소볼레프 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''소볼레프 공간'''(Соболев空間, {{llang|en|Sobolev space}})은 충분히 매끄럽고, 무한대에서 충분히 빨리 0으로 수렴하는 함수들로 구성된 [[함수 공간]]이다.<ref>{{서적 인용 | last=Adams | first=Robert A. | title=Sobolev spaces | publisher=Academic Press | isbn=978-0-12-044150-1 | 날짜=1975|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Leoni|이름= Giovanni |날짜=2009|url=http://bookstore.ams.org/gsm-105|제목=A first course in Sobolev spaces|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=105|출판사=American Mathematical Society |isbn= 978-0-8218-4768-8|mr=2527916|zbl=1180.46001|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용
| last = Maz’ya
| first = Vladimir G.
| title = Sobolev spaces with applications to elliptic partial differential equations
| publisher = Springer
| series = Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | 권=342 | issn=0072-7830
| 판=2
| 날짜 = 2011
| isbn= 978-3-642-15563-5
| mr = 2777530
| zbl = 1217.46002
| doi= 10.1007/978-3-642-15564-2
| 언어=en
}}</ref><ref name="Hebey">{{서적 인용 | 제목=Sobolev spaces on Riemannian manifolds | 이름 = Emmanuel | 성= Hebey | 총서= Lecture Notes in Mathematics  | 권=1635 | doi = 10.1007/BFb0092907 | isbn= 978-3-540-61722-8 | 출판사=Springer-Verlag | issn= 0075-8434 | 언어=en}}</ref>
[[르베그 공간]]의 일반화이다. 기호는 <math>\operatorname W^{s,p}</math>이며, 여기서 <math>s</math>는 매끄러운 정도, <math>p</math>는 무한대에서 0으로 수렴하는 속도를 나타낸다. 특히, <math>p=2</math>인 경우는 [[힐베르트 공간]]을 이루며, 이 경우는 흔히 <math>\operatorname H^s</math>로 표기된다.

== 정의 ==
=== 스칼라 값 정수 차수 소볼레프 공간 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[유클리드 공간]]의 [[열린집합]] <math>U \subseteq \mathbb R^n</math>
* [[확장된 실수]] <math>p\in[1,\infty]</math>
* 양의 정수 <math>s\in\mathbb Z^+</math>
그렇다면, <math>U</math> 위의 '''<math>(s,p)</math>차 소볼레프 공간''' <math>\operatorname W^{s,p}(U)</math>은 다음과 같은 함수 공간이다.
:<math>\operatorname W^{s,p}(U) = \left\{f \in\operatorname L^p(U)\colon \partial_{\mu_1}\cdots\partial_{\mu_k}f\in\operatorname L^p(M;\mathbb K)\qquad\forall \mu_1,\dotsc,\mu_k\in\{1,\dotsc,n\},\,k\le s\right\}</math>
여기서 <math>\operatorname L^p</math>는 [[르베그 공간]]이며, 미분 연산자는 [[분포 (해석학)|분포]]에 대한 미분 연산자이다. 

=== 다양체 위의 소볼레프 공간 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
* [[확장된 실수]] <math>p\in[1,\infty]</math>
* 양의 정수 <math>s\in\mathbb Z^+</math>
그렇다면, <math>M</math> 위의 [[매끄러운 함수]]
:<math>f \in\mathcal C^\infty(M, \mathbb R)</math>
에 대하여, 노름
:<math>\|f\|_{\operatorname W^{s,p}} = \int_M \left(|f|^p + (\partial_\mu f\partial^\mu f)^{p/2} + \dotsb + (\nabla_{\mu_1}\dotsm\nabla_{\mu_s}f\nabla^{\mu_1}\dotsm\nabla^{\mu_s}f)^{p/2}\right)\,\sqrt{\det g}\,\mathrm d^nx</math>
을 정의할 수 있다. <math>\mathcal C^\infty(M, \mathbb R)</math> 가운데, 이 노름이 유한한 원소들의 공간은 [[실수 노름 공간]]을 이루지만, 이는 [[완비 거리 공간]]이 아니다. 이에 대한 완비화인 [[실수 바나흐 공간]]을 <math>M</math> 위의 '''(''s'',''p'')차 소볼레프 공간''' <math>\operatorname W^{s,p}(M)</math>이라고 한다.<ref name="Hebey"/>{{rp|10, Definition 2.1}}

이 정의는 <math>M</math>이 [[유클리드 공간]]의 [[열린집합]]일 때 위의 정의와 [[동치]]이다 ('''마이어스-세린 정리''' {{llang|en|Meyers–Serrin theorem}})<ref>{{저널 인용|
제목=''H''=''W''
|이름=Norman|성=Meyers|이름2=James|성2=Serrin
|날짜=1964|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=51|쪽=1055–1056|pmc=300210|doi=10.1073/pnas.51.6.1055|pmid=16578565
}}
</ref>.

