생성 집합 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''생성 집합'''(生成集合, {{llang|en|generating set}}, {{lang|en|separating set}})은 그 원소들의 [[쌍대곱]]의 [[몫 대상]]으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, [[범주 (수학)|범주]] 속의 대상 집합이다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상들의 집합 <math>\mathfrak G</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>\mathcal C</math>의 '''생성 집합'''이라고 한다.<ref name="AHS"/>{{rp|Definition 7.14}}
* 임의의 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>f\ne g</math>라면, <math>f\circ h\ne g\circ h</math>가 되는 대상 <math>G\in\mathfrak G</math> 및 사상 <math>h\colon G\to X</math>가 존재한다.
*:<math>G\overset{\exists h}\to X\underset g{\overset f\rightrightarrows}Y</math>

만약 <math>\mathcal C</math>가 [[국소적으로 작은 범주]]라면, 이는 다음 조건과 [[동치]]이다.
* 다음과 같은 함자는 [[충실한 함자]]이다.
*:<math>\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>
*:<math>\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon X\mapsto \prod_{G\in\mathfrak G}\hom(G,X)</math>
*:<math>\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon(X\overset f\to Y)\mapsto\left((h_G\colon G\to  X)_{G\in\mathfrak G}\mapsto(f\circ h_G\colon G\to Y)_{G\in\mathfrak G}\right)</math>

만약 <math>\mathcal C</math>가 [[국소적으로 작은 범주]]이자 모든 [[집합]] 크기의 [[쌍대곱]]을 가진다면, 이는 다음 조건과 [[동치]]이다.
* 모든 대상 <math>X\in\mathcal G</math>에 대하여, 다음과 같은 사상이 [[전사 사상]]이다.
*:<math>\pi=\coprod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom_{\mathcal C}(G,X)}h</math>
*:<math>\pi\colon\coprod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom(G,X)}G\to X</math>
다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 [[쌍대곱]]의 [[몫 대상]]과 동형이다.

만약 생성 집합 <math>\mathfrak G=\{G\}</math>가 [[한원소 집합]]이라면, <math>G</math>를 <math>\mathcal C</math>의 '''생성 대상'''({{llang|en|generating object}}, {{lang|en|generator}})이라고 한다.

위 개념을 모두 쌍대화하여 '''쌍대 생성 집합'''({{llang|en|cogenerating set}}, {{lang|en|coseparating set}})과 '''쌍대 생성 대상'''({{llang|en|cogenerating object}}, {{lang|en|cogenerator}}, {{lang|en|coseparator}})을 정의할 수 있다. [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상들의 집합 <math>\mathfrak G</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>\mathcal C</math>의 '''쌍대 생성 집합'''이라고 한다.<ref name="AHS"/>{{rp|Definition 7.16}}
* 임의의 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>f\ne g</math>라면, <math>h\circ f\ne h\circ g</math>가 되는 대상 <math>G\in\mathfrak G</math> 및 사상 <math>h\colon Y\to G</math>가 존재한다.
*:<math>X\underset g{\overset f\rightrightarrows}Y\overset{\exists h}\to G</math>

만약 <math>\mathcal C</math>가 [[국소적으로 작은 범주]]라면, 이는 다음 조건과 [[동치]]이다.
* 다음과 같은 함자는 [[충실한 함자]]이다.
*:<math>\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
*:<math>\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon X\mapsto\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(X,G)</math>
*:<math>\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon(X\overset f\to Y)\mapsto\left((h_G\colon Y\to G)_{G\in\mathfrak G}\mapsto(h_G\circ f\colon X\to G)_{G\in\mathfrak G}\right)</math>

만약 <math>\mathcal C</math>가 [[국소적으로 작은 범주]]이자 모든 [[집합]] 크기의 [[곱 (범주론)|곱]]을 가진다면, 이는 다음 조건과 [[동치]]이다.
* 모든 대상 <math>X\in\mathcal G</math>에 대하여, 다음과 같은 사상이 [[단사 사상]]이다.
*:<math>\pi=\prod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom_{\mathcal C}(X,\mathfrak G)}h</math>
*:<math>\pi\colon X\to\prod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom(X,G)}G</math>
다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 [[곱 (범주론)|곱]]의 [[부분 대상]]과 동형이다.

