수론 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|삼키아 학파||[[힌두교]]의 [[육파철학]] 중의 하나인 [[삼키아 학파|수론]](數論) 또는 [[삼키아 학파|수론파]](數論派)}}
[[파일:Elliptic curve simple.png|섬네일|[[타원곡선]]]]
'''정수론'''(整數論, {{llang|en|number theory}}) 또는 '''수론'''(數論)은 [[수학]]의 한 분야로, 각종 [[수 (수학)|수]]의 성질을 대상으로 한다. 정수론은 [[카를 프리드리히 가우스]] 덕분에 크게 발전되어서 현재는 [[기하학]], [[대수학]], [[해석학 (수학)|해석학]]과 함께 수학의 주요한 분야들 중 하나이다.

== 역사 ==
=== 고대 동양 ===
현존하는 수론을 다루는 최고(最古)의 문서는 기원전 약 1800년에 [[메소포타미아]]에서 작성된 점토판 [[플림프턴 322]](Plimpton 322)이다. 이 점토판은 [[피타고라스 수]]의 목록을 담고 있는데, 이 목록은 손으로 계산하기에는 너무 많으므로 어느 정도의 수론적 지식을 바탕으로 한 것으로 추측된다.

고대 이집트에는 약간의 대수학이 존재했지만 수론적인 내용은 별로 없다.

고대 중국의 수학의 경우, 기원후 5세기에 작성된 [[손자산경]]에 [[중국인의 나머지 정리]]가 최초로 등장한다.

===고대 그리스===
기원전 5세기의 [[키레네의 테오도로스]]는 <math>\sqrt n</math> (n은 [[제곱수]]가 아닌 자연수)이 [[무리수]]임을 증명하였다. 기원전 2세기에 집필된 [[에우클레이데스]]의 《[[원론]]》 8권과 9권은 [[소수 (수론)|소수]]와 나누어떨어짐을 다룬다. 특히, 《[[원론]]》에는 [[최대공약수]]를 계산하는 [[유클리드 호제법]]이 수록되어 있고, 또 소수의 수가 무한하다는 사실이 증명되어 있다 (《[[원론]]》 9권 명제 20). 원론 9권에는 [[완전수]]가 등장한다.

1773년에는 [[아르키메데스]]가 [[에라토스테네스]]에게 보냈다는 편지가 발견되었다. 여기에는 [[펠 방정식]]의 일종인 [[아르키메데스 소 문제]](Archimedes’ cattle problem)가 등장한다. 이 편지가 위서인지는 아직 확실하지 않다.

[[디오판토스]]는 약 기원후 3세기에 살았으며, 총 13권의 《산학》(Arithmetica)을 집필하였다. 이 가운데 6권이 원래 그리스어로, 추가 4권이 아랍어로 현존한다. 《산학》은 오늘날 [[디오판토스 방정식]]이라고 불리는 방정식들을 다뤘다. 또한, [[타원곡선]]의 [[유리점]]에 대한 문제도 등장한다.

=== 고대 인도 ===
고대 인도의 수학은 적어도 약 18세기까지 [[유럽]] 수학과 독립적으로 발전하였다. [[아리아바타]](Āryabhaṭa, {{llang|sa|आर्यभट}}, 476–550)는
:<math>n\equiv a_1\pmod{m_1}</math>
:<math>n\equiv a_2\pmod{m_2}</math>
꼴의 방정식을 다루었다. [[브라마굽타]](597–668)는 [[펠 방정식]]의 연구를 시작하였으며, [[자이야데바 (수학자)|자이야데바]]({{llang|sa|जयदेव}}, Jayadeva, 9세기 경)가 펠 방정식의 해를 완성하였다. 자이야데바의 저서는 현존하지 않지만, 그의 업적은 [[바스카라 2세]]({{llang|sa|भास्कराचार्य}}, Bhāskara II, 1114–1185)의 책에 인용되어 있다.

