섭동 이론 (양자역학) 문서 원본 보기

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{{양자역학}}
[[양자역학]]에서 '''섭동 이론'''({{lang|en|perturbation theory}}, 攝動理論) 또는 '''미동 이론'''(微動理論)이란 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]에 작은 항이 더해졌을 때 그 에너지 준위 등이 바뀌는 정도를 다루는 이론이다. 해밀토니언이 직접 풀기에 너무 복잡할 때 사용한다.

== 도입 ==
대부분의 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]은 (몇몇 경우를 제외하면) 그 해석적인 해를 구하기 매우 어렵다. 섭동 이론의 목표는 복잡한 해밀토니언을 이미 풀린 단순한 해밀토니언에 비교해, 이미 알려진 해로부터 복잡한 해밀토니언의 [[에너지 준위]]와 에너지 고유 상태를 계산하는 것이다.

예를 들어, 어떤 [[계 (물리학)|계]]의 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]이 <math>H</math>로 주어졌다고 생각해보자. 우리가 만약 이 해밀토니언의 일부분 H<sub>0</sub>에 대한 [[완비성|완비적인]] 파동함수를 알고, 이 둘의 차이가 작다면 이 둘의 차이에 대한 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]] λH<sub>1</sub>이 H<sub>0</sub>를 살짝 건드려(섭동하여) [[슈뢰딩거 방정식]]의 해를 보정하는 것으로 볼 수 있다. 여기서 H<sub>0</sub>를 해밀토니언의 '''비섭동항'''(非攝動項, {{lang|en|unperturbed term}}), H<sub>1</sub>을 '''섭동항'''(攝動項, {{lang|en|perturbing term}})이라 한다.

간단히 다시 말하면, [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]] <math>H</math>가 다음과 같이 주어져 있고,
:<math>H = H_0 + \lambda H_1 \;, \quad |\lambda| \ll 1</math>
H<sub>0</sub>에 대한 [[완비성|완비적인]] 파동함수를 알 때, H에 대한 [[슈뢰딩거 방정식]]의 해를 근사적으로 구하는 것이 섭동 이론이다.

섭동 이론에는 [[슈뢰딩거 방정식]]이 시간에 의존하지 않는 경우와 시간에 의존하는 경우 두 종류가 있는 것처럼, 크게 '''시간 무관 섭동 이론'''({{lang|en|time-independent perturbation theory}})와 '''시간 의존 섭동 이론'''({{lang|en|time-dependent perturbation theory}})으로 나뉜다.

== 시간 무관 섭동 이론 (레일리-슈뢰딩거 섭동 이론) ==
시간 무관 섭동 이론은 <math>H_0</math>과 <math>H_1</math> 둘 다 ([[슈뢰딩거 묘사]]에서) 시간에 따라 바뀌지 않는 경우다. [[존 윌리엄 스트럿 레일리]]가 고전역학에서 다룬 섭동 이론<ref>{{서적 인용|성=Rayleigh|이름=J. W. S.|저자링크=존 윌리엄 스트럿 레일리|연도=1894|제목={{lang|en|The Theory of Sound}} (제1권)|판=2판|위치=London|출판사=Macmillan|쪽=115–118|isbn=1152060236|doi=10.1017/CBO9781139058087}}</ref>을 바탕으로 [[에르빈 슈뢰딩거]]가 1926년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Schrödinger|이름=Erwin|저자링크=에르빈 슈뢰딩거|제목={{lang|de|Quantisierung als Eigenwertproblem}}|저널={{lang|de|Annalen der Physik}}|권=385|호=13|쪽=437–490|연도=1926|doi=10.1002/andp.19263851302}}</ref> 이 때문에 '''레일리-슈뢰딩거 섭동 이론'''({{lang|en|Rayleigh–Schrödinger perturbation theory}})라고도 불린다.

