소거법 문서 원본 보기

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'''소거법'''(消去法, {{lang|en|elimination method}})은 [[연립방정식]](특히 [[연립일차방정식]])을 [[방정식의 풀이법|풀이]]하는 간단한 기법이다.<ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>{{rp|3-5}} [[미지수]]의 개수를 줄여나가는 것은 소거법의 관건이며, 아래와 같은 서로 비슷한 여러 방법 중 하나를 사용한다.

* 특정 미지수를 포함한 항의 [[계수]]가 0이 되어 '''소거'''할 수 있게 더하거나 빼서 연립방정식을 푸는 방법('''가감법''', 加減法; {{문화어|더덜기법}})
* 특정 미지수의 남은 미지수로의 표현을 방정식에 [[대입 (수학)|대입]]('''대입법''', 代入法, {{lang|en|substitution method}})
* 특정 미지수의 남은 미지수로의 두 가지 표현을 등호로 연결('''등치법''', 等値法)

소거법을 통해 연립방정식의 해가 만족해야 할 일련의 필요조건들을 얻을 수 있다. 만약 그들 중 어떤 조건이, 연립방정식의 해가 될 충분조건이기도 하면, 그 조건이 곧 연립방정식의 정확한 해이다. 만약 필요조건들이 [[모순]]이라면, 연립방정식의 해는 존재하지 않는다. 

임의의 연립일차방정식은 소거법만으로 풀이할 수 있다. 하지만, 부정, 불능 여부 등에 대한 판단 없이는 다소 맹목적이다. [[가우스 소거법]]은 소거법의 실질을 추상화하여 얻어진 연립일차방정식의 풀이법이다.

소거법은 일반적인 연립방정식의 해법이 되지 못한다. 하지만 소거법만으로 풀이되는 특별한 연립방정식은 연립일차방정식 이외에도 존재한다.

== 연립일차방정식의 예 ==
이원일차 연립방정식

:<math>\left\{\begin{align}
 2x - 3y & =  3  \\
-2x + 5y & = -1
\end{align}\right.</math>

을 가감법으로 풀이할 것이다. 두 방정식을 더해서(즉 {{수학|① + ②}}) <math>x</math>를 소거하면

:<math>2y = 2</math> 즉 <math>y = 1</math>

이를 첫번째 방정식에 대입하면

:<math>2x - 3 = 3</math> 즉 <math>x = 3</math>

따라서 {{수학|1=①, ② ⇒ (''x'', ''y'') = (3, 1)}}이다. 당연히 {{수학|1=①, ② ⇐ (''x'', ''y'') = (3, 1)}}이므로, [[튜플]] {{수학|1=(''x'', ''y'') = (3, 1)}}이 바로 (유일한) 해이다. 다르게는, 만약 대입법과 등치법에 의해 <math>x</math>를 소거한다면, 그 과정은 각각 다음과 같을 것이다.

* <math>-2\cdot\frac{3y + 3}{2} + 5y = -1</math> ({{수학|①}}에 의해 <math>x</math>를 <math>y</math>로 표현한 식을 {{수학|②}}에 대입)
* <math>\frac{3y + 3}{2} = \frac{5y + 1}{2}</math> ({{수학|①,②}}에 의해 <math>x</math>를 <math>y</math>로 표현한 두 식을 등호로 연결)

삼원일차 연립방정식

:<math>\left\{\begin{align}
  x + 2y -  z &=  1 \\
 4x + 9y - 3z &=  8 \\
-2x - 3y + 7z &= 10
\end{align}\right.</math>

은, {{수학|2 × ① + ③}} 그리고 {{수학|② + 2 × ③}}을 통해 얻은 이원일차 연립방정식

:<math>\left\{\begin{align}
 y +  5z &= 12 \\
3y + 11z &= 28
\end{align}\right.</math>

에서 <math>y,z</math>를 구해서 {{수학|①}}에 대입하면 해 <math>(x, y, z) = (-1, 2, 2)</math>를 구할 수 있다.

다음 예시는 앞선 것들과 조금 다르다.

:<math>\left\{\begin{align}
2x -  y +  z &= 0 \\
 x + 3y + 4z &= 0
\end{align}\right. \Longrightarrow
\left\{\begin{align}
-7y - 7z &= 0 \\
 7x + 7z &= 0
\end{align}\right. \Longrightarrow
(x, y, z) = (-a, -a, a)</math>

반대로

:<math>(x, y, z) = (-a, -a, a) \Longrightarrow
\left\{\begin{align}
2x -  y +  z &= 0 \\
 x + 3y + 4z &= 0
\end{align}\right.</math>

따라서 정확한 해는, 임의의 <math>(-a,-a,a)</math> 꼴의 튜플이다.

해일 수 있는 튜플에 대한 반대 방향으로의 검증은, 해의 구조를 미리 알면 어느 정도 생략할 수 있다. 예를 들어 미지수와 방정식의 개수가 같은 연립일차방정식에 대해서는, 만약 계수행렬의 [[행렬식]]이 0이 아니면, 해가 유일하다는 결론이 있다.

== 다른 예 ==
[[자유낙하]] 시의 속도-시간, 변위-시간 관계식

:<math>\begin{cases}
v = gt \\
h = \frac{1}{2}gt^2
\end{cases}</math>

으로부터, <math>t</math>를 소거하여, 속도-변위 관계식

:<math>v^2 = 2gh</math>

를 얻을 수 있다.

== 가우스 소거법 ==
[[가우스 소거법]]은, 소거법을 구체화, 정형화하여 얻는, 연립일차방정식의 해법이다. 소거법은 엄밀히는 연립일차방정식이 성립할 [[필요조건]]만을 제시하므로, 정확한 해집합을 구하기 위해선 해의 후보에 대한 검증이 뒤따라야 하지만, [[가우스 소거법]]은 원래와 동일한 해집합을 갖는 연립일차방정식으로 전환시키기에 그럴 필요가 없다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:초등대수학]]
[[분류:방정식]]