선형 푸아송 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''선형 푸아송 다양체'''(線型Poisson多樣體, {{llang|en|linear Poisson manifold}})는 성분이 선형인 [[푸아송 다양체]]의 구조를 갖춘 [[벡터 공간]]이다. 이는 항상 유한 차원 [[실수 리 대수]]의 [[쌍대 공간]]의 꼴이다. 그 심플렉틱 잎들은 '''쌍대딸림표현 궤도'''(雙對딸림表現軌道, {{llang|en|coadjoint orbit}})라고 하는데, 일부 경우 리 대수의 [[기약 표현|기약]] [[유니터리 표현]]에 대응하며, 이러한 표현들은 심플렉틱 잎의 [[기하학적 양자화]]로 얻어진다.<ref>{{저널 인용 | 제목=Geometry and topology of coadjoint orbits of semisimple Lie groups | 이름=Julia | 성=Bernatska | 이름2=Petro | 성2=Holod | arxiv=0801.2913 | url=https://www.emis.de/proceedings/Varna/vol9/Bernatska.pdf | 언어=en | 확인날짜=2018-10-16 | 보존url=https://web.archive.org/web/20170814020227/http://www.emis.de/proceedings/Varna/vol9/Bernatska.pdf | 보존날짜=2017-08-14 | url-status=dead }}</ref> 이 경우, '''키릴로프 지표 공식'''(Кириллов指標公式, {{llang|en|Kirillov character formula}})에 따라서, [[군 표현의 지표]]는 심플렉틱 잎의 부피를 나타내는 [[분포 (해석학)|분포]]의 [[푸리에 변환]]으로 주어진다.

== 정의 ==
유한 차원 실수 벡터 공간 <math>V</math> 위에 [[푸아송 다양체]] 구조 <math>\{-,-\}</math>가 주어졌으며, 다음과 같은 꼴이라고 하자.
:<math>\{f,g\}(x) = x^if_i{}^{jk}\partial_jf\partial_kf</math>
그렇다면, [[쌍대 공간]] <math>V^*</math> 위에 다음과 같은 [[리 대수]] 구조를 부여할 수 있다.
:<math>[t^j,t^k] = \sum_i f_i{}^{jk} t^i</math>
반대로, 유한 차원 [[실수 리 대수]] <math>(\mathfrak g,[,])</math>가 주어졌을 때, 그 [[쌍대 공간]] <math>\mathfrak g^*</math> 위에 다음과 같은 [[푸아송 다양체]] 구조를 정의하자. 임의의 <math>f,g\in\mathcal C^\infty(\mathfrak g^*;\mathbb R)</math> 및 <math>x\in\mathfrak g^*</math>에 대하여,
:<math>\{f,g\}(x)=x([\mathrm df(x),\mathrm dg(x)])</math>
여기서
:<math>\mathrm df(x),\mathrm dg(x)\in\mathrm T_x^*\mathfrak g^*\cong\mathfrak g</math>
이므로, 우변에 [[리 괄호]]를 사용할 수 있다.

즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 [[실수 리 대수]](의 [[쌍대 공간]])와 [[일대일 대응]]한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 '''선형 푸아송 다양체'''라고 한다.

== 성질 ==
=== 심플렉틱 잎 (쌍대딸림표현 궤도) ===
[[리 지수 사상]]에 따라 <math>\mathfrak g=\mathfrak{lie}(G)</math>가 되는 [[단일 연결]] [[리 군]] <math>G</math>를 정의할 수 있다. 그렇다면, <math>\mathfrak g^*</math>는 물론 [[리 군]] <math>G</math>의 [[군의 표현|표현]]
:<math>\operatorname{Ad}^*_G \colon G \to \operatorname{GL}(\mathfrak g^*)</math>
을 갖춘다. 구체적으로, 임의의 <math>g\in G</math> 및 <math>x\in\mathfrak g^*</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{Ad}^*_G(g)x \colon \mathfrak g \to \mathbb R</math>
:<math>\operatorname{Ad}^*_G(g)x \colon \xi \mapsto x(\operatorname{Ad}_G(g^{-1})\xi)</math>
이다. 여기서 <math>\operatorname{Ad}_G \colon G \to \operatorname{GL}(\mathfrak g)</math>는 [[딸림표현]]이다.

