소 아이디얼 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''소 아이디얼'''(素ideal, {{llang|en|prime ideal}})은 [[아이디얼]] 가운데 [[소수 (수론)|소수]]와 같은 성질을 갖는 것들이다. [[가환환]]의 소 아이디얼은 [[대수기하학]]에서 [[아핀 스킴]]의 부분다양체에 대응하며, 아핀 스킴의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 한 점을 이룬다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 양쪽 [[진 아이디얼]] <math>\mathfrak p\subsetneq R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 '''소 아이디얼'''이라고 한다.
* 임의의 두 양쪽 아이디얼 <math>\mathfrak a,\mathfrak b\subseteq R</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak a\mathfrak b\subseteq\mathfrak p</math>라면 <math>\mathfrak a\subseteq\mathfrak p</math>이거나 <math>\mathfrak b\subseteq\mathfrak p</math>이다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|155, Definition 10.1}}
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>(r)(s)\subseteq\mathfrak p</math>라면 <math>r\in\mathfrak p</math>이거나 <math>s\in\mathfrak p</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|155, Proposition 10.2}}
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rRs\subseteq\mathfrak p</math>라면 <math>r\in\mathfrak p</math>이거나 <math>s\in\mathfrak p</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|155, Proposition 10.2}}
* 임의의 오른쪽 아이디얼 <math>\mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p</math>라면 <math>\mathfrak A\subseteq\mathfrak p</math>이거나 <math>\mathfrak B\subseteq\mathfrak p</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|155, Proposition 10.2}}
* 임의의 왼쪽 아이디얼 <math>\mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p</math>라면 <math>\mathfrak A\subseteq\mathfrak p</math>이거나 <math>\mathfrak B\subseteq\mathfrak p</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|155, Proposition 10.2}}
* <math>R\setminus\mathfrak p</math>는 m계를 이룬다.<ref name="Lam"/>{{rp|156, Corollary 10.4}}
* [[몫환]] <math>R/\mathfrak p</math>가 [[소환 (환론)|소환]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|158}}

여기서 환 <math>R</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq R</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''m계'''(m系, {{llang|en|m-system}})라고 한다.
* 임의의 <math>s,t\in S</math>에 대하여, <math>srt\in S</math>인 <math>r\in R</math>가 존재한다.
물론, 모든 곱셈 모노이드는 m계를 이룬다.

=== 완전 소 아이디얼 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 양쪽 [[진 아이디얼]] <math>\mathfrak p\subsetneq R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 '''완전 소 아이디얼'''(完全素ideal, {{llang|en|completely prime ideal}})이라고 한다.
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rs\in\mathfrak p</math>라면 <math>r\in\mathfrak p</math>이거나 <math>s\in\mathfrak p</math>이다.
* [[몫환]] <math>R/\mathfrak p</math>는 [[영역 (환론)|영역]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|194}}
* <math>R\setminus\mathfrak p</math>는 곱셈에 대하여 [[모노이드]]를 이룬다.

=== 소원 ===
[[소환 (환론)|소환]] <math>R</math>의 원소 <math>p\in R</math>가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 '''소원'''(素元, {{llang|en|prime element}})이라고 한다.<ref name="Smertnig">{{저널 인용|제목=Factorizations of elements in noncommutative rings: A survey|이름=Daniel|성=Smertnig|arxiv=1507.07487|bibcode=2015arXiv150707487S|날짜=2015|언어=en}}</ref>{{rp|§4.2}}
* <math>pR=Rp</math>
* <math>p\ne0</math>
* <math>pR</math>는 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 모든 <math>t\in R</math>에 대하여 <math>p\mid rts</math>라면, <math>p\mid r</math>이거나 <math>p\mid s</math>이다. (여기서 <math>p\mid a</math>는 <math>a\in Rp=pR</math>를 뜻한다.)
마찬가지로, [[소환 (환론)|소환]] <math>R</math>의 원소 <math>p\in R</math>가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 '''완전 소원'''(完全素元, {{llang|en|completely prime element}})이라고 한다.<ref name="Smertnig"/>{{rp|§4.2}}
* <math>pR=Rp</math>
* <math>p\ne0</math>
* <math>pR</math>는 완전 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>p\mid rs</math>라면 <math>p\mid r</math>이거나 <math>p\mid s</math>이다.
물론 <math>pR=Rp</math>인 것은 [[가환환]]에서 자동적으로 성립한다.

