소수로 이루어진 등차수열 문서 원본 보기

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수론에서 '''소수로 이루어진 등차수열'''(Primes in arithmetic progression)이란 적어도 세 항 이상의 연속적인 소수로 이루어진 [[등차수열]]을 말한다. 예를 들어 3, 7, 11 과 같은 수열이 있다. (5가 소수인지는 중요하지 않다)

이러한 수열은 무한히 길게 만들 수는 없지만 임의의 길이로 길게 만들 수는 있다. [[벤 그린]]과 [[테렌스 타오]]는 2004년 이를 증명하여 [[그린과 타오의 정리|그린-타오 정리]](Green-Tao theorem)라고 부른다. 타오는 이 결과로 2006년 [[필즈상]]을 수상하였다. 3보다 큰 <math>k</math>에 대해 <math>k</math>개의 소수로 이루어진 등차수열을 '''AP-k'''라고 부른다.

== 큰 수에 대한 결과 ==
{{참고|en:Primes in arithmetic progression#Largest known primes in AP|설명=더 다양한 수치적 결과는}}
길이가 긴 소수의 등차수열로 다음과 같은 것들이 알려져 있다.
:5749146449311 + 26004868890n (n = 0, ... , 20)
:11410337850553 + 4609098694200n (n = 0, ... , 21) (Moran, Pritchard, Thyssen, 1995)
:56211383760397 + 44546738095860n (n = 0, ... , 22) (Frind, Underwood, Jobling, 2004)<ref>[http://mathworld.wolfram.com/PrimeArithmeticProgression.html "Prime Arithmetic Progression" in mathworld]</ref>

== 관련 역사 및 최근의 결과 ==
* (Hardy-LIttlewood prime tuples conjecture) 1923년 [[고드프리 해럴드 하디]]와 [[존 이든저 리틀우드]]는 <math>N</math> 이하의 소수 밀도에 대한 패턴에 대한 추측을 제시했는데, [[골드바흐의 추측]], [[쌍둥이 소수 추측]] 등을 모두 아우르는 것으로 아직까지 미해결이다.
* (van der Waerden's Theorem) 1927년 van der Waerden은 만약 모든 자연수를 유한한 종류의 색으로 칠한다면, 적어도 한가지 색에는 임의의 길이를 가지는 등차수열이 항상 존재함을 증명하였다.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/vanderWaerdensTheorem.html "van der Waerden's Theorem" in mathworld]</ref>
* (Erdős-Turán conjecture) 1936년 [[에르되시 팔]]과 [[투란 팔]]은 역수의 합이 발산하는 자연수의 임의의 부분집합에서 임의의 길이의 등차수열을 항상 존재함을 추측하였다. 이는 [[소수의 역수의 합의 발산성]] 때문에 그린-타오 정리를 포함한다. 아직 해결되지 않았다.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Erdos-TuranConjecture.html "Erdős-Turán Conjecture" in mathworld]</ref>
* (Roth's theorem) 1956년 밀도가 영이 아닌 자연수의 임의의 부분집합은 길이 3인 등차수열이 무한히 많이 존재함을 증명하였다.
* 1969년 세메레디(Szemeréd)는 밀도가 영이 아닌 자연수의 임의의 부분집합은 길이 4인 등차수열이 무한히 많이 존재함을 증명하였다.
* (Szemerédi's theorem) 1975년 밀도가 영이 아닌 자연수의 임의의 부분집합은 임의의 길이를 가지는 등차수열이 항상 존재함을 증명하였다.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/SzemeredisTheorem.html "Szemerédi's Theorem" in mathworld]</ref>
* 1981년 Heath-Brown은 세 수가 소수이고 나머지 한 수가 거의 소수인 등차수열이 무한히 많음을 증명하였다. 여기서 '거의 소수'란 두 소수의 곱으로 표현되는 소수를 말한다.
* (Green-Tao theorem) 2004년 벤 그린(Ben Green)과 [[테렌스 타오]](Terence Tao)는 소수집합에서 임의의 길이를 가지는 등차수열이 항상 존재함을 증명하였다.([[그린과 타오의 정리|그린-타오 정리]])
* 2004년 그린은 첸 소수(Chen prime; p+2가 거의 소수인 소수 p)로 이루어진 길이 3인 등차수열이 무한히 많음을 증명하였다.<ref>[http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Slides/austms.pdf http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Slides/austms.pdf]</ref>
== 같이 보기 ==
* [[소수 마방진]]
== 각주 ==
<references/>

{{전거 통제}}
{{토막글|수론}}

[[분류:수론]]