<math>\mathfrak g^*</math>의 [[심플렉틱 잎]]들은 <math>\mathfrak g^*</math> 속의, <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대한 궤도에 해당한다. 이를 '''쌍대딸림표현 궤도'''({{llang|en|coadjoint orbit}})라고 한다.

=== 멱영군의 경우 ===
<math>G</math>가 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[멱영 리 군]]이라고 하자. 그렇다면, <math>G</math>의 [[유니터리 표현|유니터리]] [[기약 표현]]들의 집합은 <math>\mathfrak{lie}(G)^*</math>의 쌍대딸림궤도들의 집합과 표준적으로 [[일대일 대응]]을 갖는다. 구체적으로, 어떤 쌍대딸림궤도 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 이는 [[심플렉틱 다양체]]이며, [[기하학적 양자화]]를 통해 <math>G</math>의 [[유니터리 표현]]을 갖는 [[복소수 힐베르트 공간]]을 구성할 수 있는데, 이것이 쌍대딸림궤도에 대응하는 유니터리 기약 표현이다.

또한, 이 경우 표현 <math>\rho</math>의 [[군 표현의 지표|지표]]는 <math>X</math>의 [[부피 형식]]의 ([[분포 (해석학)|분포]]로서의) [[푸리에 변환]]으로 주어진다.

=== 콤팩트 군의 경우 ===
<math>G</math>가 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[콤팩트 리 군]]이라고 하자. 그렇다면, <math>G</math>의 쌍대딸림표현 궤도들은 <math>G</math>의 [[바일 방]]의 점과 [[일대일 대응]]한다.

콤팩트 리 군의 경우, 다음과 같은 지표 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 리 대수 ([[반단순 리 대수]]와 [[아벨 리 대수]]의 [[직합]]) <math>\mathfrak g</math>
* <math>\mathfrak g</math>의 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h</math>
* <math>\mathfrak h</math>의 [[양근]] 집합 <math>\{\alpha^1,\dotsc,\alpha^{\dim\mathfrak g/2}\} \subseteq \mathfrak h^*</math>
* [[기약 표현]] <math>\pi\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)</math>
* <math>\pi</math>의 [[최고 무게]] <math>\lambda \in \mathfrak h^*</math>
그렇다면,
:<math>\rho = \frac12\sum_{i=1}^{\dim\mathfrak g/2} \alpha^i</math>
가 모든 양근의 합의 절반이라고 하자. 궤도
:<math>\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho) \subseteq \mathfrak g^*</math>
는 [[심플렉틱 다양체]]를 이루며, 따라서 그 위에 [[심플렉틱 형식]]의 거듭제곱인 [[부피 형식]] <math>\mu_{\lambda+\rho}</math>가 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>(\det(\mathrm D\exp|_\xi))^{1/2} \operatorname{tr}_V\pi(\exp\xi) = \int_{\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho)} \exp(\mathrm i\langle x|\xi\rangle) \mu_{\lambda+\rho}</math>
여기서
* <math>\det(\mathrm D\exp|_\xi) = \operatorname{sinh}(\operatorname{ad}(\xi/2))/\operatorname{ad}(\xi/2)</math>는 [[리 지수 사상]] <math>\mathfrak g \to G</math>의, <math>\xi\in\mathfrak g</math>에서의 [[야코비 행렬]] <math>\mathrm D\exp|_\xi \in \mathfrak g^* \otimes \mathrm T_{\exp\xi}G</math>의 [[행렬식]]이다.