(가환) [[정역]]에서, 모든 소원은 [[기약원]]이지만,<ref name="DF">{{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|날짜=2004|제목=Abstract algebra|판=3|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|mr=2286236 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471433349.html|언어=en|oclc=248917264}}</ref>{{rp|284, Proposition 8.11}} 그 역은 성립하지 않는다. 다만, [[유일 인수 분해 정역]]에서는 [[기약원]]의 개념과 소원의 개념이 일치한다. 예를 들어, [[유수 (수론)|유수]]가 1이 아닌 [[대수적 정수환]] <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}]</math>에서, 3은 [[기약원]]이지만 다음과 같이 소원이 아니다.<ref name="DF"/>{{rp|284}}
:<math>3\mid 9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})</math>
:<math>3\nmid2+\sqrt{-5}</math>
:<math>3\nmid2-\sqrt{-5}</math>

== 성질 ==
일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[아이디얼]] ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ [[극대 아이디얼]]
그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.

임의의 환 <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
* [[소환 (환론)|소환]]이다.
임의의 환 <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
* [[영역 (환론)|영역]]이다.
([[극대 아이디얼]]의 경우 마찬가지로 [[단순환]]에 대응한다.)

[[자명환]]이 아닌 환은 [[초른 보조정리]]에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 [[극대 아이디얼]]을 갖는다). 주어진 환 <math>R</math>의 소 아이디얼들의 [[부분 순서 집합]]은 항상 하나 이상의 [[극소 원소]]들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 <math>\mathfrak p</math>에 대하여, <math>\mathfrak p</math>에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.

=== 함자성 ===
{{본문|환의 스펙트럼}}
두 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>, <math>S</math> 사이의 [[환 준동형]] <math>f\colon R\to S</math> 및 <math>S</math>의 완전 소 아이디얼 <math>\mathfrak p\vartriangleright S</math>에 대하여, 그 [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(\mathfrak p)</math>는 <math>R</math>의 완전 소 아이디얼이다. (그러나 이는 소 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.) 따라서, <math>R</math>의 완전 소 아이디얼들의 집합을 <math>\operatorname{compSpec}(R)</math>라고 한다면, 이는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{compSpec}\colon\operatorname{Ring}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
를 정의한다.

[[가환환]]의 경우, 완전 소 아이디얼과 소 아이디얼의 개념이 일치한다. 이 경우, 사실 가환환 <math>R</math>의 소 아이디얼의 집합 <math>\operatorname{Spec}(R)</math>은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 및 [[스킴 (수학)|스킴]]의 구조를 부여할 수 있어 [[스킴 (수학)|스킴]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Sch}</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Spec}\colon\operatorname{Ring}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Sch}</math>
를 정의한다.

=== 소 아이디얼 원리 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[양쪽 아이디얼]]들의 집합 <math>\mathcal F\subseteq\operatorname{Sub}(R_R)</math>가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, '''오카 족'''([岡]族, {{llang|en|Oka family}})이라고 한다.<ref name="Reyes"/>{{rp|Definition 2.1}}<ref name="LR"/>{{rp|Definition 2.1}}
* <math>R\in\mathcal F</math>
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 [[양쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak a_R</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak a+RrR\in\mathcal F</math>이며 <math>(r)^{-1}\mathfrak a=\{s\in R\colon rRs\subseteq\mathfrak a\}\in\mathcal F</math>이며 <math>\mathfrak a(r)^{-1}=\{s\in R\colon sRr\subseteq\mathfrak a\}</math>라면, <math>\mathfrak a\in\mathcal F</math>이다.

