세그레 매장 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서, '''세그레 매장'''(Segre埋藏, {{llang|en|Segre embedding}})은 두 [[사영 공간]]의 곱을 더 큰 사영 공간의 닫힌 부분 대수다형체로 표현하는 대수다형체 사상이다. 이를 통하여, [[사영 대수다양체|사영 대수다형체]]의 곱이 사영 대수다형체임을 보일 수 있다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
* <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>, <Math>W</math>
그렇다면, 벡터 공간의 [[텐서곱]]
:<math>V \otimes W</math>
을 정의할 수 있으며, 표준적인 함수
:<math>V \oplus W \to V \otimes W</math>
:<math>(v,w) \mapsto v \otimes w</math>
가 존재한다. 이는 일반적으로 <math>K</math>-[[선형 변환]]이 아니며, 2차 [[동차 함수]]이다. 예를 들어
:<math>\alpha (v,w) \mapsto \alpha^2 (v\otimes w)\qquad(\alpha\in K)</math>
이다. 또한, 이는 일반적으로 [[단사 함수]]가 아니다. 예를 들어
:<math>(\alpha v,\alpha^{-1}w) \mapsto v\otimes w\qquad(\alpha\in K)</math>
이다.

이제, 양변의 [[사영 공간]]을 취할 수 있다.
:<math>\mathbb P(V\oplus W) \to \mathbb P(V \otimes W)</math>
사실, 이 사상은 다음과 같이 표준적으로 분해된다.
:<math>\mathbb P(V\oplus W) \twoheadrightarrow \mathbb P(V) \times \mathbb P(W) \hookrightarrow \mathbb P(V \otimes W)</math>
여기서 첫 함수는 [[전사 함수]]이며 둘째 함수는 [[단사 함수]]이다. 이 둘째 함수를 '''세그레 매장'''이라고 한다.

== 논의 ==
[[선형대수학|선형 대수학]]에서 동일한 [[체 (수학)|체]] ''<math>\mathbb K</math>''에 대해 주어진 [[벡터 공간]] ''<math>U</math>''와 ''<math>V</math>''에 대해 데카르트 곱을 [[텐서곱|텐서 곱]]으로 사상하는 자연스러운 방법이 있다.

: <math>\varphi: U\times V \to U\otimes V.\ </math>

일반적으로 이것은 [[단사 함수|단사]]일 필요가 없다. 왜냐하면, ''<math>\forall c\in\mathbb K, c\neq0, \forall u\in U, \forall v \in V</math>'',

: <math>\varphi(u,v) = u\otimes v = cu\otimes c^{-1}v = \varphi(cu, c^{-1}v).\ </math>

기본 사영 공간 <math>P(U), P(V)</math>를 고려하면 이 사상은 다형체의 사상이 된다:

: <math>\sigma: P(U)\times P(V) \to P(U\otimes V).\ </math>

이것은 집합론적 의미에서 단사일 뿐만 아니라 [[대수기하학|대수 기하학]]의 의미에서 [[닫힌 몰입]]이다. 즉, 상에 대한 일련의 방정식을 제공할 수 있다. 표기상의 문제를 제외하고, 그러한 방정식이 무엇인지 말하기는 쉽다. 그들은 텐서 곱에서 좌표의 곱을 인수분해하는 두 가지 방법을 표현한다.

이 사상 ''&#x3C3;''는 '''세그레 매장'''이다. 차원을 세어 보면 ''m''차원과 ''n''차원의 사영 공간의 곱이 차원에 포함되는 방식을 보여준다.

: <math>(m + 1)(n + 1) - 1 = mn + m + n.\ </math>

고전적인 용어는 곱의 좌표를 '''다중동차'''라고 하고 곱을 ''k''인자 '''k-way 사영 공간'''으로 일반화한다.