=== 고리 리 대수 ===
[[단일 연결 공간|단일 연결]] [[반단순 리 군]] <math>G</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>를 생각하자. 그렇다면, [[매끄러운 함수]]로 구성된 [[고리 공간]]
:<math>\mathrm LG = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,G)</math>
은 표준적인 [[프레셰 다양체]] 구조를 갖는다. 이에 대응되는 [[프레셰 공간]]인 [[리 대수]]
:<math>\mathrm L\mathfrak g = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\mathfrak g)</math>
를 생각하자. (그 위의 [[리 괄호]]는 점별로 [[리 괄호]]를 취한 것이다.) [[푸리에 변환]]을 통하여
:<math>\mathfrak g \otimes \mathbb C[z,z^{-1}] \subseteq \mathrm L\mathfrak g</math>
이며, 우변은 좌변의 ([[프레셰 공간]]으로의) 완비화로 간주할 수 있다.

원 <math>\mathbb S^1</math>은 [[평행화 가능 다양체]]이므로, 그 [[방향 (다양체)|방향]]을 골라
:<math>\mathrm L\mathfrak g \cong \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g^*)</math>
으로 놓을 수 있다. 또한, <math>\mathfrak g</math>의 [[킬링 형식]]을 사용하여 <math>\mathfrak g^* \cong \mathfrak g</math>이므로
:<math>(\mathrm L\mathfrak g)^* \cong \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g)</math>
이다. 이 공간
:<math> (\mathrm L\mathfrak g)^* = \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g)</math>
은 원 위의 자명한 <math>G</math>-[[주다발]]의 [[주접속]]의 공간으로 해석할 수 있다. 이 경우, <math>\mathrm LG</math>는 원 위의 [[게이지 변환군]]으로 해석할 수 있으며, 선형 푸아송 다양체 <Math>\mathrm L\mathfrak g^*</math> 위의 [[군의 작용|작용]]은 [[게이지 변환]]에 해당한다. 즉, 그 [[심플렉틱 잎]]들은 원 위의 자명한 [[주다발]]의 [[주접속]]의 [[게이지 변환]] 동치류들의 공간 <math>G/\!/G</math>이다.

== 예 ==
=== 아벨 리 군 ===
[[아벨 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>를 생각하자. 그렇다면, <math>\mathfrak g^*</math> 위의 푸아송 다양체 구조는 [[상수 함수]] 0이며, 그 심플렉틱 잎은 모두 [[한원소 공간]]이다.

구체적으로,
:<math>\mathfrak g = \mathbb R^n</math>
이라고 하자. 이에 대응하는 [[단일 연결]] [[리 군]] <math>G = \mathbb R^n</math>은 (자명하게) [[멱영 리 군]]이다. 이는 [[아벨 군]]이므로, 그 [[유니터리 표현|유니터리]] [[기약 표현]]은 모두 1차원이며, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>(t^1,\dotsc,t^n) \cdot z \mapsto \exp(\mathrm i\alpha_1t^1+\mathrm i\alpha_2t^2+\dotsb+\mathrm i\alpha_nt^n) z</math>
이 기약 표현은 점 <math>(\alpha_1,\alpha_2,\dotsc,\alpha_n) \in \mathfrak g^*</math>으로 구성된 [[한원소 공간]]인 심플렉틱 잎에 대응된다. 그 지표
:<math>\chi_{(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)}(t_1,\dotsc,t_n) = \exp(\mathrm i\alpha_1t^1 + \dotsb + \mathrm i\alpha_nt^n)</math>
는 [[부피 형식]](<math>(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)</math>에서의 [[디랙 델타]])의 [[푸리에 변환]]이다.