'''소 아이디얼 원리'''({{llang|en|prime ideal principle}})에 따르면,<ref name="Reyes">{{저널 인용|제목=A prime ideal principle for two-sided ideals|이름=Manuel L.|성=Reyes|arxiv=1501.06808|bibcode=2015arXiv150106808R|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 3.4}}<ref name="LR">{{저널 인용|제목=A prime ideal principle in commutative algebra|이름=T. Y.|성=Lam|저자링크=람짓윈|이름2=Manuel L.|성2=Reyes|doi=10.1016/j.jalgebra.2007.07.016|저널=Journal of Algebra|날짜=2008|쪽=3006–3027|권=319|url=https://math.berkeley.edu/~lam/html/JAlg-PIP.pdf|언어=en|access-date=2016-04-23|archive-date=2022-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20220929042805/https://math.berkeley.edu/~lam/html/JAlg-PIP.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|2.4}} <math>\mathcal F</math>가 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 오카 족이라고 할 때, <math>\mathcal F</math>의 [[여집합]] <math>\operatorname{Sub}(_RR_R)\setminus\mathcal F</math>의 [[극대 원소]]는 소 아이디얼이다. (여기서 <math>\operatorname{Sub}(_RR_R)</math>는 <math>R</math>의 모든 [[양쪽 아이디얼]]들의 집합이다.)

특히, 다음과 같은 아이디얼 족은 오카 족이다.
* [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 m계 <math>S\subseteq R</math>에 대하여, <math>S</math>와 교차하는 [[양쪽 아이디얼]]들의 족 <math>\{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon\mathfrak a\cap S\ne\varnothing\}</math>은 오카 족이다.<ref name="Reyes"/>{{rp|Proposition 3.1}}
** [[가환환]] <math>R</math>의 임의의 곱셈 [[모노이드]] <math>S\subseteq R</math>에 대하여, <math>S</math>와 교차하는 아이디얼들의 족 <math>\{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon\mathfrak a\cap S\ne\varnothing\}</math>은 오카 족이다.<ref name="LR"/>{{rp|Proposition 3.1}}
* [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[오른쪽 가군]] <math>M_R</math>에 대하여, <math>\{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon N\mathfrak a\ne0\;\forall N_R\subseteq M_R,\; N_R\ne0\}</math>는 오카 족이다.<ref name="Reyes"/>{{rp|Proposition 3.5}}
** [[가환환]] <math>R</math>의 가군 <math>M</math>에 대하여, <math>\operatorname{Ideal}(R)\setminus\{\operatorname{Ann}_R(m)\colon m\in M\setminus\{0\}\}</math>은 오카 족이다.<ref name="LR"/>{{rp|Proposition 3.5}} (여기서 <math>\operatorname{Ann}(-)</math>은 [[소멸자]]를 뜻한다.)
* [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 곱셈 모노이드 <math>S\subseteq R</math>에 대하여, 만약 모든 <math>s\in S</math>에 대하여 <math>sR=Rs</math>라면, <math>\{Rs=sR\colon s\in S\}</math>는 오카 족이다.<ref name="Reyes"/>{{rp|Proposition 4.1}}
** [[가환환]] <math>R</math>의 임의의 곱셈 [[모노이드]] <math>S\subseteq R</math>에 대하여, <math>S</math>의 원소로 생성되는 [[주 아이디얼]]들의 족 <math>\{(s)\colon s\in S\}</math>은 오카 족이다.<ref name="LR"/>{{rp|Proposition 3.17}} 특히, 모든 [[주 아이디얼]]들의 족 <math>\{(r)\colon r\in R\}</math>은 오카 족이다.
* [[가환환]] <math>R</math>의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[아이디얼]]들의 족은 오카 족이다.<ref name="LR"/>{{rp|Proposition 3.16}} (그러나 이는 비가환환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.<ref name="Reyes"/>{{rp|§2}})