== 성질 ==
세그레 다형체는 행렬식 다형체의 예이다. 행렬 <math>(Z_{i,j})</math>의 2 &#xD7; 2 부분 행렬의 행렬식의 근들의 궤적이다. 즉, 세그레 다형체는 [[이차 함수|2차 다항식]]

: <math>Z_{i,j} Z_{k,l} - Z_{i,l} Z_{k,j} </math>

의 공통 근들의 궤적이다. 여기서, <math>Z_{i,j}</math>는 세그레 사상의 상의 자연 좌표로 이해된다.

세그레 다형체 <math>\Sigma_{n,m}</math>는 <math>P^n\ </math>과 <math>P^m</math>의 범주 곱이다.<ref>{{웹 인용|url=http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/09-10/Autumn/18.725/l_6.pdf|제목=Algebraic Geometry Course, Lecture 6: Products and fibre products|성=McKernan|이름=James|연도=2010|웹사이트=online course material|확인날짜=11 April 2014}}</ref> 사영

: <math>\pi_X :\Sigma_{n,m} \to P^n\ </math>

의 첫 번째 성분은 부분 집합의 교집합에 동의하는 세그레 다형체를 포함하는 열린 부분 집합의 <math>m+1</math>가지 사상들로 지정할 수 있다. 고정된 <math>j_0</math>에 대해, 사상은 <math>[Z_{i,j}]</math>를 <math>[Z_{i,j_0}]</math>로 보낸다. 방정식 <math>Z_{i,j} Z_{k,l} = Z_{i,l} Z_{k,j}\ </math>는 이러한 사상이 서로 일치하는지 확인한다. 왜냐하면, <math>Z_{i_0,j_0}\neq 0</math> 이면 <math>[Z_{i,j_1}]=[Z_{i_0,j_0}Z_{i,j_1}]=[Z_{i_0,j_1}Z_{i,j_0}]=[Z_{i,j_0}]</math>이기 때문이다.

곱의 올은 선형 부분 공간이다. 즉,

: <math>\pi_X :\Sigma_{n,m} \to P^n\ </math>

를 첫 번째 인자에 대한 사영이라 하자(마찬가지로 <math>\pi_Y</math>는 두 번째 인자의 사영). 그러면 고정된 점 ''p''에 대해 사상

: <math>\sigma (\pi_X (\cdot), \pi_Y (p)):\Sigma_{n,m} \to  P^{(n+1)(m+1)-1}\ </math>

의 상은 [[공역]]의 선형 부분 공간이다.

== 예 ==
=== 이차 곡면 ===
세그레 매장
:<math>\mathbb P^1 \times \mathbb P^1 \to \mathbb P^3</math>
:<math>([x:y],[z:w]) \to [xz:xw:yz:yw] = [X,Y,Z,W]</math>
을 생각해 보자. 이 경우, 그 상은
:<math>\det\begin{pmatrix}
X&Y\\
Z&W
\end{pmatrix} = XW-YZ = 0</math>
을 만족시킨다. 즉, 이는 대수다양체의 동형 사상
:<math>\mathbb P^1 \times \mathbb P^1 \cong \operatorname{Proj}\frac{K[X,Y,Z,W]}{XW-YZ}</math>
을 정의한다.

=== 세그레 삼중체 ===
사상

: <math>\sigma: P^2 \times P^1 \to P^5</math>

는 '''세그레 삼중체'''로 알려져 있다. 유리 정규 스크롤의 예이다. 세그레 삼중체와 three-plane <math>P^3</math>의 교점은 꼬인 삼차 곡선이다.

=== 베로네세 다형체 ===
세그레 사상에 대한 대각선 <math>\Delta \subset P^n \times P^n</math>의 상은 2차 [[베로네세 매장|베로네세의 다형체]]이다.

: <math>\nu_2:P^n \to P^{n^2+2n}.\ </math>

== 역사 ==
베니아미노 세그레({{llang|en|Beniamino Segre}}, 1903-1977, [[코라도 세그레]]의 조카)가 도입하였다.

== 각주 ==
<references />

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Segre imbedding}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:사영기하학]]