세타 표현 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, '''세타 표현'''(θ表現, {{llang|en|theta representation}})은 [[하이젠베르크 군]]의, [[정칙 함수]]의 공간 위의 특별한 [[군의 표현|표현]]이다. 이 표현에서, 정수 계수 하이젠베르크 군의 [[군의 작용|작용]]의 [[고정점]]은 [[야코비 세타 함수]]이다.<ref name="Mumford">{{서적 인용|이름=David |성=Mumford|저자링크=데이비드 멈퍼드 | 제목=Tata lectures on theta Ⅰ |날짜=1983|출판사= Birkhäuser |isbn=3-7643-3109-7|doi=10.1007/978-1-4899-2843-6|총서=Progress in Mathematics | 권=28|언어=en}}</ref>{{rp|5–11, §Ⅰ.3}}

== 정의 ==
임의의 양의 실수 <math>t \in \mathbb R^+</math>에 대하여, [[복소평면]] 위에, 다음과 같은 [[측도]]를 정의하자.
:<math>\mathrm d^2\mu_t(z) = \exp\left(-2\pi t^{-1}(\operatorname{Im}z)^2\right)\, \mathrm d^2z</math>
이 측도에 대하여, 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
:<math>\langle f|g\rangle = \int_{\mathbb C}\mathrm d^2\mu(z)\, \bar f(\bar z)g(z)</math>
이 내적에 대한 노름이 유한한 [[정칙 함수]]들의 [[복소수 힐베르트 공간]]을 <math>\mathcal H_t</math>라고 하자.

이제, 임의의 <Math>\tau \in \mathbb H = \mathbb R^+ + \mathrm i\mathbb R</math>에 대하여, <math>\mathcal H_{\operatorname{Im}\tau}</math> 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.<ref name="Mumford"/>{{rp|6}}
:<math>(S_af)(z) = f(z+a) = \exp(a\partial)f(z)</math>
:<math>(T_af)(z) = \exp(\mathrm i\pi a^2\tau + 2\pi \mathrm ibz)f(z+b\tau)
= \exp(\mathrm i\pi b^2\tau+2\pi \mathrm ibz)S_{b\tau}f
= \exp(2\pi \mathrm ibz + b\tau\partial)f</math>
:<math>(C_a)f(z) = \exp(2\pi\mathrm ia)f(z)</math>
이들은 다음과 같은 교환 관계를 갖는다.
:<math>S_a S_b = S_{a+b}</math>
:<math>T_a T_b = T_{a+b}</math>
:<math>S_a T_b = C_{ab} T_b S_a</math>
물론, <math>C</math>는 <math>S</math> 및 <math>T</math>와 교환한다. 특히, 만약 <Math>a,b\in\mathbb Z</math>일 때 <math>S_a T_b = T_b S_a</math>가 된다.

이에 따라, 집합
:<math>G_\tau = \{S_a T_b C_c\colon a,b,c\in\mathbb R\}</math>
는 [[군 (수학)|군]]을 이룬다.
:<math>S_a T_b C_c S_{a'} T_{b'} C_{c'} = S_{a+a'} T_{b+b'} C_{a'b+c+c'}</math>
이 군은 <math>\mathbb S^1 \times \mathbb R \times \mathbb R</math>와 [[미분 동형]]이며, 그 [[범피복군]]은 [[하이젠베르크 군]] <math>\operatorname{Heis}(3;\mathbb R)</math>이다. 즉, 이는 <math>\mathcal H_{\operatorname{Im}\tau}</math> 위의, 하이젠베르크 군의 [[군의 표현|표현]]을 정의한다. 이를 '''세타 표현'''이라고 한다.

== 성질 ==
임의의 <math>\tau\in\mathbb R+\mathrm i\mathbb R^+</math>의 값에 대하여, 세타 표현은 하이젠베르크 군의 [[기약 표현]]이며, 항상 [[바일 표현]]과 [[유니터리 동치]]이다.

<math>G_\tau</math>는 다음과 같은 부분군을 갖는다.
:<math>\Gamma_\tau = \{S_a T_b \colon a, b\in \mathbb Z\} \le G_\tau</math>
이는 물론 <math>S_1</math>과 <math>T_1</math>으로 생성되는 2차 [[자유 아벨 군]]이다.
:<math>\Gamma_\tau \cong \mathbb Z\oplus\mathbb Z</math>
이는 다음과 같은 가환 그림을 갖는다.
:<math>\begin{matrix}
\Gamma_\tau & \to & G_\tau \\
\downarrow & & \downarrow \\
\operatorname{Heis}(3;\mathbb Z)&\to&\operatorname{Heis}(3;\mathbb R)
\end{matrix}</math>
<math>\Gamma_\tau</math>의 [[작용]]의 [[고정점]]은 1차원 [[복소수 벡터 공간]]이며, 그 기저는 [[야코비 세타 함수]]
:<math>\vartheta(z;\tau)</math>
이다.

== 역사 ==
[[데이비드 멈퍼드]]가 1983년에 도입하였다.<ref name="Mumford"/>{{rp|5–11, §Ⅰ.3}}

== 같이 보기 ==
* [[하디 공간]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:리 군]]
[[분류:표현론]]
[[분류:타원함수]]