소수 계량 함수 문서 원본 보기

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'''소수 계량 함수'''(素數計量函數, {{llang|en|prime-counting function}})는 주어진 양의 실수 <math>x</math>에 대해 그 값보다 작거나 같은 [[소수 (수론)|소수]]의 개수를 세는 함수이다. 보통 그리스 소문자 [[π]]를 이용해 π(''x'')로 표기하지만, [[원주율]] π와는 관계가 없다.
[[파일:PrimePi.PNG|섬네일|right|400px|최초 60이하의 자연수에 대한 <math>\pi(n)</math>의 값을 그린 그래프]]

== 역사 ==
[[정수론]]에서 소수 개수의 증가 속도는 매우 중요한 관심 대상이다. 18세기 말 [[카를 프리드리히 가우스]]와 [[아드리앵마리 르장드르]]는 소수 계량 함수가 <math>x/\ln (x)</math>에 근접함을 추측했다. 즉,
:<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln (x)} = 1</math>
라고 생각했고, 이는 [[소수 정리]]에 해당한다. 이와 동치로서 다음 극한이 있다.
:<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\text{li} (x)} = 1</math>
여기서 li는 [[로그 적분 함수]]를 의미한다. 1859년 [[베른하르트 리만]]이 도입한 [[리만 제타 함수]]의 성질을 이용하여 1896년에 [[자크 아다마르]]와 [[샤를장 드 라 발레푸생]]이 각각 독립적으로 소수 정리를 증명하였다.

== 명시적 공식 ==
소수 계량 함수는 다음과 같은 '''폰 망골트 명시적 공식'''({{llang|en|von Mangoldt explicit formula}})을 따른다.<ref>[https://books.google.co.kr/books?id=FRb0BwAAQBAJ&pg=PA145&lpg=PA145&dq="riemann%27s+explicit+formula"&source=bl&ots=VQLKCacM_w&sig=p7kZuIF0F1g5zOt2ayMi-zRged0&hl=ko&sa=X&ved=2ahUKEwjGuteu-s_dAhUIOrwKHTnWBQg4ChDoATACegQICRAB#v=onepage&q="riemann's%20explicit%20formula"&f=false]</ref> 이는 다른 [[L-함수]]들의 명시적 공식의 시초로 볼 수 있으며, 다음과 같다.

<math>\pi(x)=\textstyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle \mu(n)/n \{Li(\sqrt[n]{x})-\sum_{\rho}Ei(\rho\ln(x)/n)-ln(2)+\textstyle \int_{\sqrt[n]{x}}^{\infty} \displaystyle dt/t/(t^2-1)/ln(t)\}</math>

이는 [[베른하르트 리만]]이 1859년에 발표한 논문의 주 내용인데, 엄밀한 증명은 1895년에 와서야 수학자 폰 망골트에 의해서 이루어졌다.

폰 망골트는 이 공식을 증명하면서 밑의 (사실상 동치인) 공식도 증명하였는데, 이는 다음과 같다:

:<math>\psi(x) = x - \sum_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac12 \ln(1-x^{-2})</math>
여기서
*<math>S</math>는 [[리만 제타 함수]]의 임계구역(critical strip)에 있는 영점들이다.
::<math>S=\{\rho\in\mathbb C\colon \zeta(\rho)=0,\;0<\operatorname{Re}\rho<1\}</math>
* 합 <math>\sum_{\rho\in S}</math>는 [[절대수렴]]하지 않는다. 이 경우 합은 <math>|\operatorname{Im}\rho|</math>의 순으로 계산하여 수렴하게 만든다.
* 위 공식은 ''x''가 특정한 정수가 아니면서 1보다 큰 실수인 경우에 유효하다. 만약 <math>x</math>가 특정한 정수 (상단의 공식의 경우 소수, 하단의 공식의 경우 소수 및 소수의 자연수 거듭제곱)인 경우, 해당 점에서의 좌변의 좌극한과 우극한의 평균값이 우변과 같게 된다.
*상단의 공식의 경우, 맨 앞의 (n을 수열의 index로 하는) 시그마 부호에서 n은 무한대까지 더할 필요 없고 x의 n제곱근이 2보다 작아지기 직전까지만 더하면 된다.