=== 벡터 다발 값 정수 차수 소볼레프 공간 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math> 위의 [[벡터 다발 접속]] <math>\nabla</math>
* <math>E</math> 위의 내적 <math>\eta \in \Gamma^\infty(E^* \otimes E^*)</math>
* [[확장된 실수]] <math>p\in[1,\infty]</math>
* 양의 정수 <math>k\in\mathbb Z^+</math>
그렇다면, 단면들의 [[벡터 공간]]
:<math>\operatorname\Gamma^p(E) = \mathcal C^p(M,E) \cap \Gamma^0(E)</math>
위에 노름
:<math>|s|_{p,k} = \left(\int_M\left(\sum_{i_1,\dotsc,i_p,j_1,\dotsc,j_p,a,b} g^{i_1j_1}\dotsb g^{i_pj_p} \eta_{ab} (\nabla_{i_1}\dotsb\nabla_{i_p} s^a) (\nabla_{j_1}\dotsb\nabla_{j_p} s^b)\right)^{k/2}\right)^{1/k}</math>
을 줄 수 있다. 특히, <math>k=2</math>일 때 이는 내적
:<math>\langle s|s'\rangle_{p,2} = \int_M\sum_{i_1,\dotsc,i_p,j_1,\dotsc,j_p,a,b} g^{i_1j_1}\dotsb g^{i_pj_p} \eta_{ab} (\nabla_{i_1}\dotsb\nabla_{i_p} s^a) (\nabla_{j_1}\dotsb\nabla_{j_p} {s'}^b)</math>
과 호환된다. 이 노름에 대한 완비화인 [[바나흐 공간]]을 <math>\operatorname W^{p,k}(E)</math>라고 한다.

정의에 따라 항상
:<math>\Gamma^p(E) \subseteq \operatorname W^{p,2}(E)</math>
이다. 음이 아닌 정수 <Math>q</math>에 대하여, 만약 <math>p> (\dim M)/2+q</math>라면, 연속 포함 사상
:<math>\operatorname W^{p,2}(E) \hookrightarrow \Gamma^q(E)</math>
이 존재한다.<ref>{{서적 인용|이름=H. B.|성= Lawson|이름2=M.-L. |성2=Michelsohn|제목=Spin geometry|출판사=Princeton University Press|날짜=1989|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem Ⅲ.2.15}}

=== 분수 소볼레프 공간 ===
[[유클리드 공간]]이나 [[원환면]]의 경우 [[푸리에 변환]]을 사용하여, 정수가 아닌 <math>s</math>에 대하여 소볼레프 공간 <math>\operatorname W^{s,p}</math>를 정의할 수 있다.

구체적으로, 임의의 두 실수 <math>s,p\in[1,\infty)</math>에 대하여, [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위의 '''소볼레프 공간''' <math>\operatorname W^{s,p}(\mathbb R^n;\mathbb K)</math>는 다음과 같은 함수 공간이다.
:<math>\operatorname W^{s,p}(\mathbb R^n;\mathbb K)= \left\{f\in\operatorname L^p(\mathbb R^n;\mathbb K)\colon \mathcal F^{-1}\left (1+ \|\xi\|^2 \right)^{s/2}\mathcal Ff \in L^p(\mathbb R^n;\mathbb K) \right\}</math>
여기서 <math>(\mathcal Ff)(\xi)</math>는 [[푸리에 변환]]이다. 마찬가지로, [[원환면]] <math>\mathbb T^n</math> 위에도 소볼레프 공간 <math>W^{s,p}(\mathbb T^n;\mathbb K)</math>을 정의할 수 있다.

== 성질 ==
일반적으로 (<math>s,p\ge1</math>), <math>\operatorname W^{s,p}(M;\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다. 만약 <math>p=2</math>인 경우, <math>\operatorname W^{s,p}(M;\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]을 이룬다. 만약 <math>p=\infty</math>일 경우, <math>\operatorname W^{s,p}(M;\mathbb K)</math>는 [[바나흐 공간]]이지만 [[분해 가능 공간]]이 아니다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
임의의 [[리만 다양체]] <math>M</math>에 대하여, <Math>\operatorname W^{k,\infty}(M)</math>의 원소들은 (L<sup>∞</sup> [[르베그 공간]]과 마찬가지로)점별 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀 있다.

<math>p<\infty</math>에 대하여, <math>\operatorname W^{k,p}(M)</math>은 덧셈에 대하여 닫혀 있지만, (L<sup>''p''</sup> [[르베그 공간]]과 마찬가지로) 곱셈에 대하여 닫혀 있지 않다.

=== 포함 관계 ===
다음과 같은 '''소볼레프 부등식'''({{llang|en|Sobolev inequality}})이 성립한다. 임의의
:<math>s,s'\in\mathbb N</math>
:<math>p,p'\in[1,\infty)</math>
에 대하여, 만약
:<math>\frac1p - \frac sn = \frac1{p'}-\frac{s'}n</math>
:<math>p \le p'</math>
:<math>s \ge s'</math>
이라면, 다음과 같은 포함 관계가 존재하며, 이 포함 관계는 [[연속 함수|연속]] [[단사 함수|단사]] [[선형 변환]]이다.
:<math>\operatorname W^{s,p}(\mathbb R^n) \subseteq \operatorname W^{s',p'}(\mathbb R^n)</math>
특히, 만약 <math>s=1</math>이며 <math>s'=0</math>일 경우
:<math>\operatorname W^{1,p}(\mathbb R^n) \subseteq \operatorname L^{np/(n-p)}(\mathbb R^n)</math>
이다.

