선형 근사 문서 원본 보기

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[[파일:TangentGraphic2.svg|섬네일|300px|(''a'', ''f''(''a''))에서의 접선]]

[[수학]]에서 '''선형 근사'''(線型近似, {{llang|en|linear approximation}})는 어떤 [[함수]]를 [[선형 함수]], 즉 [[일차 함수]]로 [[근사]]하는 것을 말한다. 아이디어는 그림과 같이 어떤 점 근처를 확대하면 확대할수록 (미분 가능한) 함수의 그래프와 그 점에서의 접선은 비슷해진다는 사실로부터 온다.

== 정의 ==
어떤 점 <math>x=a</math>에서 미분가능한 함수 <math>f(x)</math>가 있을 때, 그 점에서의 접선의 방정식은

:<math>y=f(a)+f'(a)(x-a)</math>

이다. 이때 근사

:<math>f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)</math>

를 <math>f</math>의 <math>a</math>에서의 '''선형 근사'''라고 한다. 이는 [[테일러 정리]]에 의하여 얻어진

:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_2</math>

에서 근사 <math>R_2\approx 0</math>를 취한 것으로 볼 수 있다. 여기서 <math>R_2=o(x-a)</math>는 <math>x</math>가 <math>a</math>로 갈 때의 <math>x-a</math>보다 고위인 [[무한소]]이다([[점근 표기법]]). 즉,

:<math>\lim_{x\to a}\frac{o(x-a)}{x-a}=0</math>

== 예 ==
<math>\sqrt{4.01}</math>을 함수 <math>f(x)=\sqrt{x}</math>의 <math>x=4</math>에서의 선형 근사를 사용해서 근삿값을 구할 수 있다.

:<math>f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>

이므로

:<math>f(4.01)\approx f(4)+f'(4)\times 0.01=2+\frac{1}{4}\times 0.01=2.0025</math>

이다. 이는 실제값인 {{개행 금지|2.00249...}}를 소숫점 다섯째 자리에서 반올림 한 값이다. 즉, 참값에 상당히 근접함을 알 수 있다.

이는 사실상 <math>x</math>가 4에 매우 가까울 때의 선형 근사

:<math>\sqrt{x}\approx 2+\frac{1}{4}(x-4)</math>

를 이용한 것이다. 비슷한 예로 <math>x</math>가 0에 가까울 때의 여러 가지 선형 근사를 나열하면 다음과 같다.

* <math>\sin x\approx x</math>
* <math>\tan x\approx x</math>
* <math>e^x\approx 1+x</math>
* <math>\ln (1+x)\approx x</math>
* <math>\arcsin x\approx x</math>
* <math>\arctan x\approx x</math>
* <math>(1+x)^p\approx 1+px</math>

== 같이 보기 ==
* [[오일러 방법]]
* [[유한 차분]]
* [[뉴턴 방법]]
* [[테일러 정리]]
* [[거듭제곱 급수]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |isbn=0-495-38362-7 |제목=Calculus(Metric International Version, 6th Edition) |저자=James Stewart |출판사=Brooks/Cole, Cengage Learning |연도=2009}}

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:미분학]]
[[분류:수치해석학]]