선형 보간법 문서 원본 보기

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'''선형 보간법'''(線型補間法, linear interpolation)은 끝점의 값이 주어졌을 때 그 사이에 위치한 값을 추정하기 위하여 직선 거리에 따라 선형적으로 계산하는 방법이다.

[[파일:LinearInterpolation.svg|썸네일|오른쪽|300픽셀|두 빨간색 점 사이에 있는 파랑색 점의 위치를 추정하기 위하여 선형 보간법을 사용할 수 있다.]]

== 예시 ==
예를 들어, 오른쪽 그림과 같이, 두 끝점 <math>(x_0, y_0)</math>와 <math>(x_1, y_1)</math>가 주어져 있을 때, 그 사이에 위치한 <math>(x, y)</math>의 값을 추정하기 위해 두 점 사이에 직선을 긋고 다음과 같은 비례식을 구성할 수 있다.
:<math>\frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}</math>
이 수식을 풀면, 어떤 주어진 값 <math>x</math>에 대한 <math>y</math> 값을 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>y = y_0 + (y_1-y_0)\frac{x - x_0}{x_1-x_0}</math>

== 일반화 ==
[[파일:1D linear interpolation.jpg|썸네일|오른쪽|300픽셀|p1과 p2 사이에 있는 점 p의 값을 추정하기 위해 선형 보간법을 사용할 수 있다.]]
일반적으로 두 지점 <math>p_1, p_2</math>에서의 데이터 값이 각각 <math>f(p_1), f(p_2)</math>일 때, <math>p_1, p_2</math> 사이의 임의의 지점 <math>p</math>에서의 데이터 값 <math>f(p)</math>는 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>f(p) = \frac{d_2}{d_1+d_2}f(p_1) + \frac{d_1}{d_1+d_2}f(p_2)</math>
단, <math>d_1</math>은 <math>p</math>에서 <math>p_1</math>까지의 거리, <math>d_2</math>는 <math>p</math>에서 <math>p_2</math>까지의 거리를 말한다.

만일 거리의 비를 합이 1이 되도록 정규화하면 (<math>d1+d2=1</math>) 위 식은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

:<math>f(p) = {d_2} f(p_1) + {d_1} f(p_2)</math>

== 확장 ==
선형 보간법은 1차원 직선상에서 이루어지는 [[보간법]]이다. 이를 2차원으로 확장하여 평면에 적용한 것이 [[이중 선형 보간법]](bilinear interpolation)이고, 이를 3차원으로 확장하여 입방체에 적용한 것이 [[삼중 선형 보간법]](trilinear interpolation)이다.

== 프로그래밍 ==
선형 보간법은 다음과 같은 방법으로 프로그래밍을 할 수 있다.
<syntaxhighlight lang="Cpp">
// p1,p2를 d1:d2로 분할하는 p를 리턴한다. (단, d1+d2=1)
float lerp(float p1, float p2, float d1) {
  return (1-d1)*p1 + d1*p2;
}
</syntaxhighlight>

p1, p2사이의 임의의 지점 p에서의 데이터값 f(p)는 다음과 같다.

<math>
f(p)=d_2f(p_1)+d_1f(p_2)= f ( d_2*p_1 ) + f( d_1*p_2 ) = f ( (1-d_1)*p_1+d_1*p_2 )
</math>

따라서, <math> f(p)=f( lerp(p1,p2,d1) )  </math>

== 같이 보기 ==
* [[보간법]]
* [[보외법]]

== 외부 링크 ==
* [http://darkpgmr.tistory.com/117 선형 보간법(linear, bilinear, trilinear interpolation)]

{{토막글|수학}}

[[분류:보간법]]