비섭동 해밀토니언 H<sub>0</sub>의 에너지 고유 상태를 <math>|\psi_n^{(0)}\rangle</math>, 이에 대응되는 [[에너지 준위]]를 <math>E_n^{(0)}</math>이라고 부르자.
:<math>H_0 | \psi_n^{(0)} \rangle  = E_n^{(0)} | \psi_n^{(0)} \rangle </math>.
이 비섭동 고유 기저는 정규화되어 있다고 하자. 즉, 식으로 다음과 같다.
:<math>\langle\psi_m^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle=\delta_{mn}</math>.
여기서 <math>\delta_{mn}</math>은 [[크로네커 델타]]이다.

시간 무관 섭동 이론의 목표는 해밀토니언에 섭동항 <math>\lambda H_1</math>을 더했을 때, 섭동된 해밀토니언 <math>H=H_0+\lambda H_1</math>의 에너지 고유 상태 <math>|\psi_n(\lambda)\rangle</math>와 에너지 준위 <math>E_n(\lambda)</math>을 구하는 것이다. 즉, 다음 식을 풀어야 한다.
:<math>\left( H_0 +\lambda H_1 \right) | \psi_n \rangle  = E_n | \psi_n \rangle </math>

비섭동 에너지 고유 상태 <math>|\psi_n^{(0)}\rangle</math>는 [[힐베르트 공간]]의 [[완비성|완비]] [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이루므로, 섭동된 에너지 고유 상태 <math>|\psi_n\rangle</math>를 비섭동 에너지 고유 상태 <math>|\psi_n^{(0)}\rangle</math>의 [[선형결합]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>| \psi_n(\lambda)\rangle = \sum_k| \psi_k^{(0)} \rangle\langle\psi_k^{(0)}|\psi_n(\lambda)\rangle</math>.
상태 벡터는 임의의 상수를 곱해도 같은 상태를 나타내므로, 편의상 <math>\langle\psi_k^{(0)}|\psi_n(\lambda)\rangle=1</math>로 놓는다. (이렇게 하면 일반적으로 <math>\langle\psi_n|\psi_n\rangle\ne1</math>이 된다. 필요하면 섭동 이론 계산을 끝내고 다시 정규화할 수 있다.)

물론, 섭동항이 사라지면 (<math>\lambda=0</math>) 당연히 <math>|\psi_n\rangle=|\psi_n^{(0)}\rangle</math>이고, <math>E_n=E_0^{(0)}</math>이 된다.

섭동항이 매우 작다고 가정하면 (<math>\lambda\ll1</math>), 섭동된 에너지 준위 <math>E_n(\lambda)</math>과 섭동된 에너지 고유 상태 <math>|\psi_n(\lambda)\rangle</math>를 <math>\lambda</math>에 대한 [[테일러 급수]]로 전개할 수 있다.
:<math>E_n(\lambda) = \sum_{i=0}^\infty \lambda^i E_n^{(i)} = E_n^{(0)} + \lambda E_{n}^{(1)} + \lambda^2 E_{n}^{(2)} +  \cdots</math>
:<math>|\psi_n(\lambda)\rangle = \sum_{i=0}^\infty \lambda^i|\psi_n^{(i)}\rangle = |\psi_n^{(0)}\rangle+\lambda|\psi_n^{(1)}\rangle +\lambda^2|\psi_n^{(2)}\rangle +  \cdots</math>.
여기서 <math>|\psi_n^{(i)}\rangle</math>와 <math>E_n^{(i)}</math>는 구하고자 하는 테일러 계수이다. 이미 앞에서 <math>\langle\psi_n^{(0)}|\psi_n\rangle=1</math>로 놓았으므로, 다음이 성립한다.
:<math>\langle\psi_n^{(0)}|\psi_n^{(i)}\rangle=0</math> (<math>i>0</math>).