=== 대수 구조의 경우 ===
[[대수 구조 다양체]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal V</math>는 항상 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 [[오른쪽 수반 함자]]인 [[자유 대상]] 함자
:<math>\operatorname{Forget}\colon\mathcal V\rightleftarrows\operatorname{Set}\colon\operatorname{Free}</math>
를 생각하자. 이 경우, [[한원소 집합]] 위의 [[자유 대상]] <math>\operatorname{Free}(\{\bullet\})</math>은 항상 <math>\mathcal V</math>의 생성 대상을 이룬다. [[한원소 집합]] 위의 [[자유 대상]]의 [[쌍대곱]]은 더 큰 집합 위의 [[자유 대상]]이다. 즉, 모든 집합 <math>S</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\coprod_{s\in S}\operatorname{Free}(\{s\})\cong\operatorname{Free}(S)</math>
따라서, <math>\operatorname{Free}(\{\bullet\})</math>이 생성 대상이라는 것은 <math>\mathcal V</math>에 속하는 모든 대수는 [[자유 대수]]의 몫대수로 나타낼 수 있음을 뜻한다.

대수 <math>A</math>를 이와 같이 [[자유 대수]]의 몫대수로 나타내는 것을 <math>A</math>의 '''표시'''({{llang|en|presentation}})라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다.
:<math>A\cong\langle S|(t_1=t_2)_{(t_1,t_2)\in\sim}\rangle</math>
여기서
* <math>S</math>는 [[집합]]이다.
* <math>\sim</math>은 [[전사 사상]] <math>\operatorname{Free}(S)\to A</math>를 정의하는, <math>\operatorname{Free}(S)</math> 위의 [[합동 관계]]이다. 즉, <math>S</math>의 원소와 [[대수 구조 다양체]] <math>\mathcal V</math>의 연산들로 적을 수 있는 두 항 <math>t_1,t_2\in\operatorname{Free}(S)</math>에 대한 등식 <math>t_1=t_2</math>의 꼴로 적을 수 있다.
[[군의 표시]]는 대수 구조의 표시의 특수한 경우다.

반면, 일반적으로 [[대수 구조 다양체]]의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다.

== 예 ==
=== 집합 ===
[[집합]] <math>S</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[집합]]과 함수의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>의 생성 대상이다.
* [[공집합]]이 아니다.

[[집합]] <math>S</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="AHS">{{저널 인용|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17abs.html|제목=Abstract and concrete categories: the joy of cats |이름=Jiří |성= Adámek|이름2=Horst|성2=Herrlich|이름3=George|성3=Strecker|저널=Reprints in Theory and Applications of Categories|권=17|날짜=2006|쪽=1–507|zbl=1113.18001|언어=en}}</ref>{{rp|Example 7.18(1)}}
* [[집합]]과 함수의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>의 쌍대 생성 대상이다.
* [[공집합]]이나 [[한원소 집합]]이 아니다.

=== 위상 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>는 [[국소적으로 작은 범주]]이며, [[완비 범주]]이며, [[쌍대 완비 범주]]이다. 이 범주에서 [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>은 생성 대상이다. 구체적으로, 한원소 공간들의 [[쌍대곱]]은 [[이산 공간]]이며, 임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여 <math>X</math> 위에 [[이산 위상]]을 부여한 공간 <math>\operatorname{Disc}(\operatorname{Points}(X))</math>을 정의한다면, [[수반 함자]]
:<math>\operatorname{Points}\colon\operatorname{Top}\rightleftarrows\operatorname{Set}\colon\operatorname{Disc}</math>
의 쌍대단위원
:<math>\eta\colon\operatorname{Disc}\circ\operatorname{Points}\Rightarrow\operatorname{Id}_{\operatorname{Top}}</math>
은 [[연속 함수]]
:<math>\eta_X\colon\operatorname{Disc}(\operatorname{Points}(X))\to X</math>
를 정의하며, 이는 ([[전단사 함수]]이므로) [[전사 사상]]이자 [[단사 사상]]이다. 즉, 모든 위상 공간은 [[이산 공간]]의 범주론적 [[몫 대상]]으로 나타낼 수 있다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="AHS"/>{{rp|Example 7.18(4)}}
* 위상 공간의 범주의 쌍대 생성 대상이다.
* [[콜모고로프 공간]]이 아니다.

