소파 옮기기 문제 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미해결|수학|단위 너비의 ㄱ자 복도를 통과할 수 있는 모양의 최대 넓이는 얼마인가?}}

'''소파 옮기기 문제'''({{llang|en|Moving sofa problem}}) 또는 '''소파 문제'''({{llang|en|Sofa problem}})는 폭이 1인 복도에서 직각의 모서리를 끼고 있는 복도가 있을 때, 이 공간을 통과할 수 있는 단면적 A가 최대인 소파를 찾는 문제이다. 1966년에 제기된 이후 미해결 문제로 남아 있다. A는 '''소파 상수'''라고 불린다.<ref name="book1">{{서적 인용 |제목=이토록 재미있는 수학이라니 |출판사=미디어숲 |isbn=979-11-5874-079-5 |쪽=45~54}}</ref><ref name="donga">{{서적 인용 |제목=[신문과 놀자!/눈이 커지는 수학]폭 1m의 꺾인 복도를 통과할 수 있는 소파는? |위치=동아닷컴 |url=https://www.donga.com/news/article/all/20170607/84744760/1}}</ref> 소파 상수의 상한은 미증명되었다.
<div>__TOC__</div>

== 조건 ==
소파 옮기기 문제에서는 조건이 있다.<ref name="book1" />
# 복도의 높이는 고려하지 않는다.
# 복도의 길이는 결과와 무관하다.

== 역사 ==
이 문제는 최초로 공식적으로 [[오스트리아]]-[[캐나다]]인 수학자 레오 모서([[:en:Leo Moser|Leo Moser]])에 의해 1966년에 제시되었지만 그 전에도 비공식적인 언급은 많이 있었다.<ref name="Neal Wagner">{{저널 인용 |성=Wagner |이름=Neal R. |제목=The Sofa Problem |저널=The American Mathematical Monthly |권=83 |호=3 |year=1976 |쪽=188–189 |doi=10.2307/2977022 |url=http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf |jstor=2977022 |access-date=2020-10-10 |archive-date=2015-04-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150420160001/http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf |url-status=dead }} (영어)</ref>

'폭이 1m이고 직각 커브가 있는 복도를 지나 갈 수 있는 소파의 크기는 최대 몇 m²인가'라는 질문을 한 것이 이 문제의 시작이다. 여기서 소파는 도형이기만 하면 어떤 형태든 상관이 없으며, 3D가 아닌 2D로만 따지기에 높이나 기울이는 방법 등은 고려하지 않는다.

1968년 영국 수학자 존 헤머슬리([[:en:John_Hammersley|John Hammersley]])는 넓이 2.2074의 전화기 모양 소파를 고안해 제시했다.

1992년 미국 수학자 조셉 거버(Joseph Leonide Gerver)는 헤머슬리의 소파를 발전시켜 2.2195라는 더 큰 면적 값을 구했다.

2024년 한국 수학자 백진언은 조셉 거버의 소파가 정답이라는 사실을 사실상 증명했다.

== 옮기기 가능한 도형 ==
다음은 옮기기 가능하다고 증명된 도형 중 일부이다.
{| class="wikitable"
! 종류 !! 설명 !! 넓이
|-
| [[선분]] || 길이 <math>2\sqrt{2}</math> || 0
|-
| [[정사각형]] || 한 변의 길이 <math>1</math> || <math>1</math>
|-
| [[직사각형]] || || <math>1</math>
|-
| [[삼각형]] || 밑변 <math>2</math>, 높이 <math>1</math> || <math>1</math>
|-
| [[반원]] || 반지름의 길이 <math>1</math> || <math>\frac{\pi}{2}\approx1.57</math>
|-
| 좌우이심의 소파 || || <math>\approx1.645</math>
|-
| 해머즐리 소파 || || <math>\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\approx2.2074</math>
|-
| 게르버 소파 || || <math>\approx2.2195</math>
|}
<ref name="book1" /><ref name="donga" />

