선적분 문서 원본 보기

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{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''선적분'''(線積分, {{llang|en|line integral}})과 [[직선]] 위의 [[정적분]]을 [[곡선]] 위의 적분까지 일반화한 개념이다. 두 종류의 선적분이 존재하며, 하나는 [[스칼라 장]], 하나는 [[벡터 장]]에 대한 것이다. 스칼라 장의 선적분은 [[밀도]] 분포가 주어진 끈의 [[질량]]을 구하는 문제와 같으며, 벡터 장의 선적분은 어떤 [[역장 (물리학)|역장]]이 주어진 경로를 따라 운동하는 물체에 한 [[일 (물리학)|일]]을 구하는 문제와 같다. 스칼라 장과 벡터 장의 선적분의 정의는 서로 전환 가능하다. 즉, 벡터 장의 선적분은 (스칼라 장을 이루는) [[접성분]]의 선적분과 같다.

== 정의 ==
곡선 위에 정의된 함수의 선적분은 [[리만 합]]을 사용하여 정의하거나, 곡선을 [[매개화]]한 뒤 정적분을 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우, 선적분은 곡선의 [[재매개화]] 아래 불변이다.

=== 스칼라 장의 경우 ===
[[파일:Line integral of scalar field.gif|섬네일|스칼라 장의 선적분]]
[[스칼라 장]] <math>f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>의, [[곡선]] <math>\vec\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n</math> 위의 '''선적분'''은 다음과 같다.
:<math>\int_{\vec\gamma([a,b])}fds=\int_a^bf(\vec\gamma(t))\Vert\vec\gamma'(t)\Vert dt</math>
특히, 곡선 <math>\vec\gamma([a,b])</math>의 '''[[길이]]'''는 다음과 같다.
:<math>\int_{\vec\gamma([a,b])}ds=\int_a^b\Vert\vec\gamma'(t)\Vert dt</math>

=== 벡터 장의 경우 ===
[[파일:Line integral of vector field.gif|섬네일|벡터 장의 선적분]]
[[벡터 장]] <math>\vec F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>의, 곡선 <math>\vec\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n</math> 위의 '''선적분'''은 다음과 같다.
:<math>\int_{\vec\gamma([a,b])}\vec F\cdot d\vec\gamma=
\int_{\vec\gamma([a,b])}\vec F\cdot\frac{\vec\gamma'(t)}{\Vert\vec\gamma(t)\Vert}ds=
\int_a^b\vec F(\vec\gamma(t))\cdot\vec\gamma'(t)dt</math>

=== 복소 함수의 경우 ===
{{본문|경로적분법}}
함수 <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>의, 곡선 <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C</math> 위의 '''선적분'''은 다음과 같다.
:<math>\int_{\gamma([a,b])}fdz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt</math>

== 성질 ==
=== 해석함수의 부정적분 ===
<math>f\left( z \right)</math>가 단순연결 영역 D내에서 [[해석적]]이라 하자. 그러면 영역 D내에 <math>f\left( z \right)</math>의 [[부정적분]], 즉, D내에 <math>F'\left( z \right)=f\left( z \right)</math>를 만족하는 해석함수 <math>F\left( z \right)</math>가 존재하며, D내의 두 점 <math>z_{0}</math>와 <math>z_{1}</math>을 연결하는 D내의 모든 경로에 대하여 
:<math>\int_{z_{0}}^{z_{1}}{f\left( z \right)dz=F\left( z_{1} \right)-F\left( z_{0} \right)}</math>
가 성립한다. 

=== 경로를 사용한 적분 ===
이 방법은 해석함수에만 제한되지 않고 모든 연속인 [[복소함수]]에 적용된다. <math>a\le t\le b</math>에서 <math>z=z\left( t \right)</math>에 의해 표시되는, 구분적으로 매끄러운 경로를 <math>C</math>라 하고, <math>f\left( z \right)</math>가 <math>C</math>위에서 연속인 함수라 하면, 
:<math>\int_{C}^{{}}{f\left( z \right)}dz=\int_{a}^{b}{f\left[ z\left( t \right) \right]}\dot{z}\left( t \right)dt</math> &nbsp; <math>\left( \dot{z}=\frac{dz}{dt} \right)</math>
이다.

== 응용 ==
어떤 끈의 [[밀도]]를 그 끈을 따라 선적분하면, 끈의 [[질량]]을 얻는다.

[[역장 (물리학)|역장]]을 물체의 운동 경로를 따라 선적분하면, 힘이 물체에 한 [[일 (물리학)|일]]을 얻는다. 힘이 한 일이 출발점과 도착점의 위치에만 의존하고 경로와 무관하다면, 그 힘을 [[보존력]]이라고 한다. 보존력장의 '원함수'를 그 힘에 의한 [[위치 에너지]]라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[발산 정리]]
* [[선적분의 기본정리]]
* [[면적분]]

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=선적분}}
* {{매스월드|id=PathIntegral|title=Path Integral}}
* {{매스월드|id=LineIntegral|title=Line integral}}
* {{nlab|id=line integral|title=Line integral}}
* {{플래닛매스|urlname=PathIntegral|title=Path integral}}

{{전거 통제}}

[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:길이]]
[[분류:곡선]]