서적 인용|제목=Mathematical logic|url=https://archive.org/details/mathematicallogi0000step|성=Kleene|이름=S. C.|zbl=0149.24309|출판사=Wiley|날짜=1967|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=經濟分析과 數理論理學|저자=鄭祚燮|출판사=중앙대학교 출판부|날짜=1993|총서=경제 과학 시리즈|권=1|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목= 數理論理學|저자=尹英洙|출판사=형설출판사|날짜=1981|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=논리학: 명제논리와 술어논리  |저자=손병홍|출판사=장서원|isbn=978-89-9127359-7|날짜=2008|언어=ko}}
* {{서적 인용|이름=Herbert B.|성=Enderton|날짜=2002|제목=A mathematical introduction to logic|url=http://www.math.ucla.edu/~hbe/amil/|출판사=Academic Press|doi=10.1016/B978-0-08-049646-7.50001-1|판=2판|isbn=978-0-12-238452-3|zbl=0992.03001|언어=en|확인날짜=2014년 11월 24일|보존url=https://web.archive.org/web/20141126034120/http://www.math.ucla.edu/~hbe/amil/|보존날짜=2014년 11월 26일|url-status=dead}}

{{수학 분야}}
{{논리학}}
{{컴퓨터 과학}}
{{전거 통제}}
{{토막글|수학|컴퓨터 과학}}

[[분류:수리논리학| ]]
[[분류:논리학 개념]]