소거 법칙 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, '''소거 법칙'''(消去法則, {{llang|en|cancellation law}})은 등식 양변에서 같은 피연산자를 없애어 새로운 등식을 얻는 규칙이다. 연산을 덧셈으로 썼을 때, 소거 법칙에 따라 <math>a+b=a+c</math>라면 <math>b=c</math>이며, 마찬가지로 <math>a+c=b+c</math>라면 <math>a=b</math>이다. [[자연수]]·[[정수]]·[[유리수]]·[[실수]]·[[복소수]]의 덧셈에서 성립하며, 0이 아닌 자연수·정수·유리수·실수·복소수의 곱셈에서도 참이다. [[행렬]]의 덧셈에서 성립하지만, 0이 아닌 행렬의 곱셈에서는 성립하지 않는다. 즉, [[행렬환]]은 0이 아닌 [[영인자]]를 갖는다.

[[결합 법칙]]·[[교환 법칙]]·[[분배 법칙]]이 [[항등식]](즉, [[전칭 기호]]를 가한 등식)인 반면, 소거 법칙은 두 등식 사이의 함의를 나타낸다. 따라서, 소거 법칙을 통해 정의되는 대수 구조 모임은 일반적으로 [[대수 구조 다양체]]를 이루지 못한다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>M</math> 위의 [[이항 연산]]
:<math>*\colon M\times M\to M</math>
이 주어졌을 때, 다음 두 조건을 정의할 수 있다.
* ('''왼쪽 소거 법칙''', {{llang|en|left cancellation law}}) 만약 <math>a*b=a*c</math>라면, <math>b=c</math>
* ('''오른쪽 소거 법칙''', {{llang|en|right cancellation law}}) 만약 <math>a*c=b*c</math>라면, <math>a=b</math>
이항 연산이 두 소거 법칙을 모두 만족시킨다면, '''(양쪽) 소거 법칙'''({{llang|en|two-sided cancellation law}})을 만족시킨다고 한다. 물론, [[교환 법칙]]
:<math>a*b=b*a</math>
을 만족시키는 이항 연산의 경우, 왼쪽·오른쪽·양쪽 소거 법칙은 서로 [[동치]]가 된다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Cancellation law}}
* {{매스월드|id=CancellationLaw|제목=Cancellation law}}
* {{groupprops|제목=Cancellative element}}
* {{플래닛매스|urlname=cancellationideal|제목=Cancellation ideal}}
* {{proofwiki|id=Cancellation Laws|제목=Cancellation laws}}

[[분류:초등대수학]]
[[분류:추상대수학]]