세르-스완 정리 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''세르-스완 정리'''({{llang|en|Serre–Swan theorem}})은 [[콤팩트 공간]] 위의 유한생성 [[벡터다발]]과 [[연속함수]] [[대수 (환론)|대수]]의 유한생성 [[사영 가군]]이 동등하다는 정리다.

== 정의 ==
[[위상수학]]과 [[대수기하학]] 두 경우 유사한 세르-스완 정리가 존재한다.

=== 위상수학의 세르-스완 정리 ===
<math>M</math>이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라고 하고, <math>C(M)</math>이 그 위에 존재하는 실[[연속함수]] <math>M\to\mathbb R</math>들의 [[C* 대수]]라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 두 [[범주 (수학)|범주]]를 생각할 수 있다.
* <math>C(M)</math>의 유한생성(finitely generated) [[사영 가군]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{ProjMod}(C(M))</math>
* <math>M</math> 위에 존재하는 [[벡터다발]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Vect}(M)</math>
그렇다면 '''세르-스완 정리'''에 따라, <math>\operatorname{Vect}(M)</math>과 <math>\operatorname{ProjMod}(C(M))</math>은 서로 [[범주의 동치|동치]]이다. 즉, 모든 벡터다발은 <math>C(M)</math>의 유한생성 사영 가군에 대응하고, 반대로 모든 <math>C(M)</math>의 유한생성 사영 가군은 <math>M</math> 위의 벡터다발에 대응한다.
* <math>E\to M</math>이 [[벡터다발]]이라고 하자. 그렇다면 그 단면(section)들의 벡터 공간 <math>\Gamma(E)</math>는 <math>C(M)</math>에 대한 [[가군]]을 이룬다. 즉, 임의의 <math>f\in C(M)</math>와 <math>s\in\Gamma(E)</math>에 대하여, <math>fs</math>는 <math>fs|_x=f(x)s|_x\in E_x</math>로 정의한다. 이는 <math>\operatorname{Vect}(M)\to\operatorname{ProjMod}(C(M))</math>으로 가는 [[함자 (수학)|함자]]다.

=== 대수기하학의 세르-스완 정리 ===
[[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O)</math>위의 '''(대수적) 벡터다발'''({{llang|en|(algebraic) vector bundle}})은 다음 조건들을 만족시키는, [[아벨 군]] 값을 가지는 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal F</math>이다.
* <math>X</math> 위에 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>가 존재하여, 각 <math>U\in\mathcal U</math>에 대하여 <math>\Gamma(\mathcal F,U)</math>는 <math>\mathcal O(U)</math>의 유한 차원(finite rank) [[자유 가군]](free module)이다.
다시 말해, 대수적 벡터다발은 유한 차원 국소 자유 <math>\mathcal O</math>-[[가군층]]이다. [[뇌터 스킴]] 위의 대수적 벡터다발은 [[연접층]]을 이룬다.

<math>R</math>이 (단위원을 가진) 가환 [[뇌터 환]]이라고 하자. 그 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>(X,\mathcal O_X)\cong\operatorname{Spec}R</math>은 [[뇌터 스킴|뇌터]] [[아핀 스킴]]을 이룬다.

그렇다면 다음과 같은 두 [[범주 (수학)|범주]]를 생각할 수 있다.
* <math>R</math>의 유한 생성 [[사영 가군]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{fgProjMod}(R)</math>
* <math>X</math>의 대수적 벡터다발들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Vect}(X)</math>.
그렇다면 '''세르-스완 정리'''에 따라, 이 두 범주들은 서로 [[범주의 동치|동치]]이다. 그 동치는 구체적으로 다음과 같다.
* 대수적 벡터다발 <math>\mathcal F\in\operatorname{Vect}(X)</math>가 주어지면, 그 단면들 <math>\Gamma(X,\mathcal F)</math>는 <math>R\cong\Gamma(X,\mathcal O_X)</math>의 유한 생성 [[사영 가군]]을 이룬다.

== 역사 ==
[[장피에르 세르]]가 유명한 1955년 논문 〈대수연접층〉<ref>{{저널 인용|first=Jean-Pierre|last=Serre|authorlink=장피에르 세르|title=Faisceaux algébriques cohérents|언어=fr|jstor=1969915|pages=197–278|journal=Annals of Mathematics|volume=61|날짜=1955|doi=10.2307/1969915|issue=2|issn=0003-486X|mr=0068874|url=http://www1.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf|access-date=2013-08-06|archive-date=2016-04-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20160418101828/http://www1.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|§50}}에서 대수기하학의 세르-스완 정리를 증명하였다. 위상수학적 세르-스완 정리는 [[리처드 스완]]({{llang|en|Richard G. Swan}})이 1962년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|title=Vector bundles and projective modules|first=Richard G.|last=Swan|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=105|날짜=1962|pages=264–277|jstor=1993627|doi=10.2307/1993627|issue=2|issn=0002-9947|언어=en}}</ref>

== 응용 ==
세르-스완 정리는 기하학/위상수학적인 구조([[벡터다발]])을 그 함수 대수에 대한 순수하게 대수적인 구조와 대응시킨다. 예를 들어, [[작용소 K이론]]은 [[위상 K이론]]에서 다루는 [[벡터다발]]의 K군들을 함수 대수의 가군들을 통하여 [[함수해석학]]적으로 정의한다. 또한, 이러한 대수적인 구조는 "함수 대수"가 [[가환환]]이 아닐 경우에도 쉽게 확장할 수 있다. 이를 통하여, [[비가환 기하학|비가환 공간]]의 "벡터다발" 및 [[K이론]]을 대수적으로 정의할 수 있다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=0905.0319|제목=Note on the Serre–Swan theorem|이름=Archana S.|성=Morye|bibcode=2009arXiv0905.0319M|doi=10.1002/mana.200810263|저널=Mathematische Nachrichten|권=286|호=2–3|쪽=272–278|날짜=2013-02|issn=0025-584X|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:K이론]]
[[분류:대수적 위상수학 정리]]