=== 페르마 ===
[[피에르 드 페르마]](1601–1665)는 수론에 대하여 연구하였으나 하나도 출판하지 않았고, 대부분 개인적 서신이나 책의 여백에 적은 노트에 수록되어 있다. 또한 그는 명제에 대한 증명을 거의 적지 않았다. 이로 그는 매우 소심한 성격임을 추측 할 수 있다.그의 업적으로 특수한 함수의 미분이다. 그후 뉴턴은 '거인의 어깨 위에'라는 표현을 쓰면서 페르마를 높이 평가한 것으로 알려졌다.


페르마는 초기에 [[완전수]]를 연구하기 시작하였으나, 곧 페르마는 [[디오판토스 방정식]]에 관심을 갖게 되었다. 페르마는 [[페르마 소정리]](1640)와 [[페르마의 마지막 정리]]를 제시하였다. 페르마의 마지막 정리는 오랫동안 증명이 되지 않았으나 1995년 [[앤드루 와일스]]에 의해 증명이 되었다.

===오일러===
[[레온하르트 오일러]]는 1729년부터 수론에 관심을 갖기 사작하였다. 오일러는 [[페르마 소정리]]를 증명하였고, 또 [[페르마의 마지막 정리]]를 <math>n=3</math>인 경우 증명하였다. 또한 [[펠 방정식]]을 명명하였고 연구하였다. 또한, [[오일러의 오각수 정리]] 등을 증명하는 과정에서 최초로 [[해석적 수론]]의 기법들을 도입하였다.

=== 라그랑주, 르장드르, 가우스 ===
[[조제프루이 라그랑주]](1736–1813)는 [[피에르 드 페르마]]와 [[레온하르트 오일러]]의 일부 명제들을 엄밀히 증명하였다. 예를 들어, [[라그랑주 네 제곱수 정리]]와 [[펠 방정식]]의 이론 등이 있다.  또한, 라그랑주는 일반적인 [[이차 형식]]을 연구하기 시작하였다.

[[아드리앵마리 르장드르]](1752–1833)는 [[이차 상호 법칙]]을 최초로 발표하였다. 또한, [[소수 정리]]를 추측하였고, [[페르마의 마지막 정리]]를 <math>n=5</math>인 경우 증명하였다.

[[카를 프리드리히 가우스]] (1777–1855)는 1798년 《산술연구》(Disquisitiones Arithmeticae)를 출판하였다. 이 책에는 [[이차 상호 법칙]]의 증명이 수록되어 있다. 또한, 《산술연구》 7장에는 1의 거듭제곱근에 대한 내용이 수록되어 있다.

===현대 수론===
19세기부터 [[수론]]이 수학의 한 독자적인 분야로 발달하기 시작하였다. 또한, 현대 수론에 등장하는 [[복소해석학]]·[[군론]]·[[갈루아 이론]] 등이 발달되면서 수론의 기법이 풍부해졌고, [[해석적 수론]]과 [[대수적 수론]]으로의 분류가 등장하였다.

[[해석적 수론]]은 통상적으로 [[페터 구스타프 르죈 디리클레]]가 1837년 [[L-함수]]를 도입하면서 시작되었다고 본다. [[베른하르트 리만]]은 1859년 [[리만 제타 함수]]를 정의하였고, [[소수 (수론)|소수]]와의 관계를 증명하였다.
리만의 업적은 셀수없이 많다

[[대수적 수론]]은 [[리하르트 데데킨트]]가 1863년 출판하였고  1879·1894년 개정한 《수론 강의》({{llang|de|Vorlesungen über Zahlentheorie}})로부터 시작되었다. 이 책의 개정판에서 데데킨트는 [[아이디얼]]의 개념을 ([[대수적 수체]]의 경우에 대하여) 정의하였다. [[다비트 힐베르트]]는 1897년 《수론 보고서》({{llang|de|Zahlbericht}})에서 대수적 수론의 초반을 닦았다. 힐베르트는 또한 [[유체론]]의 시초가 되는 가설들을 제기하였다. 1924년 [[에밀 아르틴]]은 [[아르틴 상호 법칙]]을 증명하였다. 1955년에는 [[모듈러성 정리]]가 최초로 발표되었고, 이는 1967년에 [[로버트 랭글랜즈]]가 발표한 [[랭글랜즈 프로그램]]의 일부로 일반화되었다. 모듈러성 정리는 [[앤드루 와일스]]의 기법들을 토대로 2001년 증명되었다.

