소멸 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]과 [[복소기하학]]에서 '''소멸 정리'''(消滅定理, {{llang|en|vanishing theorem}})는 어떤 [[대수다양체]] 또는 [[복소다양체]] 위의 [[연접층]]의 [[층 코호몰로지]]가 0차원이 될 충분 조건을 제시하는 정리이다. '''고다이라 소멸 정리'''([小平]消滅定理, {{llang|en|Kodaira vanishing theorem}})와 '''세르 소멸 정리'''({{llang|en|Serre vanishing theorem}}) 등이 있다.

== 정의 ==
=== 고다이라 소멸 정리 ===
<math>X</math>가 복소 <math>n</math>차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[켈러 다양체]]라고 하고, 그 [[표준 선다발]]이 <math>K_X</math>라고 하자. 또한, <math>L</math>이 임의의 [[풍부한 선다발]]이라고 하자. '''고다이라 소멸 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|248, Remark III.7.15}}
:<math>H^p(X;L\otimes K_X)=0\qquad\forall p>0</math>
고다이라 소멸 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|249}}

=== 세르 소멸 정리 ===
(대수적으로 닫히지 않거나, 표수가 0이 아닐 수 있는) [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[사영 스킴]] <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>의 [[세르 뒤틀림 층]] <math>\mathcal O(1)</math>이 [[매우 풍부한 선다발]]이라고 하자. 또한, <math>X</math> 위의 [[연접층]] <math>\mathcal F</math>가 주어졌다고 하자. '''세르 소멸 정리'''(Serre消滅定理, {{llang|en|Serre vanishing theorem}})에 따르면, 다음 조건을 성립시키는 자연수 <math>n_0\in\mathbb N</math>가 존재한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|227, Theorem III.5.2}}
:<math>H^p(X;\mathcal F\otimes\mathcal O(n))=0\qquad\forall n\ge n_0,\;p>0</math>

=== 가와마타-피베크 소멸 정리 ===
사영 [[복소다양체]] <math>X</math> 위의 해석적 선다발 <math>L</math>이 [[큰 선다발]]({{llang|en|big line bundle}})이며 [[네프 선다발]]({{llang|en|nef line bundle}})이라고 하자. '''가와마타-피베크 소멸 정리'''([川又]-Viehweg消滅定理, {{llang|en|Kawamata–Viehweg vanishing theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>H^p(X;L\otimes K_X)=0\qquad\forall p>0</math>

[[풍부한 선다발]]은 큰 선다발이자 네프 선다발이므로, 이는 (사영 대수다양체에 대한) 고다이라 소멸 정리의 일반화이다.

== 역사 ==
고다이라 소멸 정리는 [[고다이라 구니히코]]가 증명하였다. 고다이라는 이를 사용하여 [[고다이라 매장 정리]]를 증명하였다. 고다이라의 원래 증명은 [[복소해석학]]적 기법을 사용하였다. 1987년에 [[피에르 들리뉴]]와 뤼크 일뤼지({{llang|fr|Luc Illusie}})는 순수하게 대수적인 방법으로 이를 증명하였다.<ref>{{저널 인용
  | last = Deligne  | first = Pierre | 저자링크=피에르 들리뉴
  | last2 = Illusie  | first2 = Luc
  | title = Relèvements modulo <math>p^2</math> et décomposition du complexe de de Rham
  | journal = Inventiones Mathematicae
  | volume = 89
  | issue = 2
  | pages = 247–270
  | year = 1987
  | doi = 10.1007/BF01389078 |언어=fr}}</ref> 고다이라 소멸 정리는 양의 [[체의 표수|표수]]에서 성립하지 않지만, 들리뉴-일뤼지 증명은 흥미롭게도 양의 표수에서의 성질들을 핵심적으로 사용한다.

세르 소멸 정리는 [[장피에르 세르]]가 증명하였다.

가와마타-피베크 소멸 정리는 가와마타 유지로({{llang|ja|川又 雄二郎}})와 에카르트 피베크({{llang|de|Eckart Viehweg}})가 1982년에 독자적으로 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Viehweg | first=Eckart | title=Vanishing theorems | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002199688 |mr=667459 | 날짜=1982 | journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik | issn=0075-4102 | 권=1982|호=335 | pages=1–8|doi=10.1515/crll.1982.335.1|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Kawamata | first=Yujiro | title=A generalization of Kodaira–Ramanujam’s vanishing theorem | url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1982-10_261_1/page/n44 | doi=10.1007/BF01456407 |mr=675204 | 날짜=1982 | journal=Mathematische Annalen | issn=0025-5831 | volume=261 | issue=1 | pages=43–46|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | url = http://www.uni-due.de/%7Emat903/books/esvibuch.pdf|last=Esnault | first=Hélène | 공저자=Eckart Viehweg  | title=Lectures on vanishing theorems | publisher=Birkhäuser | series=DMV Seminars | 권=20 | issn= | isbn=978-3-7643-2822-1 | mr= 1193913 | year=1992 | doi = 10.1007/978-3-0348-8600-0  | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{Eom|title=Kodaira theorem|first= I.V.|last= Dolgachev }}
* {{eom|title=Kawamata-Viehweg vanishing theorem}}
* {{eom|title=Kempf vanishing theorem}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/212167/intuition-behind-the-kodaira-vanishing-theorem|제목=Intuition behind the Kodaira vanishing theorem|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:복소다양체]]