선형 변환 문서 원본 보기

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'''선형 변환'''(線型變換, {{llang|en|linear transformation, vector space homomorphism, linear function}}) 또는 '''선형 사상'''(線型寫像, {{llang|en|linear map, linear mapping}}) 또는 '''선형 연산자'''(線型演算子, {{llang|en|linear operator}}) 혹은 '''선형 작용소'''(線型作用素)는 [[선형대수학]]에서 [[선형 결합]]을 보존하는, 두 [[벡터 공간]] 사이의 [[함수]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 두 [[벡터 공간]] <math>V</math>, <math>W</math> 사이의 함수 <math>T\colon V\to W</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>T</math>를 '''선형 변환'''이라고 한다.
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
** 임의의 두 벡터 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>T(u+v)=T(u)+T(v)</math>
** 임의의 [[스칼라]] <math>a\in K</math> 및 벡터 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>T(av)=aT(v)</math>
* 임의의 [[스칼라]] <math>a\in K</math> 및 두 벡터 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>T(au+v)=aT(u)+T(v)</math>
* 임의의 자연수 <math>m\in\mathbb N</math> 및 스칼라들 <math>a_1,a_2,\ldots,a_m\in K</math> 및 벡터들 <math>v_1,v_2,\dotsc,v_m\in V</math>에 대하여,
*: <math>T(a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m)=a_1T(v_1)+a_2T(v_2)+\cdots+a_mT(v_m)</math>
두 벡터 공간 <math>V,W</math> 사이의 선형 변환이 이루는 벡터 공간의 기호는 <math>\hom(V,W)</math> 또는 <math>L(V,W)</math>이며, 벡터 공간 <math>V</math> 위의 선형 변환들이 이루는 [[단위 결합 대수]]의 기호는 <math>\hom(V)</math> 또는 <math>L(V)</math>이다. 벡터 공간과 그 체 사이의 선형 변환 <math>T\colon V\to K</math>을 '''선형 범함수'''(線型汎函數, {{llang|en|linear functional, linear form}})라고 하며, 이들이 이루는 벡터 공간을 [[쌍대 공간|'''쌍대 공간''']] <math>V^*</math>이라고 한다.

용어 '선형 연산자' · '선형 작용소' · '선형 범함수'는 보통 무한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환에 많이 쓰인다. 일부 문헌에서 '선형 변환' · '선형 연산자' · '선형 작용소' · '선형 범함수'은 정의역과 공역이 같은 선형 변환을 일컬으며, 이 경우 일반적인 선형 변환을 '선형 사상'이라고 부른다.

=== 행렬 표현 ===
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math>와 <math>W</math>의 [[순서 기저]] <math>B_V=\{v_1,\dotsc,v_n\}</math> 및 <math>B_W=\{w_1,\dotsc,w_m\}</math>가 주어졌다고 하자. 또한, <math>T\colon V\to W</math>가 선형 변환이라고 하자. 그렇다면, <math>K</math> 성분의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>M</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유일한 행렬 <math>M</math>을 <math>T</math>의 <math>B_V,B_W</math>에 대한 행렬 <math>[T]_{B_V,B_W}</math>이라고 한다.
* 임의의 <math>X\in K^n</math>에 대하여, <math>T\left(\sum_{j=1}^nx_jv_j\right)
=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nM_{ij}x_jw_i</math>
** 즉, 임의의 <math>X\in K^n</math>에 대하여, <math>T\left(\begin{pmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{pmatrix}X\right)
=\begin{pmatrix}w_1&w_2&\cdots&w_m\end{pmatrix}MX</math>
** 즉, 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>[T(v)]_{B_W}=[T]_{B_V,B_W}[v]_{B_V}</math> (여기서 <math>[-]_{B_V},[-]_{B_W}</math>는 좌표 열벡터를 구하는 전단사 선형 변환이다.)
** 즉, 다음 그림이 가환한다.
**: <math>\begin{matrix}
V&\overset T\to&W\\
{\scriptstyle [-]_{B_V}}\!\downarrow&&\downarrow\!{\scriptstyle [-]_{B_W}}\\
K^n&\underset{[T]_{B_V,B_W}\cdot}\to&K^m
\end{matrix}</math>
* <math>T(v_j)=\sum_{i=1}^mM_{ij}w_i\qquad(j=1,\ldots,n)</math>
** 즉, <math>\begin{pmatrix}T(v_1)&T(v_2)&\cdots&T(v_n)\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}w_1&w_2&\cdots&w_m\end{pmatrix}M</math>
** 즉, <math>[T(v_j)]_{B_W}=[T]_{B_V,B_W}[v_j]_{B_V}\qquad(j=1,\ldots,n)</math>