== 분류 ==
=== 초등 정수론 ===
보통 [[복소해석학]]을 사용하지 않는 정수론을 '''초등 정수론'''({{llang|en|elementary number theory}})이라고 한다.

=== 해석적 수론 ===
{{본문|해석적 수론}}
[[해석적 수론]]({{llang|en|analytic number theory}})은 [[복소해석학]]을 기반으로 하고, 엄격한 항등식 대신 크기나 밀도의 어림잡음을 다루는 분야이다. 승법 수론({{llang|en|multiplicative number theory}})이 여기에 포함된다.

해석적 수론에서 다루는 문제로는 다음과 같은 것들이 있다.
* [[골드바흐의 추측]]
* [[쌍둥이 소수 추측]]
* [[웨어링의 문제]]
* [[리만 가설]]
이들을 다루기 위하여, [[하디-리틀우드 원 방법]]({{llang|en|Hardy–Littlewood circle method}}), 체({{llang|en|sieve}}) 이론, [[L-함수]], [[모듈러 형식]], [[보형 형식]] 등의 도구를 사용한다.

=== 대수적 수론 ===
{{본문|대수적 수론}}
[[대수적 수론]]은 [[대수적 수체]]를 연구한다. 여기에는 주로 [[추상대수학]]의 기법이 사용된다.
[[잉여류]], [[아이디얼]] 등 대수학적 구조에 응용된 수론 부분과 [[유수]] 등의 정수 확대체의 성질 부분, [[오일러 피 함수]], [[뫼비우스 함수]], [[르장드르 함수]] 등과 같은 잉여류의 성질에 대한 수론 함수들 등 대부분의 수론 영역이 여기에 속한다.

세부 분야로, [[체의 확대]]를 [[군론]]을 사용하여 연구하는 [[갈루아 이론]]과, [[아벨 확대]]를 연구하는 [[유체론]]이 있다. 또한, 수론과 [[보형 형식]]을 연관짓는 [[랭글랜즈 프로그램]](Langlands program)과, 수체들의 무한한 열을 연구하는 [[이와사와 이론]](Iwasawa theory)도 여기에 속한다.

=== 디오판토스 기하학 ===
{{본문|디오판토스 기하학}}
[[디오판토스 기하학]]({{llang|en|Diophantine geometry}}) 또는 산술기하학({{llang|en|arithmetic geometry}})은 [[디오판토스 방정식]]을 연구한다. 이들 방정식들은 [[대수기하학]]에서 파생된 [[스킴 (수학)|스킴]]의 언어를 사용하여 기하학적인 대상으로 간주될 수 있다.

=== 계산 수론 ===
'''계산 수론'''({{llang|en|computational number theory}})는 [[수론]]에서 등장하는 각종 값들을 계산하는 [[알고리즘]]을 연구하는 분야이다. [[소인수 분해]]나 [[유한체]]에 대한 알고리즘의 연구가 대표적인 예이다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[기하학]]
* [[대수학]]
* [[해석학 (수학)|해석학]]
* [[유한체]]
* [[p진수]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=과학의 언어 수: 원시 셈법에서 최신 정수론까지 수의 황홀한 역사|이름=토비아스|성=단치히|출판사=지식의 숲|기타=심재관 역|isbn=9788991762442|날짜=2007}}
* {{서적 인용|제목=정수론|저자=윤영진|출판사=교우사|isbn=978-8981728656|날짜=2011}}
* {{서적 인용|제목=정수론|판=8판|저자=김응태|공저자=박승안|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-595-6|날짜=2012|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7423|access-date=2013-12-30|archive-date=2013-12-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20131230233317/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7423|url-status=}}
* {{서적 인용|제목=정수론|저자=최은미|출판사=북스힐|isbn=978-8955266580|날짜=2013}}

{{정수론}}
{{수학 분야}}
{{컴퓨터 과학}}

{{전거 통제}}

[[분류:수론| ]]