== 면적의 상한과 하한 ==
[[파일:Hammersley sofa animated.gif|오른쪽|280px|섬네일|헤머슬리 소파(Hammersley sofa)의 면적은 약 2.2074이지만 게르버 소파의 면적보다 더 작다.]]
[[파일:Gerver.svg|오른쪽|280px|섬네일|게르버(Gerver's sofa)의 면적은 약 2.2195이며 현재까지 알려진 가장 큰 하한이다.]]
[[파일:Romik.svg|오른쪽|280px|섬네일|로믹(Romik)의 좌우이심 소파(Ambidextrous sofa)]]

소파의 단면적 A의 상한과 하한에 대한 연구가 많이 이루어졌다.
=== 하한 ===
반지름의 길이가 1인 반원은 회전 이동을 통해 모서리를 통과할 수 있으니, 하한은 반원의 넓이 <math>\frac{\pi}{2}\approx1.57</math> 보다 크다.<ref name="book1" /><ref name="donga" />

[[존 해머슬리]](John Hammersley)가 고안한 해머슬리 소파(Hammersley's sofa)는 가로 <math>4/\pi</math> 세로 1인 직사각형에서 반지름이 <math>2/\pi</math>인 반원을 잘라내어서 넓이가 <math>2/\pi</math> 인 도형 1개와, 반지름이 1이고 넓이가 각각 <math>\pi/4</math> 인 사분면 2개로 이루어져 있다. 따라서 총 넓이가 가운데 부분 <math>2/\pi</math> 와 양 끝 부채꼴 <math>\pi/2</math>를 더한 값인 <math>\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\approx2.2074</math>이다.<ref name="book1" />

1992년 조제프 게르버(Joseph Gerver)가 고안한 게르버 소파(Gerver's sofa)는 해머슬리 소파와 비슷하지만, 18개의 곡선으로 이루어져 있다. 넓이는 약 <math>2.2195</math>이다. 해머슬리 소파보다 약 0.01 더 넓다.<ref name="book1" /><ref>{{웹 인용 |제목=Moving Sofa Problem |url=https://mathworld.wolfram.com/MovingSofaProblem.html |웹사이트=Wolfram Math World}}</ref>

=== 상한 ===
해머슬리는 소파 상수의 상계도 찾았다. <math>2\sqrt{2} \approx 2.8284</math>이다.<ref name="Neal Wagner"/><ref>{{서적 인용 |성=Stewart |이름=Ian |authorlink=이언 스튜어트 (수학자) |제목=Another Fine Math You've Got Me Into...  |출판사=Dover Publications |위치=Mineola, N.Y. |isbn=0486431819 |url=http://store.doverpublications.com/0486431819.html}}</ref>

요아브 캘러스(Yoav Kallus)와 단 로믹(Dan Romik)은 새로운 상계를 2017년 9월에 증명했다. 값이 더 낮아진 <math>2.37</math>이다.<ref>{{저널 인용|성=Kallus|이름=Yoav|성2=Romik|이름2=Dan|제목=Improved upper bounds in the moving sofa problem|저널=Advances in Mathematics|volume=340|pages=960–982|arxiv=1706.06630|doi=10.1016/j.aim.2018.10.022|issn=0001-8708}}</ref>

== 좌우이심의 소파 ==
단 로믹(Dan Romik)이 고안한 좌우이심(左右二心)의 소파는 게르버 소파보다 더 아름다운 모양이다. 면적 공식은 다음과 같다.
<math>\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}-1+\tan^{-1} \left\{{1 \over 2 }\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}+1}-\sqrt[3]{\sqrt{2}-1} \right) \right\}\approx1.645 </math>

== 같이 보기 ==
* [[수학의 미해결 문제 목록]]

== 각주 ==
<references />

{{토막글|기하학}}

[[분류:기하학의 미해결 문제]]