== 성질 ==
선형 변환 <math>T\colon V\to W</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* 영벡터의 상은 영벡터이다.
*: <math>T(0_V)=0_W</math>
* 덧셈 역원의 상은 덧셈 역원이다.
*: <math>T(-v) = -T(v)\qquad(v\in V)</math>
* 선형 종속 벡터들의 상은 선형 종속 벡터이며, 선형 독립 벡터들을 보존할 필요충분조건은 [[단사 함수]]이다.
*: <math>\operatorname{rank}T(S)\le\operatorname{rank}S\qquad(S\subseteq V)</math>
* [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker T</math>는 <math>V</math>의 부분 벡터 공간을 이룬다. 그 정의는 다음과 같다.
*: <math>\ker T=\{v\in V\colon T(v)=0_W\}\subset V</math>
* [[상 (수학)|상]] <math>T(V)</math>는 <math>W</math>의 부분 벡터 공간을 이룬다. 그 정의는 다음과 같다.
*: <math>T(V)=\{T(v)\colon v\in V\}\subset W</math>
* <math>T</math>가 [[단사 함수]]일 필요충분조건은 <math>\ker T=\{0_V\}</math>이다.
* <math>T</math>가 [[전사 함수]]일 필요충분조건은 <math>T(V)=W</math>이다.
* 만약 <math>V</math>와 <math>W</math>가 유한 차원 벡터 공간이며, <math>\dim V=\dim W</math>라면, 단사 선형 변환과 전사 선형 변환과 전단사 선형 변환은 서로 동치이다.

두 벡터 공간 <math>V,W</math> 사이에 [[전단사 함수|전단사]] 선형 변환이 존재할 필요충분조건은 <math>\dim V=\dim W</math>이다. 이 경우, 선형 변환 <math>T</math>는 [[동형 사상]]이고, 역사상 <math>T^{-1}\colon W \to V</math>이 존재한다. <math>T</math>가 선형사상이고, 역사상이 존재할 때 역사상 <math>T^{-1}</math> 역시 선형사상이다.<ref>{{서적 인용|제목=Linear Algebra|저자1=Meckes, Elizabath|출판사=Cambridge University Press|쪽=79-80|isbn=978-1-107-17790-1|lccn=2017053812|저자2=Meckes, Mark|연도=2018}}</ref>

선형 변환은 정의역의 [[기저 (선형대수학)|기저]]의 상에 의해 유일하게 결정된다. 즉, 벡터 공간 <math>V</math>의 기저 <math>B</math> 및 벡터 공간 <math>W</math>에 대하여, 함수 <math>B\to W</math>는 유일한 선형 변환 <math>V\to W</math>로 확장시킬 수 있다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
선형 변환은 점별 덧셈·점별 스칼라 곱셈·합성·역함수 연산을 갖추며, 이들에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
* 스칼라 <math>a,b\in K</math> 및 선형 변환 <math>T,U\colon V\to W</math>에 대하여, <math>aT+bU\colon V\to W</math>는 선형 변환이다.
* 선형 변환 <math>T\colon V\to W</math>, <math>U\colon W\to Z</math>에 대하여, <math>UT\colon V\to Z</math>는 선형 변환이다.
* 전단사 선형 변환 <math>T\colon V\to W</math>에 대하여, <math>T^{-1}\colon W\to V</math>는 선형 변환이다.
* 선형 변환 <math>T,U,R\colon V\to W</math>에 대하여, <math>T+U=U+T</math>, <math>(T+U)+R=T+(U+R)</math>.
* 선형 변환 <math>T,U\colon V\to W</math>, <math>R,S\colon W\to Z</math> 및 스칼라 <math>a,b,c,d\in K</math>에 대하여, <math>(cR+dS)(aT+bU)=acRT+adST+bcRU+bdSU</math>.
이에 따라, 선형 변환의 집합 <math>\hom(V,W)</math>는 점별 덧셈·점별 스칼라 곱셈에 따라 [[벡터 공간]]을 이루며, 자기 선형 변환의 집합 <math>\hom(V)</math>는 점별 덧셈·점별 스칼라 곱셈·합성에 따라 [[단위 결합 대수]]를 이룬다.