== π(''x''), ''x'' / ln ''x'', 및 li(''x'')의 수치적 계산 결과 ==
다음 표는 세 함수를 직접 계산한 결과를 보여준다.
:{| class="wikitable" style="text-align: right"
! ''x''
! π(''x'')
! π(''x'') − ''x'' / ln ''x''
! li(''x'') − π(''x'')
! ''x'' / π(''x'')
|-
| 10
| 4
| −0.3
| 2.2
| 2.500
|-
| 10<sup>2
| 25
| 3.3
| 5.1
| 4.000
|-
| 10<sup>3</sup>
| 168
| 23
| 10
| 5.952
|-
| 10<sup>4</sup>
| 1 229
| 143
| 17
| 8.137
|-
| 10<sup>5</sup>
| 9 592
| 906
| 38
| 10.425
|-
| 10<sup>6</sup>
| 78 498
| 6 116
| 130
| 12.740
|-
| 10<sup>7</sup>
| 664 579
| 44 158
| 339
| 15.047
|-
| 10<sup>8</sup>
| 5 761 455
| 332 774
| 754
| 17.357
|-
| 10<sup>9</sup>
| 50 847 534
| 2 592 592
| 1 701
| 19.667
|-
| 10<sup>10</sup>
| 455 052 511
| 20 758 029
| 3 104
| 21.975
|-
| 10<sup>11</sup>
| 4 118 054 813
| 169 923 159
| 11 588
| 24.283
|-
| 10<sup>12</sup>
| 37 607 912 018
| 1 416 705 193
| 38 263
| 26.590
|-
| 10<sup>13</sup>
| 346 065 536 839
| 11 992 858 452
| 108 971
| 28.896
|-
| 10<sup>14</sup>
| 3 204 941 750 802
| 102 838 308 636
| 314 890
| 31.202
|-
| 10<sup>15</sup>
| 29 844 570 422 669
| 891 604 962 452
| 1 052 619
| 33.507
|-
| 10<sup>16</sup>
| 279 238 341 033 925
| 7 804 289 844 393
| 3 214 632
| 35.812
|-
| 10<sup>17</sup>
| 2 623 557 157 654 233
| 68 883 734 693 281
| 7 956 589
| 38.116
|-
| 10<sup>18</sup>
| 24 739 954 287 740 860
| 612 483 070 893 536
| 21 949 555
| 40.420
|-
| 10<sup>19</sup>
| 234 057 667 276 344 607
| 5 481 624 169 369 960
| 99 877 775
| 42.725
|-
| 10<sup>20</sup>
| 2 220 819 602 560 918 840
| 49 347 193 044 659 701
| 222 744 644
| 45.028
|-
| 10<sup>21</sup>
| 21 127 269 486 018 731 928
| 446 579 871 578 168 707
| 597 394 254
| 47.332
|-
| 10<sup>22</sup>
| 201 467 286 689 315 906 290
| 4 060 704 006 019 620 994
| 1 932 355 208
| 49.636
|-
| 10<sup>23</sup>
| 1 925 320 391 606 803 968 923
| 37 083 513 766 578 631 309
| 7 250 186 216
| 51.939
|}

== 각주 ==
{{각주}}
== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=PrimeCountingFunction|title=Prime counting function}}
* {{웹 인용|url=http://oeis.org/wiki/Prime_counting_function|제목=Prime counting function|웹사이트=OEIS Wiki|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[소수 정리]]
* [[스큐스 수]]
* [[리만 제타 함수]]
* [[주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여]]
* [[리만 가설]]

{{소수}}

[[분류:해석적 수론]]
[[분류:소수]]