선직다양체 문서 원본 보기

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[[파일:Ruled hyperboloid.jpg|thumb|right|일엽 쌍곡면은 실수 위의 선직다양체이다.]]
[[대수기하학]]에서 '''선직다양체'''(線織多樣體, {{llang|en|ruled variety}})는 어떤 직선을 움직인 궤적으로 나타낼 수 있는 [[대수다양체]]이다.

== 정의 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 '''선직다양체'''는 [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1_K</math>과 <math>K</math> 위의 대수다양체 <math>V</math>의 곱 <math>\mathbb P^1_K\times V</math>와 [[쌍유리 동치]]인 [[대수다양체]]이다.

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 대수다양체 <math>X</math>에 대하여, 만약
* <math>K</math> 위의 대수다양체 <math>Y</math>
* [[우세 유리 사상]] <math>\phi\colon Y\times\mathbb P^1-\!\to X</math>
이 존재하며, 또한
* <math>\phi=\chi\circ\pi_Y</math> (<math>\pi_Y\colon Y\times\mathbb P^1_K-\!\to Y</math>는 <math>Y</math>로의 사영)
인 [[우세 유리 사상]] <math>\chi\colon Y-\!\to X</math>이 존재하지 않는다면,  <math>X</math>를 '''단선직다양체'''(單線織多樣體, {{llang|en|uniruled variety}})라고 한다.

'''선직면'''(線織面, {{llang|en|ruled surface}})은 선직다양체인 [[대수 곡면]]이다.

== 성질 ==
[[체의 표수|표수]]가 0인 [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 단선직다양체의 [[고다이라 차원]]은 <math>-\infty</math>이다.

[[체의 표수|표수]]가 0인 [[대수적으로 닫힌 체]] 위의, 3차원 이하의 대수다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 단선직다양체이다.
* 고다이라 차원이 <math>-\infty</math>이다.
이는 모든 차원에서 성립한다고 추측되지만, 아직 4차원 이상의 경우는 증명되지 않았다.

단선직성은 [[체의 확대]]에 따라 보존된다. 그러나 선직성은 체의 확대에 따라 보존되지 않는다. 예를 들어, [[사영 평면]] 속의 [[원뿔 곡선]]
:<math>x^2+y^2+z^2=0</math>
은 실수체 위에서는 단선직곡선이지만 선직곡선이 아니다. 그러나 [[복소수체]] 위에서는 (복소수 사영 직선 <math>\mathbb P^1_{\mathbb C}</math>과 동형이므로) 이는 단선직곡선이며 선직곡선이다.

== 예 ==
표수 0인 체 <math>K</math> 위의 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^n_K</math> 속의, <math>d</math>차 [[비특이 대수다양체|비특이]] 초곡면에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 차수가 <math>d\le n</math>이다.
* 단선직곡선이다.
* [[파노 다양체]]이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Ruled Varieties: An Introduction to Algebraic Differential Geometry|이름=Gerd|성=Fischer|공저자=Jens Piontkowski|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=vwalm-8|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-3-528-03138-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ruled surface}}
* {{매스월드|id=RuledSurface|title=Ruled surface}}

== 같이 보기 ==
* [[전개 가능 곡면]]

[[분류:대수기하학]]
[[분류:곡면]]