=== 행렬 표현 ===
유한 차원 벡터 공간의 경우, 선형 변환의 행렬 표현은 각종 연산을 보존한다. 즉, 세 유한 차원 벡터 공간 <math>V,W,Z</math> 및 순서 기저 <math>B_V,B_W,B_Z</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>[aT+bU]_{B_V,B_W}=a[T]_{B_V,B_W}+b[U]_{B_V,B_W}\qquad a,b\in K;\;T,U\in\hom(V,W)</math>
* <math>[UT]_{B_V,B_Z}=[U]_{B_W,B_Z}[T]_{B_V,B_W}\qquad T\in\hom(V,W);\;U\in\hom(W,Z)</math>
* <math>[T^{-1}]_{B_W,B_V}=[T]_{B_V,B_W}^{-1}\qquad T\in\hom(V,W);\;T^{-1}\in\hom(W,V)</math>
벡터 공간 <math>V,W</math>의 차원이 각각 <math>n,m</math>이라고 하자. 그렇다면, 행렬 표현은 선형 변환 공간 <math>\hom(V,W)</math>와 행렬 공간 <math>\operatorname{Mat}(m,n;K)</math> 사이의 벡터 공간 동형이며, 선형 변환 공간 <math>\hom(V)</math>와 [[정사각 행렬]] 공간 <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math> 사이의 단위 결합 대수 동형이다.

유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬은 서로 [[동치 행렬]]이며, 정의역과 공역이 같은 선형 변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬은 서로 [[닮음 행렬]]이다.

구체적으로, <math>V</math>의 두 순서 기저 <math>B_V,B_V'</math> 및 <math>W</math>의 두 순서 기저 <math>B_W,B_W'</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환 <math>T\colon V\to W</math>의 두 가지 행렬 <math>[T]_{B_V,B_W}</math>과 <math>[T]_{B_V',B_W'}</math>의 관계는 다음과 같다.
:<math>[T]_{B_V',B_W'}=[U_{B_W,B_W'}]_{B_W}^{-1}[T]_{B_V,B_W}[U_{B_V,B_V'}]_{B_V}</math>
여기서 <math>U_{B_V,B_V'}\colon V\to V</math>와 <math>U_{B_W,B_W'}\colon W\to W</math>는 순서 기저를 변경하는 전단사 선형 변환이다. 보통 선형 변환의 두 가지 행렬을 <math>[T]_{B_V,B_W}=M</math> 및 <math>[T]_{B_V',B_W'}=N</math>과 같이 쓰며, 두 기저 변환의 행렬을 <math>[U_{B_V,B_V'}]_{B_V}=P</math> 및 <math>[U_{B_W,B_W'}]_{B_W}=Q</math>와 같이 쓴다. 이를 통해 위 관계를 다시 쓰면 다음과 같다.
:<math>N=Q^{-1}MP</math>

