숄레스키 분해 문서 원본 보기

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'''숄레스키 분해'''(Cholesky decomposition)는 [[에르미트 행렬]](Hermitian matrix), 양의 [[정부호행렬]](positive-definite matrix)의 분해에서 사용된다. 촐레스키 분해의 결과는 [[하삼각행렬]]과 하삼각행렬의 [[켤레전치]] 행렬의 곱으로 표현된다.

== 정의 ==
[[에르미트]] 양의 정부호 행렬 <math>A</math>의 '''숄레스키 분해'''는 다음과 같은 꼴의 분해이다.
:<math>A=LL^*</math>

여기서 <math>L</math>은 [[하삼각행렬]]이며, <math>L^*</math>는 <math>L</math>의 [[켤레전치]]이다. 또한, <math>L</math>의 대각 성분들은 모두 양의 실수이다.

<math>A</math>의 모든 성분이 실수이면, <math>L</math>의 모든 성분도 실수이며, <math>A=LL^T</math>로 분해된다.

== 역사 ==
[[프랑스]]의 수학자 [[앙드레루이 숄레스키]]({{llang|fr|André-Louis Cholesky}})가 실수 행렬에 대해 발견했다.

== 예제 ==
<math>\begin{align}
\left(
  \begin{array}{*{3}{r}}
      4 &  12 & -16 \\
     12 &  37 & -43 \\
    -16 & -43 &  98 \\
  \end{array}
\right)
=
\left(
  \begin{array}{*{3}{r}}
     2 &  0 &  0 \\
     6 &  1 &  0 \\
    -8 &  5 &  3 \\
  \end{array}
\right)
\left(
  \begin{array}{*{3}{r}}
     2 &  6 & -8 \\
     0 &  1 &  5 \\
     0 &  0 &  3 \\
  \end{array}
\right).
\end{align}</math>

== 응용 ==
이는 효율적인 수치해석에서 유용하게 사용되며, [[몬테 카를로 시뮬레이션]](Monte Carlo Simulations)에서도 유용하다. 선형 방정식 시스템을 푸는 실제 응용에서, 촐레스키 분해가 LU 분해와 비교했을 때 약 두 배 정도 효율적인 것으로 알려졌다.<ref>{{서적 인용|성1=Press|이름1=William H.|성2=Teukolsky|이름2=Saul A.|성3=Vetterling|이름3=William T.|성4=Flannery|이름4=Brian P. |제목=Numerical recipes in C : the art of scientific computing |날짜=1992 |출판사=Cambridge University Press |위치=Cambridge [Cambridgeshire] |isbn=0-521-43108-5 |쪽=994 |판=2nd |url=https://archive.org/details/numericalrecipes0865unse/page/n5/mode/2up |확인날짜=2009-01-28}}</ref>

== 계산 ==

: <math>\begin{align}
\mathbf{A} = \mathbf{LL}^T & =
\begin{pmatrix}   L_{11} & 0 & 0 \\
   L_{21} & L_{22} & 0 \\
   L_{31} & L_{32} & L_{33}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}   L_{11} & L_{21} & L_{31} \\
   0 & L_{22} & L_{32} \\
   0 & 0 & L_{33}
\end{pmatrix} \\
& =
\begin{pmatrix}   L_{11}^2 &   &(\text{symmetric})   \\
   L_{21}L_{11} & L_{21}^2 + L_{22}^2& \\
   L_{31}L_{11} & L_{31}L_{21}+L_{32}L_{22} & L_{31}^2 + L_{32}^2+L_{33}^2
\end{pmatrix},
\end{align}</math>

<br />

: <math>\begin{align}
\mathbf{L} = 
\begin{pmatrix} \sqrt{A_{11}} &  0 & 0  \\
A_{21}/L_{11} & \sqrt{A_{22} - L_{21}^2} & 0 \\
A_{31}/L_{11} &  \left( A_{32} - L_{31}L_{21} \right) /L_{22}  &\sqrt{A_{33}- L_{31}^2 - L_{32}^2}
\end{pmatrix}
\end{align}</math>

<br />

: <math> L_{j,j} = \sqrt{ A_{j,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{j,k}^2 }, </math>
: <math> L_{i,j} = \frac{1}{L_{j,j}} \left( A_{i,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{i,k} L_{j,k} \right) \quad \text{for } i>j. </math>

== 같이 보기 ==
* [[LU 분해]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{토막글|수학}}

[[분류:행렬 분해]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:수치선형대수학]]