=== 푸앵카레-비르팅거 부등식 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[확장된 실수]] <math>1\le p\le\infty</math>
* [[유계 집합|유계]] [[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math>
* 또한, <math>\partial U</math>가 립시츠 경계라고 하자.
그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 상수 <math>C(p,U)</math>가 존재한다.
:<Math>\left\|f-\frac1{\operatorname{vol}(U)}\int_Uf(x)\,\mathrm d^nx\right\|_{\operatorname L^p(U)}\le C(p,U)\|\nabla f\|_{\operatorname L^p(U)}\qquad(\forall f\in \operatorname W^{1,p}(U))</math>
이를 '''푸앵카레-비르팅거 부등식'''(Poincaré-Wirtinger不等式, {{llang|en|Poincaré–Wirtinger inequality}})이라고 하며, 이를 만족시키는 최소의 상수 <math>C(p,U)</math>를 '''푸앵카레 상수'''(Poincaré常數, {{llang|en|Poincaré constant}})라고 한다.

== 예 ==
=== 르베그 공간 ===
소볼레프 공간 <math>\operatorname W^{s,p}</math>에서, 만약 <math>s=0</math>이라면 (즉, 매끄러움에 대한 조건을 가하지 않는다면) 이는 [[르베그 공간]]과 같다.
:<math>\operatorname W^{0,p} = \operatorname L^p</math>

=== 절대 연속 함수의 공간 ===
실수선 <math>\mathbb R</math>의 [[구간]] <math>I</math>에서, (1,1)차 소볼레프 공간은 [[절대 연속 함수]]의 공간과 같다.
:<math>\operatorname W^{1,1}(I) = \mathcal C^0_\text{abs}(I)</math>
이는 절대 연속성이 ①[[거의 어디서나]] 미분이 존재하며 ②미분의 [[절댓값]]이 [[적분 가능 함수]]인 것과 동치이기 때문이다.

물론, 정확히 말하면, (1,1)차 소볼레프 공간의 원소는 어떤 절대 연속 함수와 [[거의 어디서나]] 일치하는 [[가측 함수]]들의 [[동치류]]들의 공간이다. 그러나 이러한 동치류에서는 [[절대 연속 함수]]인 유일한 대표원을 고를 수 있으므로, 이는 함수의 공간과 동치이다.

이는 1차원에서만 성립한다. 고차원 공간 위의 (1,1)차 소볼레프 공간은 [[연속 함수]]가 아닌 함수들을 포함한다. 예를 들어,
:<math>(x\mapsto\|x\|^{-1}) \in \operatorname W^{1,1}(\mathbb B^3)</math>
이다 (<math>\mathbb B^3</math>은 3차원 [[공 (수학)|공]]).

=== 립시츠 연속 함수의 공간 ===
실수선 <math>\mathbb R</math>의 [[구간]] <math>I</math>에서, (1,∞)차 소볼레프 공간은 [[립시츠 연속 함수]]의 공간과 같다.
:<math>\operatorname W^{1,1}(I,\mathbb R) = \operatorname{Lip}(I,\mathbb R)</math>
이는 립시츠 연속성이 ①[[거의 어디서나]] 미분이 존재하며 ②미분이 (거의 어디서나) [[유계 함수]]인 것과 동치이기 때문이다.

물론, 정확히 말하면, (1,∞)차 소볼레프 공간의 원소는 어떤 립시츠 연속 함수와 [[거의 어디서나]] 일치하는 [[가측 함수]]들의 [[동치류]]들의 공간이다. 그러나 이러한 동치류에서는 [[립시츠 연속 함수]]인 유일한 대표원을 고를 수 있으므로, 이는 함수의 공간과 동치이다.

== 역사 ==
[[세르게이 소볼레프]]가 1938년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용| last = Соболев
| first = С. Л. |저자링크=세르게이 소볼레프
| title = Об одной теореме функционального анализа
| journal = Математический сборник
| volume = 46
| issue = 3
| pages = 471–497
| 날짜 = 1938
| url = http://mi.mathnet.ru/msb5759
| zbl = 0022.14803
| 언어=ru
}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Sobolev space}}
* {{매스월드|id=SobolevSpace|title=Sobolev space}}
* {{nlab|id=Sobolev space}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/04/30/245c-notes-4-sobolev-spaces/|제목=245C, Notes 4: Sobolev spaces|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s New|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/244337/alternative-definitions-of-sobolev-spaces-on-non-compact-riemannian-manifolds|제목=Alternative definitions of Sobolev spaces on non-compact Riemannian manifolds|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:푸리에 해석학]]
[[분류:함수해석학]]