특히, 만약 <math>V=W</math>이며 <math>B_V=B_W=:B</math>이며 <math>B_V'=B_W'=:B'</math>일 경우, 전단사 선형 기저 변환을 <math>U_{B,B'}\colon V\to V</math>, 그 행렬을 <math>[U_{B,B'}]_B=P</math>로 쓰자. 그렇다면, 선형 변환 <math>T\colon V\to V</math>의 두 행렬 <math>[T]_B=M</math> 및 <math>[T]_{B'}=N</math>의 관계는 다음과 같다.<ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>
:<math>[T]_{B'}=[U_{B,B'}]_B^{-1}[T]_B[U_{B,B'}]_B</math>
즉, 다음과 같다.
:<math>N=P^{-1}MP</math>

== 예 ==
체 <math>K</math> 및 그 위의 벡터 공간 <math>V</math>, <math>W</math>가 주어졌을 때, 선형 변환의 예는 다음과 같다.
* [[항등 변환]] <math>\operatorname{id}\colon V\to V</math>, <math>v\mapsto v</math>는 선형 변환이다. (임의의 기저에 대한) 행렬 표현은 [[단위 행렬]]이다.
* 스칼라 <math>c\in K</math>의 곱셈 <math>c\cdot\colon V\to V</math>, <math>v\mapsto cv</math>는 선형 변환이다. (임의의 기저에 대한) 행렬 표현은 [[스칼라 행렬]]이다.
* 모든 벡터를 [[영벡터]]로 대응시키는 변환 <math>0\colon V\to W</math>, <math>v\mapsto0_W</math>는 선형 변환이다. (임의의 기저에 대한) 행렬 표현은 [[영행렬]]이다.
* [[행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>의 왼쪽 곱셈 <math>M\cdot\colon K^n\to K^m</math>, <math>x\mapsto Mx</math>는 선형 변환이다. 표준 기저에 대한 행렬 표현은 <math>M</math> 스스로다. 사실, 이는 <math>K^n</math>, <math>K^m</math> 사이의 선형 변환의 유일한 유형이다.

=== 유클리드 공간 ===
[[실수]] 집합 위의 선형 변환은 [[정비례 함수]]가 다다.

2차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^2</math> 위의 선형 변환은 실수 2 × 2 행렬의 왼쪽 곱셈이 다다. 그 예는 다음과 같다.

{| class="wikitable"
! 선형 변환 !! 행렬 표현 !! 도해
|-
| 시계 반대 방향 90도 [[회전 (기하학)|회전]] || <math>\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}</math> || [[파일:90° rotation.svg|width=200]]
|-
| 시계 반대 방향 135도 회전 || <math>\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\qquad(\theta=135^\circ)</math> || [[파일:135° rotation.svg]]
|-
| <math>x</math>축에 대한 [[반사 (기하학)|반사]] || <math>\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> || [[파일:X reflection.svg]]
|-
| 모든 방향에서 2배 [[축소 (기하학)|확대]] || <math>\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}</math> || [[파일:2 scaling.svg]]
|-
| <math>x</math>축에 대한 [[전단 (수학)|전단]] || <math>\begin{pmatrix}1 & \lambda \\ 0 & 1\end{pmatrix}\qquad(\lambda=1)</math> || [[파일:X shearing.svg]]
|-
| [[쌍곡 회전]]({{llang|en|hyperbolic rotation}}) || <math>\begin{pmatrix}c & 0 \\ 0 & \frac1c\end{pmatrix}\qquad(c=3)</math> || [[파일:2 squeeze mapping.svg]]
|-
| <math>y</math>축에 사영 || <math>\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> || [[파일:Y projection.svg]]
|}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|id=Linear_transformation|title=Linear transformation}}
* {{매스월드|id=LinearTransformation|title=Linear transformation|저자=Rowland, Todd; Weisstein, Eric W.}}
* {{매스월드|id=InvertibleLinearMap|title=Invertible linear map|저자=Rowland, Todd; Weisstein, Eric W.}}
* {{nlab|id=linear+map|title=Linear map}}
* {{플래닛매스|urlname=lineartransformation|title=Linear transformation}}
* {{플래닛매스|urlname=invertiblelineartransformation|title=Invertible linear transformation}}

{{선형대수학}}

{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:선형 연산자]]
[[분류:함수와 사상]]
[[분류:변환 (함수)]]