이 테일러 급수 전개를 섭동된 시간 무관 [[슈뢰딩거 방정식]]에 대입하면 다음을 얻는다.
:<math>( H_0+\lambda H_1)\sum_{i=0}^\infty \lambda^i|\psi_n^{(i)}\rangle=\left( \sum_{i=0}^\infty \lambda^i E_n^{(i)} \right)\sum_{i=0}^\infty \lambda^i|\psi_n^{(i)}\rangle</math>.
양변을 임의의 <math>i</math>에 대하여 <math>\lambda^i</math>의 계수끼리 비교하면 다음과 같은 식들을 얻는다.
:<math>H_0|\psi_n^{(0)}\rangle=E_n^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math>
:<math>H_0|\psi_n^{(1)}\rangle+H_1|\psi_n^{(0)}\rangle=E_n^{(0)}|\psi_n^{(1)}\rangle+E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math>
:<math>H_0|\psi_n^{(2)}\rangle+H_1|\psi_n^{(1)}\rangle=E_n^{(0)}|\psi_n^{(2)}\rangle+E_n^{(1)}|\psi_n^{(1)}\rangle+E_n^{(2)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math>
:⋮
:<math>H_0|\psi_n^{(i)}\rangle+H_1|\psi_n^{(i-1)}\rangle=E_n^{(0)}|\psi_n^{(i)}\rangle+E_n^{(1)}|\psi_n^{(i-1)}\rangle+\cdots+E_n^{(i-1)}|\psi_n^{(1)}\rangle+E_n^{(i)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math>.

섭동된 에너지 준위 <math>E_n^{(i)}</math>를 구하려면, 양변에 <math>\langle\psi_n^{(0)}|</math>을 곱해 보자. 그러면 다음을 얻는다.
:<math>\langle\psi_n^{(0)}|H_1|\psi_n^{(0)}\rangle=E_n^{(1)}</math>
:<math>\langle\psi_n^{(0)}|H_1|\psi_n^{(1)}\rangle=E_n^{(2)}</math>
:⋮
:<math>\langle\psi_n^{(0)}|H_1|\psi_n^{(i-1)}\rangle=E_n^{(i)}</math>.
따라서 <math>|\psi_n^{(i-1)}\rangle</math>을 안다면 <math>E_n^{(i)}</math>를 구할 수 있다.

섭동된 에너지 고유 상태 <math>|\psi_n^{(i)}\rangle</math>를 구하려면, 다음과 같은 연산자를 생각해 보자.
:<math>P_n=\sum_{m\ne n}\frac1{E_m^{(0)}-E_n^{(0)}}|\psi_m^{(0)}\rangle\langle\psi_m^{(0)}|</math>.
이 연산자는 다음 성질을 만족함을 쉽게 확인할 수 있다.
:<math>P_n(H_0-E_n)|\psi_n^{(i)}\rangle=|\psi_n^{(i)}\rangle</math> (<math>i>0</math>)
:<math>P_n|\psi_n^{(0)}\rangle=0</math>.
양변에 <math>\langle\psi_n^{(0)}|</math> 대신 <math>P_n</math>을 곱하면, 다음을 얻는다.
:<math>|\psi_n^{(1)}\rangle=-P_nH_1|\psi_n^{(0)}\rangle</math>
:<math>|\psi_n^{(2)}\rangle=P_n\left(E_n^{(1)}|\psi_n^{(1)}\rangle-H_1|\psi_n^{(1)}\rangle\right)</math>
:⋮
:<math>|\psi_n^{(i)}\rangle=P_n\left(E_n^{(1)}|\psi_n^{(i-1)}\rangle+\cdots+E_n^{(i-1)}|\psi_n^{(1)}\rangle-H_1|\psi_n^{(i-1)}\rangle\right)</math>.

따라서 <math>E_n^{(0)},E_n^{(1)},\dots,E_n^{(i-1)}</math>과 <math>|\psi_n^{(0)}\rangle,|\psi_n^{(1)}\rangle,\dots,|\psi_n^{(i-1)}\rangle</math>을 알면 <math>|\psi_n^{(i)}</math>를 구할 수 있다.