=== SU(2) ===
<math>\mathfrak g = \mathfrak o(3)</math>([[3차원 직교군]]의 [[리 대수]])라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. (<math>\mathfrak g</math>가 [[반단순 리 대수]]이므로, [[킬링 형식]] <math>B(-,-)</math>에 의하여 [[딸림표현]]과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 [[SO(3)]]의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\mathbb S^2_r = \{v \in \mathfrak g \colon |B(v,v)| = r^2 \} \qquad (r\in[0,\infty))</math>
즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 <math>r</math>의 [[구 (기하학)|구]]이다. 이는 <math>\operatorname{SU}(2)</math>의 [[바일 방]]인 반직선과 [[일대일 대응]]한다.

<math>r>0</math>일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, <math>r=0</math>일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 [[구면 좌표계]] <math>(r,\theta,\phi)</math>에서
:<math>\omega_r = \frac r{2\pi}\sin\theta\,\mathrm d\phi\wedge\mathrm d\theta</math>
이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다.

이 경우, 최고차 무게는 [[스핀]]이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은 <math>1\in\mathbb R</math>에 해당하며, <math>\rho = 1/2</math>이다.

이 경우, 스핀 <math>\lambda\in\{1/2,1,3/2,2,\dotsc\}</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho) = \{x\in\mathbb R^3\colon \|x\|= \lambda+1/2\}</math>
이며,
:<math>\int_{\|x\|=2\lambda+1/2} \exp(\mathrm i\langle x,\xi\rangle) \omega_{\lambda+1/2} 
=\frac{\lambda+1/2}{2\pi}\int_0^2\pi\mathrm d\phi\int_0^\pi\mathrm d\theta\,\sin\theta
\exp(2\mathrm i\xi(\lambda+1/2)\cos\theta)
=\frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\xi}</math>
이다.

여기서 정적분
:<math>\int_0^\pi \sin\theta \exp(\mathrm ir\cos\theta) = \frac{2\sin r}r</math>
을 사용하였다.

이 경우, 야코비안은
:<math>\det \mathrm D\exp|_{\operatorname{diag}(\mathrm i\xi,-\mathrm i\xi)} = \frac{\sin\xi}\xi</math>
이다.

즉, [[스핀]] <math>\lambda</math>에 대응하는 [[군 표현의 지표]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{tr} \lambda
(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))
= \frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\sin\xi}</math>
사실, 스핀 <math>\lambda</math>의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로
:<math>\operatorname{tr} \lambda
(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))
= \exp(2\mathrm i\lambda)\xi)
+ \exp(2\mathrm i(\lambda-1)\xi)
+ \dotsb + \exp(-2\mathrm i\lambda\xi)</math>
가 된다. 이 경우, [[기하 급수]]의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다.

=== 하이젠베르크 군 ===
단일 연결 [[멱영 리 군]]인 [[하이젠베르크 군]]
:<math>\operatorname{Heis}(3;\mathbb R) = \left\{
\begin{pmatrix}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R
\right\}</math>
을 생각하자. 그 [[실수 리 대수]]는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다.
:<math>\mathfrak{heis}(3;\mathbb R) = \left\{
\begin{pmatrix}
0&a&c\\
0&0&b\\
0&0&0
\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R
\right\}</math>
3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적
:<math>\langle X|Y\rangle = \operatorname{tr}(XY)</math>
을 사용한다면, <math>\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)</math>의 [[쌍대 공간]]은 3×3 실수 행렬의 [[내적 공간]] <math>\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)</math> 속에서 다음과 같은 [[직교 여공간]]으로 표현된다.
:<math>\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)^\perp = \left\{
\begin{pmatrix}
0&x&y\\
0&0&z\\
0&0&0
\end{pmatrix}\colon x,y,z\in\mathbb R
\right\} = \{M\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)\colon \operatorname{tr}(</math>
이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다.
:<math>
\operatorname{ad}^*\left(\begin{pmatrix}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{pmatrix}\right) \colon \begin{pmatrix}
0&x&y\\
0&0&z\\
0&0&0
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
0&x-ay&y\\
0&0&z+by\\
0&0&0
\end{pmatrix}
</math>
따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다.
* <math>y = 0</math>인 점은 [[군의 작용]]의 [[고정점]]이다. 이 경우, 심플렉틱 잎은 0차원이다. 이는 <math>\operatorname{Heis}(3;\mathbb R)</math>의 [[군의 표현|표현]] 가운데, [[아벨 군|아벨]] [[몫군]] <math>\mathbb R \times\mathbb R</math>의 표현으로 유도되는 것에 해당한다.
* <math>y \ne 0</math>일 때, 궤도는 <math>(\mathbb R,y,\mathbb R)</math>의 꼴이다. 즉, 심플렉틱 잎은 2차원이며, 그 위의 [[심플렉틱 형식]] <math>\mathrm dx\wedge\mathrm dz / y</math>은 2차원 유클리드 부피 형식에 비례한다. 이는 <math>\operatorname{Heis}(3;\mathbb R)</math>의 [[군의 표현|표현]] 가운데, 메타플렉틱 표현에 해당한다. 이 경우, <Math>y</math>는 메타플렉틱 표현을 결정하는 중심 원소의 값에 대응한다.

