소 매듭 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[매듭 이론]]에서 '''소 매듭'''(素-, {{llang|en|prime knot}})은 [[자명한 매듭]]이 아니며, 다른 매듭의 [[연결합]]으로 나타내어질 수 없는 [[매듭 (수학)|매듭]]이다.

== 정의 ==
=== 매듭의 연결합 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 두 [[유향 다양체|유향]] [[매듭 (수학)|매듭]] <math>K, K' \colon\mathbb S^1\to\mathbb S^3</math>
그렇다면, 다음과 같은 연산을 생각할 수 있다.
* 두 매듭의 그림을 임의로 고른다.
::[[파일:Sum of knots.png|300px]]
* 이 두 매듭의 그림에서, 서로 반대 방향을 향하는 두 변들을 고른다.
::[[파일:Sum of knots2.png|300px]]
* 이 두 변들을 잇는다.
::[[파일:Sum of knots3.svg|300px]]
이 연산에 따라, 유향 매듭들은 [[가환 모노이드]]를 이룬다. (그러나 이 연산은 매듭의 방향에 의존한다.) 이 연산을 매듭의 '''연결합'''이라고 하고, <math>\#</math>로 표기하자. 이 연산은 다음을 만족시킨다.
:<math>\overline{K\#K'} \cong \bar K\#\bar K'</math>
여기서 <math>\bar K</math>는 유항 매듭 <math>K</math>에서, 반대 방향을 부여한 유향 매듭이다. 그러나 일반적으로
:<math>K \# K' \not\cong K \# \bar K'</math>
이다. (예를 들어, 두 [[세잎매듭]]의 연결합은 방향에 따라 두 가지가 있다.)

=== 소 매듭 ===
두 유향 매듭의 <math>K</math>, <math>K'</math>의 매듭 연결합이 [[자명한 매듭]]일 [[필요 충분 조건]]은 <math>K</math>와 <math>K'</math> 둘 다 [[자명한 매듭]]인 것이다. 또한, 자명한 매듭은 매듭 연결합의 항등원이다.

이제, 유향 매듭 <math>K</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''유향 소 매듭'''이라고 한다.
* <math>K\cong K'\# K''</math>일 때, <math>K'</math>와 <math>K''</math> 가운데 하나가 [[자명한 매듭]]이며, 다른 하나는 [[자명한 매듭]]이 아니다.
유향 매듭 <math>K</math>가 유향 소 매듭일 [[필요 충분 조건]]은 <math>\bar K</math>가 유향 소 매듭인 것이다. 즉, 이 조건은 매듭의 방향에 의존하지 않는다. 이에 따라, 임의로 방향을 부여하였을 때 유향 소 매듭이 되는 매듭을 '''소 매듭'''이라고 한다. (특히, [[자명한 매듭]]은 소 매듭이 아니다.)

== 성질 ==
모든 유향 매듭은 유한 개의 유향 소 매듭들의 연결합으로 유일하게 표현된다. (이 정리가 성립하려면, [[자명한 매듭]]이 소 매듭이 될 수 없다.)

각 교차수에 따라, 소 매듭의 수는 다음과 같다. {{OEIS|A2863}}
:{| class=wikitable style="text-align: right"
! 교차수
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16
|-
! 소 매듭의 수
| 0 || 0 || 1 || 1 || 2 || 3 || 7 || 21 || 49 || 165 || 552 || 2176 || 9988 || 46972 || 253293 || 1388705
|}

== 목록 ==
교차수가 7 이하인 소 매듭들의 목록은 다음과 같다.
:{| class="wikitable sortable" style="text-align:center"
! 이름 !! 그림 !! 알렉산더-브리그스 표기법 !! 시슬스웨이트 표기법 !! 다우커 표기법 !! 콘웨이 표기법
|-
| [[세잎매듭]]
| [[파일:Blue Trefoil Knot.png|60px]]
| 3<sub>1</sub>
| 3a1
| 4 6 2
| [3]
|-
| 8자 매듭
| [[파일:Blue Figure-Eight Knot.png|60px]]
| 4<sub>1</sub>
| 4a1
| 4 6 8 2
| [22]
|-
| 다섯잎매듭
| [[파일:Blue Cinquefoil Knot.png|60px]]
| 5<sub>1</sub>
| 5a2
| 6 8 10 2 4
| [5]
|-
| 3겹 뒤튼 매듭
| [[파일:Blue Three-Twist Knot.png|60px]]
| 5<sub>2</sub>
| 5a1
| 4 8 10 2 6
| [32]
|-
| 하역 매듭
| [[파일:Blue Stevedore Knot.png|60px]]
| 6<sub>1</sub>
| 6a3
| 4 8 12 10 2 6
| [42]
|-
| 밀러 연구소 매듭
| [[파일:Blue 6_2 Knot.png|60px]]
| 6<sub>2</sub>
| 6a2
| 4 8 10 12 2 6
| [312]
|-
| 
| [[파일:Blue 6_3 Knot.png|60px]]
| 6<sub>3</sub>
| 6a1
| 4 8 10 2 12 6
| [2112]
|-
| 일곱잎매듭
| [[파일:Blue 7 1 Knot.png|60px]]
| 7<sub>1</sub>
| 7a7
| 8 10 12 14 2 4 6
| [7]
|-
| 5겹 뒤튼 매듭
| [[파일:Blue 7 2 Knot.png|60px]]
| 7<sub>2</sub>
| 7a4
| 4 10 14 12 2 8 6
| [52]
|-
| 
| [[파일:Blue 7 3 Knot.png|60px]]
| 7<sub>3</sub>
| 7a5
| 6 10 12 14 2 4 8
| [43]
|-
| 
| [[파일:Blue 7 4 Knot.png|60px]]
| 7<sub>4</sub>
| 7a6
| 6 10 12 14 4 2 8
| [313]
|-
| 
| [[파일:Blue 7 5 Knot.png|60px]]
| 7<sub>5</sub>
| 7a3
| 4 10 12 14 2 8 6
| [322]
|-
| 
| [[파일:Blue 7 6 Knot.png|60px]]
| 7<sub>6</sub>
| 7a2
| 4 8 12 2 14 6 10
| [2212]
|-
| 
| [[파일:Blue 7 7 Knot.png|60px]]
| 7<sub>7</sub>
| 7a1
| 4 8 10 12 2 14 6
| [21112]
|}

