소수 정리 문서 원본 보기

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[[해석적 수론]]에서 '''소수 정리'''(素數定理, {{llang|en|prime number theorem}}, 약자 PNT)는 [[소수 (수론)|소수]]의 분포를 근사적으로 기술하는 정리이다.

개념적으로, 소수 정리는 어떤 큰 수 <math>N</math>에 가까운 [[정수]] 하나를 무작위로 골랐을 때 그 정수가 소수일 확률은 <math>\frac 1 {\ln N}</math> 에 근사한다는 것을 보여 준다. (이때 <math>\ln</math>은 [[자연로그]]이다.) 이 식의 뜻은 소수의 분포는 더 큰 수로 갈수록 적어진다는 것을 의미한다.

== 정의 ==
[[파일:PrimeNumberTheorem.png|섬네일|오른쪽|250px|π(''x'') (적색) 과 ''x'' / ln ''x'' ,그리고 Li(''x'') (청색)의 그래프 비교]]

임의의 실수 <math>x</math>에 대해 [[소수 계량 함수]] <math>\pi(x)</math>는 <math>x</math> 보다 작거나 같은 소수의 개수를 가리키는 함수라고 하자.

예를 들어, 10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7로 4개이므로 <math>\pi(10) = 4</math> 가 된다.

작은 몇 개의 값에 대해 소수 계량 함수의 함수값을 써 보면 다음과 같다.
:<math>\pi(1) = 0, \pi(2) = 1, \pi(3) = 2, \pi(4) = 2, \pi(5) = 3, \pi(6) = 3, \pi(7) = 4</math>

소수 정리는 두 함수 <math>\pi(x)</math>와 <math>\frac x {\ln x}</math>의 비가 ''x''가 무한히 커질수록 1에 수렴한다는 것을 말한다. 즉,
:<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x) \ln x}{x} = 1</math>
가 성립한다. [[점근 표기법]]에 의해 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:<math>\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}</math>
이것은 두 함수의 차가 <math>x</math>가 무한히 커질수록 0에 수렴한다는 것을 뜻하지는 않는다.

또한, [[파프누티 체비쇼프]]는 소수 정리를 다음과 같이 개량하였다.
# 만일 어떤 상수 C에 대하여 :<math>\pi(x)\sim\frac{Cx}{\ln x}</math> 이라면, C가 가질 수 있는 값은 1밖에 없다.
# <math>\pi(x)</math>와 <math>x/\log(x)</math>의 차이는 위아래로 4%를 벗어나지 않는다.

== 역사 ==
소수 정리를 처음 제안한 것은 [[1798년]] [[아드리앵마리 르장드르]]이다. [[카를 프리드리히 가우스]]도 [[1792년]]과 [[1793년]] 사이에 소수 정리를 연구한 적이 있지만 발표를 하지는 않았다. [[1896년]]에는 [[자크 아다마르]]와 [[샤를장 드 라 발레푸생]]이 각각 독립적으로 증명하였다. 이 증명은 [[해석적 수론]], 즉 [[리만 제타 함수]]를 통한 [[복소해석학]]적 기법을 바탕으로 하고 있다. 오랫동안 소수 정리의 초등적 (즉, 복소 해석학을 쓰지 않는) 증명 난제로 남아 있었으나, [[1949년]]에 [[아틀레 셀베르그]]와 [[에르되시 팔]]이 초등적 증명을 발표하였다. 에르되시는 이 결과를 셀베르그와 공저 논문으로 출판하려 하였으나, 셀베르그는 이를 거부하였다. 이 때문에 셀베르그와 에르되시 사이의 관계는 악화되고 말았다.<ref>{{저널 인용|제목=The elementary proof of the prime number theorem|이름=Joel|성=Spencer|공저자=Ronald Graham|저널=The Mathematical Intelligencer|issn=0343-6993|권=31|호=3|날짜=2009-06|쪽=18–23|doi=10.1007/s00283-009-9063-9|zbl=1235.11005|언어=en}}</ref>