=== 소 아이디얼 회피 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[환 (수학)|환]] <math>R</math>
* <math>R</math>의 [[양쪽 아이디얼]]들의 [[유한 집합]] <math>\{\mathfrak a_1,\dots,\mathfrak a_n\}</math>. 또한, <math>n\ge3</math>에 대하여 <math>\mathfrak a_n</math>은 완전 소 아이디얼이다.
* <math>R</math>의 부분 [[유사환]] (즉, 곱셈에 대하여 닫힌, 1을 포함하지 않을 수 있는 덧셈 [[부분군]]) <math>S\subseteq R</math>. 또한, 모든 <math>1\le i\le n</math>에 대하여 <math>S\not\subseteq\mathfrak a_i</math>이다.
'''소 아이디얼 회피 정리'''(素ideal回避定理, {{llang|en|prime avoidance}})에 따르면, 다음이 성립한다.<ref>{{저널 인용|제목=The prime avoidance lemma revisited|이름=Omid Ali Shahny|성=Karamzadeh|저널=Kyungpook Mathematical Journal|doi=10.5666/KMJ.2012.52.2.149|권=52|쪽=149–153|issn=1225-6951|언어=en}}</ref>
* <math>S\not\subseteq\bigcup_{i=1}^n\mathfrak a_i</math>
즉, <math>S</math>가 각 아이디얼들을 회피한다면, 모든 아이디얼들을 동시에 회피한다.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
<math>n</math>에 대한 [[수학적 귀납법]]을 사용하자. <math>n=1</math>인 경우는 자명하다. <math>n\ge2</math>일 때, 귀납 가정에 의하여 각 <math>1\le i\le n</math>에 대하여
:<math>s_i\in S\setminus\bigcup_{j\ne i}\mathfrak a_j</math>
를 고를 수 있다. 그렇다면
:<math>S\setminus\bigcup_{i=1}^n\mathfrak a_i\ni s=
\begin{cases}
s_i&\exists 1\le i\le n\colon s_i\not\in\mathfrak a_i\\
s_1\cdots s_{n-1}+s_n&\forall 1\le i\le n\colon s_i\in\mathfrak a_i
\end{cases}</math>
이다.</div></div>

=== 가환환의 소 아이디얼 ===
가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[아이디얼]] ⊇ [[반소 아이디얼]]  ∪  [[으뜸 아이디얼]] ⊇ [[반소 아이디얼]] ∩ [[으뜸 아이디얼]] = 소 아이디얼 = 완전 소 아이디얼 ⊇ [[극대 아이디얼]]

가환환 <math>R</math>의 진 아이디얼 <math>\mathfrak p\subsetneq R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathfrak p</math>는 소 아이디얼이다.
* <math>\mathfrak p</math>는 완전 소 아이디얼이다.
* <math>R/\mathfrak p</math>가 [[정역]]이다.
가환환 <math>R</math>의 소 아이디얼 <math>\mathfrak p</math>의 여집합 <math>R\setminus\mathfrak p</math>가 모노이드를 이루므로, <math>R\setminus\mathfrak p</math>에 대하여 [[국소화 (환론)|국소화]]를 취할 수 있다. 이 경우 <math>(R\setminus\mathfrak p)^{-1}R</math>는 [[국소환]]을 이룬다.

가환환의 [[환 준동형|준동형]] <math>f\colon R\to S</math> 및 <math>S</math>의 소 아이디얼 <math>\mathfrak p</math>에 대하여, <math>f^{-1}(\mathfrak p)</math>는 <math>R</math>의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

가환환의 소 아이디얼의 이러한 성질들은 [[대수기하학]]에서 매우 중요한 역할을 한다. 이러한 이유 때문에, [[환의 스펙트럼]]은 더 기하학적으로 자연스러운 [[극대 아이디얼]] 대신 소 아이디얼을 사용한다.
* 소 아이디얼의 준동형에 대한 원상이 소 아이디얼이므로, 이는 가환환의 범주에서 집합의 범주(또는 다른 [[구체적 범주]])로 가는 반변 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다. 다시 말해, 환 준동형은 [[아핀 스킴]] 사이의 함수를 정의한다.
* 소 아이디얼의 여집합은 [[모노이드]]를 이루므로, 소 아이디얼에서 [[국소화 (환론)|국소화]]를 취할 수 있으며, 이렇게 하여 얻은 환은 [[국소환]]이다. 즉, 환의 구조는 소 아이디얼에 대하여 국소적이다.

