세르 쌍대성 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''세르 쌍대성'''(Serre雙對性, {{llang|en|Serre duality}})은 [[복소다양체]]의 [[코호몰로지]] 사이에 존재하는 관계의 하나이다. (실수) 다양체에 존재하는 [[푸앵카레 쌍대성]]과 유사하지만, 복소 구조를 사용한다. [[장피에르 세르]]의 이름을 땄다.

== 정의 ==
=== 미분기하학 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 복소수 <math>n</math>차원 (실수 <math>2n</math>차원) [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[에르미트 다양체]] <math>M</math>
그렇다면, [[호지 쌍대]]에 따라서
:<math>* \colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{n-q,n-p}(M)</math>
:<math>* \circ * = (-)^{(p+q)(2n-p-q)} =(-)^{p+q}</math>
가 존재한다. 이는 [[복소수 선형 변환]]이다. 또한, 복소켤레에 따라서
:<math>\overline{(-)} \colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{q,p}(M)</math>
:<math>\overline{(-)} \circ \overline{(-)} = 1</math>
이 존재한다. 이는 [[실수 선형 변환]]이지만, 복소수 반선형 변환이다. 이 두 사상은 서로 가환한다.
:<math>\begin{matrix}
\Omega^{p,q}(M) & \overset{*}\to & \Omega^{n-q,n-p}(M) \\
{\scriptstyle\overline{(-)}}\downarrow {\scriptstyle\color{White}\overline{(-)}} && {\scriptstyle\color{White}\overline{(-)}}\downarrow {\scriptstyle\overline{(-)}}\\
\Omega^{q,p}(M) & \underset{*}\to & \Omega^{n-p,n-q}(M)
\end{matrix}</math>

이제,
:<math>\langle-,-\rangle\colon\Omega^{p,q}(M) \times \Omega^{p,q} \mapsto \mathbb C</math>
:<math>\langle\alpha,\beta\rangle \mapsto \int_M *\bar\alpha \wedge \beta</math>
를 정의하자. 이는 <math>\Omega^{p,q}(M)</math> 위의 [[에르미트 형식]]을 정의한다.
:<math>\langle z\alpha,w\beta\rangle = \bar zw \langle\alpha,\beta\rangle\qquad\forall z,w\in\mathbb C</math>
:<math>\langle\alpha,\beta\rangle = \overline{\langle\beta,\alpha\rangle}</math>
이는 일반적으로 [[양의 정부호]]가 아니지만, [[돌보 코호몰로지]]로의 몫을 취하면 이는 [[양의 정부호]]가 된다. 특히, 이 경우 코호몰로지의 동형
:<math>\operatorname H^{p,q}(M) \cong \operatorname H^{n-p,n-q}(M)^*</math>
이 존재한다. 이를 '''세르 쌍대성'''이라고 한다.

보다 일반적으로, [[정칙 벡터 다발]]의 계수를 생각할 수 있다. 즉, 다음이 주어졌다고 하자.
* <math>M</math> 위의 유한 차원 [[정칙 벡터 다발]] <math>E \twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, 그 쌍대 벡터 다발 <math>E^* \twoheadrightarrow M</math>을 정의할 수 있다.

이 경우, 마찬가지로
:<math>\Omega^q(M;E) \times \Omega^{n-q}(M; \Omega^n\otimes_{\mathbb C} E^*) \to \mathbb C</math>
:<math>(\alpha,\beta) \mapsto \int_M \alpha \wedge \beta</math>
가 존재한다. 여기서
:<math>\Omega^n = \bigwedge^n\mathrm T^*M</math>
은 <math>M</math>의 [[표준 선다발]]이다.

이는 복소수 [[쌍선형 함수]]를 이루며, 마찬가지로 [[층 코호몰로지]]를 취하면 비퇴화이다. 즉, [[복소수 벡터 공간]]의 동형 사상
:<math>\operatorname H^q(M;E)^* \cong \Omega^{n-q}(M;\Omega^n\otimes_{\mathbb C}E^*)</math>
이 존재한다. 이를 <math>E</math> 계수의 '''세르 쌍대성'''이라고 한다.

푸앵카레 쌍대성은 코호몰로지류를 [[기본류]] <math>[M]</math>에 대하여 축약시켜 얻지만, 세르 쌍대성은 코호몰로지류를 표준 선다발 <math>K</math>에 대하여 축약시켜 얻는다.

=== 대수기하학 ===
더 일반적으로, 세르 쌍대성을 일반적인 [[연접층]]에 대하여 정의할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.
* [[대수적으로 닫힌 체]] <math>k</math>
* <math>k</math> 위의 순수하게 <math>n</math>차원 [[사영 스킴]] <math>X</math>
* <math>X</math>의 사영 공간으로의 매장 <math>X \hookrightarrow \mathbb P_k^m</math>. 그 여차원이 <math>r = m-n</math>이라고 하자.
그렇다면, <math>X</math>의 '''쌍대화층'''({{llang|en|dualizing sheaf}})
:<math>\omega_X = \underline{\operatorname{Ext}}^r_{\mathcal O_{\mathbb P^m_k}} (\mathcal O_X,\omega_{\mathbb P^m})</math>
을 정의할 수 있다.

이에 따라서, 다음과 같은 표준적인 동형 사상들이 존재한다.
:<math>\operatorname{Ext}^{n-q}(\mathcal F,\omega_X) \cong \operatorname H^q(M,\mathcal F)^*</math>
여기서 <math>\operatorname H^{n-q}{}^*=\hom(H^{n-q},k)</math>는 [[쌍대 공간]]이고, Ext는 [[Ext 함자]]다.

== 예 ==
=== 리만 곡면 ===
<math>\Sigma</math>가 콤팩트 [[리만 곡면]]이라고 하고, <math>L\twoheadrightarrow\Sigma</math>이 그 위의 [[정칙 선다발]]이라고 하자. 그렇다면, 이 경우
:<math>\operatorname H^i(\Sigma;L) = 0\qquad\forall i\ge2</math>
이며, 세르 쌍대성에 따라서
:<math>\operatorname H^1(\Sigma;L) \cong \operatorname H^0(\Sigma;K_\Sigma\otimes_{\mathbb C}L^{-1})</math>
:<math>\operatorname H^0(\Sigma;L) \cong \operatorname H^1(\Sigma;K_\Sigma\otimes_{\mathbb C}L^{-1})</math>
이다. 여기서 <math>K_\Sigma = \mathrm T^*\Sigma</math>는 <math>\Sigma</math>의 [[표준 선다발]]이다.

=== 칼라비-야우 다양체 ===
[[칼라비-야우 다양체]]의 경우 [[표준 선다발]]이 자명하므로 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다.
:<math>h^{p,q}=h^{p,n-q}</math>
여기서 <math>h^{p,q}=\dim_{\mathbb C}\operatorname H^q(M,\Omega^p)</math>는 [[호지 수]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[푸앵카레 쌍대성]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285 }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Duality}}
* {{nlab|id=Serre duality}}
* {{웹 인용|이름=Charles|성=Siegel|제목=Serre duality|웹사이트=Rigorous Trivialities|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/05/29/serre-duality/|날짜=2008-05-29|언어=en}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:복소다양체]]
[[분류:쌍대성이론]]