== 증명 ==
=== 해석적 증명의 개략 ===
[[수론적 함수]]인 [[소수 계량 함수]]의 점근적 성장은 [[리만 제타 함수]]를 통해 복소해석학적인 명제로 치환할 수 있다. 우선, 다음과 같은 동치 관계는 초등적으로 보일 수 있다.
:<math>\pi(x)\sim x\Leftrightarrow\psi(x)\sim x\Leftrightarrow\frac1{x^2}\int_1^x\psi(x')\,dx'=\frac1{x^2}\sum_{n\le x}(x-n)\Lambda(n)\sim\frac12</math>
여기서
:<math>\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)</math>
는 제2종 [[체비쇼프 함수]]이며, <math>\Lambda(n)</math>는 [[폰 망골트 함수]]이다. 반면, [[리만 제타 함수]]의 로그 도함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)} = - \sum_{n =1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^z}</math>
두 합을 서로 연관짓기 위해, 다음과 같은 복소해석학적 보조정리를 사용한다.
:<math>\frac1{2\pi i}\int_{c-\infty i}^{c+\infty i}\frac{(x/n)^zdz}{z(z+1)}=\begin{cases}1-n/x&n\le x\\0&n>x\end{cases}\qquad(c>1)</math>
따라서, 제타 함수와 체비쇼프 함수를 다음과 같이 연관지을 수 있다.
:<math>\frac1{x^2}\int_1^x\psi(x')\,dx' = -\frac{1}{2\pi i} \int_{c - \infty i}^{c + \infty i} \frac{x^{z-1}}{z(z+1)}\frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)}\,dz\qquad(c>1)</math>
이제, 우변이 <math>x\to\infty</math> 극한에서 1/2로 수렴함을 [[경로적분법]]으로 증명할 수 있다.<ref name="Introduction to Analytic Number Theory">{{서적 인용
  | 성 = Apostol
  | 이름 = Tom
  | 제목 = Introduction to Analytic Number Theory
  | 출판사 = Springer
  | 연도 = 1998
  | doi = 
  | isbn = 978-0387901633
}}</ref>

=== 초등적 증명의 개략 ===
다츠자와 지카오(Tikao Tatuzawa)와 가네시로 이세키(Iseki Kanesiroo)의 등식<ref>{{저널 인용
|성=Tatuzawa|이름=Tikao|공저자=Iseki Kaneshiro
|year=1951
|title=On Selberg's elementary proof of the prime number theorem
|journal=Proc. Japan Acad.
|volume=27
|pages=340-342
|언어=en
}}</ref>을 이용하거나 또는 [[아틀레 셀베르그]]의 다음 등식
:<math>\Lambda(n)\log n + \sum_{d|n}\Lambda(d)\Lambda\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d|n}\mu(d)\log^2 \frac{n}{d}</math>
을 이용하여 증명의 핵심적이라 할 수 있는, [[아틀레 셀베르그]]가 증명한 다음 점근적 등식을 유도한다.
:<math>\sum_{p\le x}\log^2 p + \sum_{pq\le x}\log p \log q = 2x\log x + O(x)</math>
<math>\sigma(x) = e^{-x}\psi(e^x) -1</math>로 치환할 때, 적분형태의 다음 부등식을 유도할 수 있다.
:<math>|\sigma(x)|x^2 \le 2 \int_{0}^{x}\int_{0}^{y} |\sigma(u)|dudy + O(x)</math>
소수 정리는 <math>\sigma(x) = o(1)</math>과 동치이다. 만약 다음과 같이 이 함수의 [[상극한과 하극한|상극한]]을
:<math>C = \limsup_{x\to\infty} |\sigma(x)|</math>
라고 둔다면, 이 상수가 영으로 가는 것을 확인하여 소수 정리를 증명할 수 있다. 만약 이 상수가 양수라고 가정하여 모순임을 증명한다. 정의에 의해 상수부분을 뗀 나머지 영으로 가는 함수를 다음과 같이 정의한다.
:<math>|\sigma(x)| \le C + g(x)</math>
위 적분형태의 부등식과 이 부등식을 이용하여 다음과 같은 유사한 형태의 부등식을 유도한다.
:<math>|\sigma(x)| \le C' + h(x)</math>
다만 이 경우 <math>0 < C' < C</math>가 된다. 여기서 <math>C < C'</math>임을 유도하여 모순을 이끌어 낸다.<ref name="Introduction to Analytic Number Theory" />

== 같이 보기 ==
* [[리만 가설]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Distribution of prime numbers}}
* {{매스월드|id=PrimeNumberTheorem|title=Prime number theorem}}

[[분류:소수에 관한 정리]]
[[분류:해석적 수론 정리]]
[[분류:로그]]