==== 높이 ====
{{본문|아이디얼의 높이}}
[[가환환]] <math>R</math>의 소 아이디얼 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>의 '''[[아이디얼의 높이|높이]]''' <math>\operatorname{ht}\mathfrak p</math>는 그 속에 포함되는 소 아이디얼들의 [[사슬 (순서론)|사슬]]의 길이의 [[상한]]이다.
:<math>\operatorname{ht}\mathfrak p=\max\{n\colon\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n=\mathfrak p\}</math>
특히, 높이가 0인 소 아이디얼은 포함 관계에 따라서 [[극소 원소]]인 소 아이디얼과 같으며, 이를 '''극소 소 아이디얼'''(極小素ideal, {{llang|en|minimal prime ideal}})이라고 한다.

예를 들어,
* [[가환환|가환]] [[아르틴 환]]의 경우 ([[크룰 차원]]이 0이므로) 극소 소 아이디얼 · 소 아이디얼 · [[극대 아이디얼]]의 개념이 일치한다.
* [[정역]]의 경우 유일한 극소 소 아이디얼은 [[영 아이디얼]]이다.
* [[가환환|가환]] [[뇌터 환]]은 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는다. (이는 [[에미 뇌터]]가 증명하였다.)

== 예 ==
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 소 아이디얼들은 [[소수 (수론)|소수]]와 [[일대일 대응]]한다. 구체적으로, 소수 <math>p</math>는 <math>p</math>의 [[배수]]들로 구성된 아이디얼 <math>p\mathbb Z=\{np\colon n\in\mathbb Z\}\subset\mathbb Z</math>와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. [[수론]]에서 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 두 정수의 곱 <math>ab</math>를 나누면 <math>p</math>는 <math>a</math>나 <math>b</math> 둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, <math>\mathfrak p\ne R</math>이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.

== 역사 ==
역사적으로, [[아이디얼]]의 개념은 [[수체]]의 [[대수적 정수환]]이 일반적으로 [[유일 인수 분해 정역]]이 아니라는 발견에서 비롯되었다. [[수체]]의 [[대수적 정수환]]은 항상 [[데데킨트 정역]]이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다.

비가환환에서의 소 아이디얼의 정의는 [[볼프강 크룰]]이 1928년에 제시하였다.<ref>{{저널 인용|성=Krull|이름=Wolfgang|저자링크=볼프강 크룰|제목=Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen|저널=Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften|날짜=1928|권=7|쪽=3-14|jfm=54.0156.01|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | 장=Prime ideals in Noetherian rings: a survey | doi=10.1007/978-3-0346-0007-1_13 | 장url=http://www.math.unl.edu/~rwiegand1/Primes/paper.pdf | 이름=Roger | 성=Wiegand | 이름2=Sylvia | 성2=Wiegand | 제목=Ring and module theory | 쪽=175–193 | 출판사=Springer-Verlag | 총서=Trends in Mathematics | 날짜=2010 | editor1-first=Toma | editor1-last=Albu | editor2-first=Gary F. | editor2-last=Birkenmeier | editor3-first=Ali | editor3-last=Erdoğan | editor4-first=Adnan | editor4-last=Tercan | isbn=978-3-0346-0006-4 | 언어=en | access-date=2016-04-23 | archive-date=2017-09-22 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170922001308/http://www.math.unl.edu/~rwiegand1/Primes/paper.pdf }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Prime ideal|first=K.A.|last=Zhevlakov}}
* {{eom|title=Prime element}}
* {{매스월드|id=PrimeIdeal|title=Prime ideal}}
* {{매스월드|id=PrimeElement|title=Prime element}}
* {{nlab|id=prime ideal theorem|title=Prime ideal theorem}}
* {{nlab|id=prime element|title=Prime element}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Prime_ideal|제목=Prime ideal|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Prime_element|제목=Prime element|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Prime_avoidance_lemma|제목=Prime avoidance lemma|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Prime_ideal_need_not_contain_any_prime_element|제목=Prime ideal need not contain any prime element|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Primeness_is_contraction-closed|제목=Primeness is contraction-closed|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Principal_prime_ideal|제목=Principal prime ideal|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Minimal_prime_ideal|제목=Minimal prime ideal|웹사이트=Commalg|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[환의 스펙트럼]]

[[분류:아이디얼]]
[[분류:대수기하학]]