선형성 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''선형성'''(線型性, linearity) 또는 '''선형'''(線型, linear, {{llang|la|linearis}})은 [[직선]]처럼 똑바른 [[도형]], 또는 그와 비슷한 성질을 갖는 대상이라는 뜻으로, 이러한 성질을 갖고 있는 [[선형 변환|변환]] 등에 대하여 쓰는 용어이다. [[함수]]의 경우, 어떠한 함수가 진행하는 모양이 '직선'이라는 의미로 사용된다. 이러한 개념은 [[수학]], [[물리학]] 등에서 많이 사용된다. 다른 말로 '''1차'''(一次)라고도 한다. (단어 '1차' 자체는, '선형'을 의미하지 않는 경우도 많다.)

== 선형 사상 ==
[[수학]]에서 선형성에 대한 정의는 다음과 같다.

함수 <math>f</math>에 대해,
* 가산성(Additivity), 즉, 임의의 수 <math>x</math>, <math>y</math>에 대해 <math>f(x+y) = f(x) + f(y)</math>가 항상 성립하고
* [[동차함수|동차성(Homogeneity)]], 즉, 임의의 수 <math>x</math>와 <math>\alpha</math>에 대해 <math>f(\alpha x) = \alpha f(x)</math>가 항상 성립할 때
함수 <math>f</math>는 '''선형'''이라고 한다.

<small>(여기서 <math>x</math>는 [[실수]]나 [[복소수]], 또는 [[벡터 공간]] 등 일반적으로 [[환 (수학)|환]]상의 [[아벨 군]]의 원소이다. (α는 스칼라 곱을 의미))</small>

예를 들면, [[일차함수]]의 경우, [[원점]]을 지날 경우에 선형성을 갖는다.

[[선형대수학]]은 이러한 선형의 변환과 이로써 확보되는 [[공간]]의 성질에 대하여 연구를 하는 [[학문]]이다. 벡터 및 [[벡터 공간]], [[행렬]]을 이용하여 표시되는 [[선형사상]] 또는 [[선형방정식]] 계열에서 취급된다.

[[함수해석학]]에서는 [[함수]]를 함수로 투영하는 사상인 [[작용소]]의 선형성을 다룬다. 함수의 [[미분]]을 작용소로 생각하여 얻어낼 수 있는 [[미분작용소]](예: [[나블라 연산자|∇]] 나 [[라플라스 방정식]])의 개념은, 선형 작용소의 중요한 예가 된다.

== 미분 방정식에서의 선형성 ==
[[미분 방정식]]이 [[선형방정식|선형]]일 경우에는, [[선형대수학]]의 수준으로 해를 찾아내는 것이 가능하다. 그러나, [[혼돈 이론|혼돈]]과 같이 선형이 아닌 ('''비선형'''인) 경우에는, 해를 구하는 것이 매우 어렵게 되어 버린다. 그러나 한편 [[팽르베 방정식]]과 같이, 어느 종의 대칭성을 가지고 있으며, 기하학적으로 다양한 성질을 내포하는 경우가 존재하는 등의 이유로, [[수학자]]나 [[물리학자]]들의 관심의 대상이 되고 있는 것들 또한 비선형 미분방정식이기도 하다.

== 같이 보기 ==
* [[선형계]]
* [[선형방정식]]
* [[선형대수학]]
* [[선형결합]]

[[분류:초등대수학]]
[[분류:물리학 개념]]