=== 낮은 차수에서의 계산 예제 ===
테일러 급수 전개의 1차 항은 다음과 같다.
:<math>E_n^{(1)}=\langle\psi_n^{(0)}|H_1|\psi_n^{(0)}\rangle</math>
:<math>|\psi_n^{(1)}\rangle=-P_nH_1|\psi_n^{(0)}\rangle</math>
:<math>\qquad=-\sum_{m\ne n}\frac1{E_m^{(0)}-E_n^{(0)}}|\psi_m^{(0)}\rangle\langle\psi_m^{(0)}|H_1|\psi_n^{(0)}\rangle</math>.
테일러 급수 전개의 2차 항은 다음과 같다.
:<math>E_n^{(2)}=\langle\psi_n^{(0)}|H_1|\psi_n^{(1)}\rangle</math>
:<math>|\psi_n^{(2)}\rangle=P_n\left(E_n^{(1)}|\psi_n^{(1)}\rangle-H_1|\psi_n^{(1)}\rangle\right)</math>
:<math>\qquad=\sum_{m\ne n}\frac1{E_m-E_n}|\psi_m^{(0)}\rangle\langle\psi_m^{(0)}|\left(E_n^{(1)}|\psi_n^{(1)}\rangle-H_1|\psi_n^{(1)}\rangle\right)</math>.

=== 겹침이 있는 경우 ===
만약 에너지 준위에서 [[겹침 (물리학)|겹침]]이 있는 경우 (즉, <math>n\ne m</math>이지만 <math>E_m=E_n</math>인 경우)는 <math>P_n</math>을 위와 같이 정의할 수 없다. 이런 경우에는 기저 <math>|\psi_n^{(0)}\rangle</math>에 다음과 같은 조건을 적용한다. 만약 <math>E_m=E_n</math>이지만 <math>m\ne n</math>이라면, 기저 벡터 <math>|\psi_m^{(0)}\rangle</math>과 <math>|\psi_n^{(0)}\rangle</math>를 다음 식을 만족하게 고른다.
:<math>\langle\psi_m^{(0)}|H_1|\psi_n^{(0)}\rangle=0</math>.
이제 이 조건을 만족하는 기저 <math>|\psi_n^{(0)}\rangle</math>를 써서 위와 같이 섭동 이론을 전개하면 된다. 이 때 <math>P_n</math>은 다음과 같이 바꾼다.
:<math>P_n=\sum_{m|E_m\ne E_n}\frac1{E_m-E_n}|\psi_m^{(0)}\rangle\langle\psi_m^{(0)}|</math>.

이러한 조건을 만족하는 기저는 다음과 같이 찾을 수 있다. 에너지 준위 <math>E_n</math>에 총 <math>g</math>개의 상태가 겹쳐 있다고 하자. 그렇다면 <math>E_n</math>에 해당하는 고유공간 <math>V_n</math>(즉, <math>H_0|\psi\rangle=E_n|\psi\rangle</math>인 모든 <math>|\psi\rangle</math>의 집합)은 <math>g</math>차원의 [[벡터 공간]]이다. 이 경우, <math>H_1</math>을 <math>V_n</math>에 국한시킨 연산자 <math>H_1|V_n</math>를 <math>g\times g</math> 행렬로 표현할 수 있다. 이 행렬을 대각화하면 위 조건을 만족하는 기저를 얻는다. 즉, 겹침이 있는 경우에는 <math>H_0</math>뿐만 아니라 (고유공간에 국한한) <math>H_1</math>에 대해서도 고유벡터가 되는 기저를 고른다.

