셈측도 문서 원본 보기

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[[측도론]]에서 '''셈측도'''(셈測度, {{llang|en|counting measure}})는 모든 부분집합이 [[가측 집합]]이고, 부분집합을 그 [[기수]]로 대응시키는 [[측도]]이다.

== 정의 ==
집합 <math>\Omega</math> 위의 '''셈측도 공간'''({{llang|en|counting measure space}}) <math>(\Omega,\mathcal P(\Omega),\min\{|\cdot|,\aleph_0\})</math>은 다음과 같다.
* [[시그마 대수]] <math>\mathcal P(\Omega)</math>는 <math>\Omega</math>의 [[멱집합]]이다. 즉, 모든 부분집합이 [[가측 집합]]이다.
* [[측도]] <math>\mu=\min\{|\cdot|,\aleph_0\}</math>는 다음과 같다. 임의의 <math>S\subset\Omega</math>에 대하여,
::<math>\mu(S)=\min\{|S|,\aleph_0\}=\begin{cases}|S|&|S|<\aleph_0\\\infty&|S|\ge\aleph_0\end{cases}</math>
이 데이터가 [[측도 공간]]을 이룸을 보일 수 있다.

== 응용 ==
셈측도는 [[Lp 공간|L<sup>''p''</sup> 공간]]에서 성립하는 [[코시-슈바르츠 부등식]], [[횔더 부등식]], [[민코프스키 부등식]] 등의 명제들을 다른 공간에서도 생각할 수 있도록 한다. 만약 &Omega; = {1,...,''n''}이고 &mu;는 &Omega;에서 정의된 셈측도일 때, 측도 공간 ''S''&nbsp;=&nbsp;(&Omega;, &Sigma;, &mu;)에 대하여
:<math>\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p}</math>  ''x'' = (''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>)
를 [[노름]]으로 가지는 [[노름 공간]] L<sup>''p''</sup>(''S'')는 '''R'''<sup>''n''</sup> (또는 '''C'''<sup>''n''</sup>)과 같다. 셈측도 &mu;를 &Omega;의 원소의 개수 ''n''으로 나누어주면, 이는 [[이산 균등 분포]]가 된다.

마찬가지로, <math>\mathbb N</math>을 셈측도 공간으로 간주한 [[자연수]] 집합이라고 하면, L<sup>''p''</sup>(''S'')에서
:<math>\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}</math>
의 값이 유한인 ''x'' = (''x''<sub>''n''</sub>)의 수열을 구성할 수 있다. 이를 [[Lp 공간|L<sup>''p''</sup> 공간]]이라 한다.

또한, [[가산 집합]]에서의 셈측도는 [[르베그 적분]]의 정리들([[단조 수렴 정리]], [[파투 보조정리]], [[지배 수렴 정리]], [[푸비니 정리]] 등)을 급수에 대해서도 적용할 수 있도록 한다.

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Counting_Measure|제목=Definition: counting measure|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:측도]]