여기서, 사용된 표기법은 다음과 같다.
* '''알렉산더-브리그스 표기법'''({{llang|en|Alexander–Briggs notation}}): [[제임스 워델 알렉산더]]와 갈런드 버드 브리그스({{llang|en|Garland Baird Briggs}})의 1927년 논문<ref>{{저널 인용|성=Alexander|이름=James Waddell Ⅱ|저자링크=제임스 워델 알렉산더|성2=Briggs|이름2= Garland Baird | 날짜=1926|제목=On types of knotted curves|저널=Annals of Mathematics|권= 28|쪽=562–586|mr= 1502807|doi=10.2307/1968399|jstor=1968399|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/alexbriggs.pdf|언어=en}}</ref>에서 최초로 사용되었으며, 이후 데일 롤프슨({{llang|en|Dale Rolfsen}})이 그 목록을 확장하였다. 이 표기법에서, <math>n_m</math>은 교차수 <math>n</math>을 갖는 소 매듭을 뜻하며, <math>m</math>은 같은 교차수 속에서 임의로 순서를 매긴 것이다.
* '''시슬스웨이트 표기법'''({{llang|en|Thistlethwaite notation}}): 모원 시슬스웨이트({{llang|en|Morwen B. Thistlethwaite}})가 도입하였다.
* 다우커 표기법({{llang|en|Dowker notation}}): 클리퍼드 휴 다우커({{llang|en|Clifford Hugh Dowker}})가 도입하였다.
* '''콘웨이 표기법'''({{llang|en|Conway notation}}): [[존 호턴 콘웨이]]가 도입하였다.

== 역사 ==
일부 소 매듭의 어원은 다음과 같다.
* 세잎매듭({{llang|en|trefoil knot}}) · 다섯잎매듭({{llang|en|cinquefoil knot}}) · 일곱잎매듭({{llang|en|septfoil knot}}): 매듭의 모양을 세잎 [[토끼풀]] 및 (가상의) 다섯잎· 일곱잎 토끼풀에 빗댄 것이다.
* 8자 매듭({{llang|en|figure-eight knot}}) 매듭의 중앙에 [[아라비아 숫자]] 8과 비슷한 모양이 있다.
*  3겹 뒤튼 매듭({{llang|en|three-twist knot}}) · 5겹 뒤튼 매듭({{llang|en|five-twist knot}}): 맨 위에 3번 · 5번 뒤튼 모양이 있다. (1겹 뒤튼 매듭은 [[세잎매듭]]과 같으며, 2겹 뒤튼 매듭은 8자 매듭과 같으며, 4겹 뒤튼 매듭은 하역 매듭과 같다.)
* 하역 매듭(荷役-, {{llang|en|stevedore’s knot}}): 부두에서 짐을 싣거나 내릴 때 이 매듭을 사용했다고 한다. {{llang|en|[[:wiktionary:ko:stevedore|stevedore]]|스티브도어}}는 항만(港灣) 노동자를 뜻한다.
* 밀러 연구소 매듭({{llang|en|Miller Institute knot}}): 미국 [[캘리포니아 대학교 버클리]] 밀러 기초 과학 연구소({{llang|en|The Miller Institute for Basic Research in Science}})의 로고에 이 매듭이 등장한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{매스월드|id=PrimeKnot|title=Prime knot}}
* {{웹 인용 | url=http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Rolfsen_Knot_Table | 제목=The Rolfsen knot table | 웹사이트=The Knot Atlas | 언어=en }}{{깨진 링크|url=http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Rolfsen_Knot_Table }}

{{전거 통제}}

[[분류:매듭 이론]]