== 시간 의존 섭동 이론 ==
시간 의존 섭동 이론은 비섭동 해밀토니언 <math>H_0</math>은 시간에 의존하지 않지만, 섭동항 <math>\lambda H_1(t)</math>는 시간 <math>t</math>에 직접적으로 의존하는 경우다. 이런 경우에는 보통 [[상호작용 묘사]]에서 '''다이슨 전개'''({{lang|en|Dyson series}})를 사용한다. 이는 [[프리먼 다이슨]]이 [[양자 전기역학]]을 다루기 위해 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Dyson|이름=Freeman|저자링크=프리먼 다이슨|제목={{lang|en|The <math>S</math> matrix in quantum electrodynamics}}|저널={{lang|en|Physical Review}}|권=75|호=11|쪽=1736–1755|doi=10.1103/PhysRev.75.1736|연도=1949}}</ref>

상호작용 묘사란 상태 벡터는 <math>\lambda H_1</math>을 따라 변화하고, 연산자는 <math>H_0</math>을 따라 변화하는 묘사이다. [[슈뢰딩거 묘사]]와 [[하이젠베르크 묘사]]의 중간으로 볼 수 있다. 즉, 상호작용 묘사에서의 시간 변화 방정식은 다음과 같다.
:<math>\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial_t}|\psi(t)\rangle=\lambda H_1(t)|\psi(t)\rangle</math>
:<math>\frac{d}{dt}A(t)=\frac{\mathrm i}\hbar[H_0,A(t)]+\frac{\partial}{\partial t}A_{\text{S}}(t)</math>.
여기서 <math>A_{\text{S}}(t)</math>는 [[슈뢰딩거 묘사]]에서의 <math>A</math>이다.

'''다이슨 전개'''는 상호작용 묘사에서의 [[시간 변화]] 연산자를 <math>\lambda</math>에 대한 다항식으로 전개한 것이다. 시각 <math>t_0</math>의 상태를 시각 <math>t</math>의 상태로 바꾸는 시간 변화 연산자 <math>U(t,t_0)</math>는 다음과 같이 시간 순서 [[행렬 지수]]({{lang|en|time-ordered matrix exponential}})로 나타낼 수 있는데, 이것이 다이슨 전개다.
:<math>U(t,t_0)=\mathcal T\left[\exp\int_{t_0}^t(-i\lambda/\hbar)H_1(s)\,ds\right]</math>
::<math>=1+(-i\lambda/\hbar)\int_{t_0}^tH_1(t_1)\,dt_1+(-i\lambda/\hbar)^2\int_{t_1}^t\int_{t_0}^tH_1(t_2)H_1(t_1)\,dt_1\,dt_2
+(-i\lambda/\hbar)^3\int_{t_2}^t\int_{t_1}^t\int_{t_0}^tH_1(t_3)H_1(t_2)H_1(t_1)\,dt_1\,dt_2\,dt_3+\cdots
</math>.
여기서 <math>\mathcal T[\cdots]</math>는 '''시간 순서 기호'''({{lang|en|time-ordering symbol}})로, 연산자의 곱을 시간 순서에 따라 재배열한다. 즉, 만약 <math>t_0<t_1<t_2<t_3</math>이면,
:<math>\mathcal T[A(t_3)A(t_0)A(t_1)A(t_2)]=A(t_3)A(t_2)A(t_1)A(t_0)</math>
이다. 주의할 것은, <math>H_1(t)</math> 자체도 관측가능량이므로 <math>H_0</math>을 따라 바뀐다. 즉,
:<math>H_1(t)=\exp(iH_0t/\hbar)H_{1\text{S}}(t)\exp(-iH_0t/\hbar)</math>
이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Sakurai|이름=Jun John|제목={{lang|en|Modern Quantum Mechanics}}|출판사={{lang|en|Addison-Wesley}}|연도=1994|ISBN=0201539292}}
* {{서적 인용|성=Griffiths|이름=David J.|제목={{lang|en|Introduction to Quantum Mechanics}}|출판사={{lang|en|Addison-Wesley}}|isbn=0131118927|연도=2004}}

== 같이 보기 ==
* [[슈타르크 효과]]
* [[제이만 효과]]

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:섭동 이론| ]]