서로소 아이디얼 문서 원본 보기

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[[파일:Coprime-lattice.svg|thumb]]
[[수론]]과 [[환론]]에서 '''서로소'''(-素, {{llang|en|coprime integers, coprime, relatively prime, mutually prime}})는 [[정수]]나 [[다항식]]들끼리의 [[최대 공약수]]가 1이라는 뜻의 표현이다.<ref>{{서적 인용 |저자= Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright |제목= An Introduction to the Theory of Numbers|날짜= 1979 |언어=en |출판사= Oxford Science Publications|쪽 = 20 |인용문 = "Two or more positive integers that have greatest common divisor 1 are said to be relatively prime to one another, often simply just referred to as being "relatively prime."}}</ref> 즉, 서로소인 정수들의 공약수는 ±1뿐이며,<ref>{{웹 인용 |제목=Relatively Prime |저자 = Weisstein, Eric W. |url=http://mathworld.wolfram.com/RelativelyPrime.html |언어=en |인용문= "Two integers are relatively prime if they share no common positive factors (divisors) except 1.}}</ref> 서로소인 다항식들의 공약수는 [[0차 다항식]]뿐이다. 서로소의 개념은 [[아이디얼]]의 경우에까지 확장할 수 있으며, 이는 정수와 다항식의 경우의 공통적인 일반화이다.

== 정의 ==
=== 정수의 경우 ===
정수 <math>n_1,n_2,\dots,n_k</math>가 <math>\gcd\{n_1,\dots,n_k\}=1</math>을 만족시키면, 이들이 '''서로소'''라고 한다. 특히 두 정수 <math>m,n</math>의 최대 공약수가 1이라면, 이 두 정수가 서로소라고 한다.

정수 <math>n_1,n_2,\dots,n_k</math>가 다음 조건을 만족시키면, 이들이 '''쌍마다 서로소'''(雙-素, {{llang|en|pairwise coprime}})라고 한다.
* 모든 서로 다른 두 정수의 쌍 <math>n_i\ne n_j</math>은 서로소이다.
쌍마다 서로소는 서로소보다 강한 개념이다.

=== 다항식의 경우 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 다항식 <math>p_1(x),\dots,p_k(x)\in K[x]</math>의 최대 공약수가 0차 다항식(즉, 1의 약수이자 1의 배수인 다항식)이라면, 이들이 '''서로소'''라고 한다. 모든 서로 다른 두 다항식의 쌍이 서로소라면, 이들이 '''쌍마다 서로소'''라고 한다.

=== 환의 원소의 경우 ===
[[정역]] <math>R</math>의 원소 <math>r_1,\dots,r_k\in R</math>의 최대 공약수가 [[가역원]](즉, 곱셈 항등원의 약수이자 배수인 원소)이라면, 이들이 '''서로소'''라고 한다. 모든 서로 다른 두 원소의 쌍이 서로소라면, 이들이 '''쌍마다 서로소'''라고 한다.

=== 아이디얼의 경우 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a_1,\dots,\mathfrak a_k\subset R</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''서로소'''라고 한다.
* <math>\mathfrak a_1+\cdots+\mathfrak a_k=R</math>. 즉, <math>r_1+\cdots+r_k=1_R</math>인 <math>r_i\in\mathfrak a_i</math>가 존재한다.
특히, 두 아이디얼 <math>\mathfrak a,\mathfrak b\subset R</math>가 <math>\mathfrak a+\mathfrak b=R</math>를 만족시키면 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 아이디얼의 쌍이 서로소라면, 이 아이디얼들이 '''쌍마다 서로소'''라고 한다.

== 성질 ==
=== 베주 항등식 ===
{{본문|베주 항등식}}
두 정수 <math>m,n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>m,n</math>은 서로소이다.
* <math>m,n</math>은 공통의 [[소인수]]를 갖지 않는다.
* ([[베주 항등식]]) <math>um+vn=1</math>인 정수 <math>u,v</math>가 존재한다.
* <math>(m),(n)\subset\mathbb Z</math>는 서로소이다.
두 다항식 <math>p(x),q(x)\in K[x]</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* <math>p(x),q(x)</math>는 서로소이다.
* <math>p(x),q(x)</math>는 공통의 [[기약 다항식]] 약수를 갖지 않는다.
* ([[베주 항등식]]) <math>u(x)p(x)+v(x)q(x)=1</math>인 <math>u(x),v(x)\in K[x]</math>가 존재한다.
* <math>(p(x)),(q(x))\subset K[x]</math>는 서로소이다.
보다 일반적으로, 환 <math>R</math> 및 그 두 원소 <math>a,b\in R</math>에 대하여, 만약 <math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* <math>a,b</math>는 서로소이다.
* <math>a,b</math>는 공통의 [[소 아이디얼|소원]] 약수를 갖지 않는다.
만약 <math>R</math>가 [[주 아이디얼 정역]]이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* <math>a,b</math>는 서로소이다.
* ([[베주 항등식]]) <math>ua+vb=1_R</math>인 <math>u,v\in R</math>가 존재한다.
* <math>(a),(b)\subset R</math>는 서로소이다.

=== 중국인의 나머지 정리 ===
{{본문|중국인의 나머지 정리}}
[[유사환]]의 쌍마다 서로소 아이디얼에 대하여 [[중국인의 나머지 정리]]가 성립한다. 정수나 다항식의 연립 합동 방정식의 해의 구조에 대한 명제는 이에 대한 특수한 경우이다.

=== 확률론적 성질 ===
두 정수가 서로소일 확률은
:<math>\frac6{\pi^2}=0.607927101854026628663276\dots</math>
이다.
{{proof}}
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 어떤 정수를 나눌 확률은 <math>1/p</math>이며, 어떤 두 정수를 나눌 확률은 <math>1/p^2</math>이다. 따라서 두 정수가 서로소일 확률은 이 둘을 모두 나누는 소수가 존재하지 않을 확률과 같으며, 이는 다음과 같다.
:<math>\prod_{p\in\mathbb P}\left(1-\frac1{p^2}\right)=\frac1{\displaystyle{\prod_{p\in\mathbb P}\frac1{1-p^{-2}}}}=\frac1{\zeta(2)}=\frac6{\pi^2}</math>
여기서 <math>\mathbb P</math>는 소수의 집합, <math>\zeta</math>는 [[리만 제타 함수]]이다.
{{end proof}}

== 같이 보기 ==
* [[기약분수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Mutually-prime numbers}}
* {{매스월드|id=RelativelyPrime|title=Relatively prime}}

{{전거 통제}}
{{토막글|수론}}

[[분류:수론]]