== 역사 ==
선형 푸아송 다양체의 [[심플렉틱 잎]]과 [[기약 표현]] 사이의 관계는 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프({{llang|ru|Алекса́ндр Алекса́ндрович Кири́ллов}}, 1936〜)가 1961년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Кириллов | first1=Александр Александрович | title=Унитарные представления нильпотентных групп Ли |mr=0125908 | year=1961 | journal=Доклады Академии Наук СССР | issn=0002-3264 | volume=138 | pages=283–284|url=http://mi.mathnet.ru/dan25001 | zbl=0104.02902 | 언어=ru}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Кириллов | first1=Александр Александрович | 날짜=1962 | title=Унитарные представления нильпотентных групп Ли | 저널=Успехи математических наук | 권=17 | 호=7 | 쪽=57–110 | url = http://mi.mathnet.ru/umn6513 | 언어=ru}} 영역 {{저널 인용 | last1=Kirillov | first1=A. A. | title=Unitary representations of nilpotent Lie groups | doi=10.1070/RM1962v017n04ABEH004118 |mr=0142001 | year=1962 | journal=Russian Mathematical Surveys | issn=0042-1316 | volume=17 | issue=4 | pages=53–104 | zbl= 0106.25001 |언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Orbit method}}
* {{eom|title=Coadjoint representation}}
* {{nlab|id=linear Poisson structure}}
* {{nlab|id=coadjoint orbit}}
* {{nlab|id=coadjoint action}}
* {{nlab|id=orbit method}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.columbia.edu/~woit/notes23.pdf | 이름=Peter | 성=Woit | 제목=Topics in representation theory:  The moment map and the orbit method | 언어=en}}
* {{웹 인용 | url=https://raw.githubusercontent.com/hassanjolany/hassanjolany.github.io/master/JOLANY2.pdf | 제목=Geometric quantization on coadjoint orbits | 이름=Hassan | 성=Jolany | 언어=en }}{{깨진 링크|url=https://raw.githubusercontent.com/hassanjolany/hassanjolany.github.io/master/JOLANY2.pdf }}
* {{웹 인용 | url=http://math.mit.edu/conferences/talbot/2010/notes/11_character_formulae.pdf | 제목=Character formulas | 이름=Dario | 성=Beraldo | 언어=en }}{{깨진 링크|url=http://math.mit.edu/conferences/talbot/2010/notes/11_character_formulae.pdf }}
* {{웹 인용|url=http://www.math.toronto.edu/mein/teaching/MAT1341_PoissonGeometry/Poisson8.pdf| 제목=Introduction to Poisson geometry | 이름=Eckhard | 성= Meinrenken|날짜=2017 | 언어=en}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:리 군]]
[[분류:표현론]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]