수렴판정법 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''수렴판정법'''(收斂判定法, {{lang|en|convergence test}})은 [[무한급수]]의 수렴성을 판단하는 방법이다. 구체적으로, 급수가 [[수렴급수|수렴]], [[절대수렴]], [[조건수렴]], 또는 [[발산급수|발산]]할 [[충분조건|충분]], [[필요조건|필요]], 또는 [[필요충분조건]]을 제시한다. [[함수항급수]]의 [[점별수렴]], [[균등수렴]] 여부를 판정하거나 [[수렴역]]을 구하는 방법도 제공한다.

== 개요 ==
무한급수가 발산하는지 여부를 판단하는 가장 쉬운 방법은 급수를 구성하고 있는 수열의 n번째 항인 ''a''<sub>''n''</sub>이 ''n''이 무한으로 갈 때 0으로 수렴하는지 여부를 체크하면 된다. 만약 0으로 가지 않는다면, 이 급수는 발산한다는 사실을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 그 극한값이 0으로 간다고 해도, 이 급수가 항상 수렴하는 것은 아니다. 다음의 급수의 경우 수열의 값은 0으로 수렴하지만, 급수는 수렴하지 않는다.

:<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots.</math>

급수를 구성하고 있는 각 수열들이 0이 아닌 항으로만 이루어져 있더라도 수렴할 수도 있다. [[제논의 역설]]로도 확인할 수 있는 수렴하는 무한급수의 예는 다음과 같다.

:<math>\sum_{n=0}^\infty 2^{-(n+1)} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots.</math>

[[수직선]]에서 이를 눈으로 확인해볼 수 있다. 수직선에서 <math> \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \cdots</math>에 해당하는 부분에 점을 찍어보면, 언제나 마지막에 찍은 점과 그 앞에 찍은 점 사이의 거리가, 1과 마지막에 찍은 점과의 거리와 같다는 사실을 알 수 있다. 하지만 이런 논리로는 이 급수의 부분합이 항상 1보다 작다는 사실을 설명할 뿐, 무한급수의 합이 1이 된다는 사실을 증명해주지는 못한다.

== 주로 쓰이는 판정법들 ==
* [[비교판정법]]
* [[근 판정법]]
* [[비 판정법]]
* [[교대급수판정법]](라이프니츠 판정법)
* [[적분판정법]]

== 기타 판정법들 ==
* [[바이어슈트라스 M-판정법]]
* [[라브 판정법]]
* [[가우스 판정법]]
* [[코시 응집판정법]]
* [[쿰머 판정법]]
* [[아벨 판정법]]
* [[디리클레 판정법]]
* [[베르트랑 판정법]]
* [[아벨-디니 판정법]]
* [[프링스하임 판정법]]
* [[오일러 변환]]
* [[아벨 변환]]
* [[에르마코프 판정법]]

== 같이 보기 ==
* [[로피탈의 정리]]

[[분류:수렴판정법]]
[[분류:증명]]