=== 가군 ===
모든 [[환 (수학)|환]]은 1을 가지며, 모든 [[가군]]은 1을 보존한다고 하자.

환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]]의 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math>는 [[대수 구조 다양체]]의 범주이므로, [[한원소 집합]] 위의 [[자유 가군]] <math>_RR</math>는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로, <math>R_R</math>는 [[오른쪽 가군]]의 범주 <math>\operatorname{Mod}_R</math>의 생성 대상을 이룬다.

환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]]의 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math>는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환 <math>R</math>의 모든 왼쪽 [[단순 가군]](=[[극대 왼쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak M</math>에 대한 <math>_RR</math>의 몫가군 <math>R/\mathfrak M</math>)들의 (동형류의) [[단사 껍질]]들의 직합
:<math>\bigoplus_{_R\mathfrak M}{}E(_RR/\mathfrak M)</math>
을 <math>_R\operatorname{Mod}</math>의 '''표준 쌍대 생성 가군'''({{llang|en|canonical cogenerator}})이라고 하며, 이는 <math>_R\operatorname{Mod}</math>의 쌍대 생성 대상을 이룬다.<ref name="Lam"/>{{rp|508, Theorem 19.10}} 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다.

일반적으로, [[자유 가군]] <math>_RR</math>는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환 <math>R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|514, Theorem (19.25)}}
* 모든 [[충실한 가군|충실한]] <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]은 <math>_R\operatorname{Mod}</math>의 쌍대 생성 대상이다.
* <math>_RR</math>는 [[단사 가군]]이며 [[유한 쌍대 생성 가군]]이다.
* <math>_RR</math>는 [[단사 가군]]이며, <math>R</math>의 모든 왼쪽 [[단순 가군]]은 [[왼쪽 아이디얼]]과 동형이다. (즉, 왼쪽 카슈 환({{llang|en|left Kasch ring}})이다.)
* <math>_RR</math>는 <math>_R\operatorname{Mod}</math>의 쌍대 생성 대상이며, <math>R</math>의 모든 오른쪽 [[단순 가군]]은 [[오른쪽 아이디얼]]과 동형이다. (즉, <math>R</math>는 오른쪽 카슈 환이다.)
* <math>_RR</math>는 <math>_R\operatorname{Mod}</math>의 쌍대 생성 대상이며, 오른쪽 [[단순 가군]]의 [[동형류]]의 수는 유한하다.
이 조건을 만족시키는 환을 '''왼쪽 유사 프로베니우스 환'''({{llang|en|left pseudo-Frobenius ring}})이라고 한다.

=== 아벨 군 ===
[[아벨 군]]의 개념은 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 가군과 같다. 이 경우 [[단순 가군]]은 소수 크기의 [[순환군]] <math>\mathbb Z/p</math>이며, 그 [[단사 껍질]]은 [[프뤼퍼 군]] <math>\mathbb Z(p^\infty)</math>이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 [[직합]]인 [[나눗셈군]]
:<math>\mathbb Q/\mathbb Z=\bigoplus_p\mathbb Z(p^\infty)</math>
이다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|509, Example (19.11)(1)}} 즉, 모든 아벨 군 <math>G</math>는 [[직접곱]]
:<math>\prod_{|G|}(\mathbb Q/\mathbb Z)</math>

보다 일반적으로, 임의의 [[데데킨트 정역]] <math>D</math>에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 [[분수체]]의 [[몫가군]] <math>(\operatorname{Frac}D)/D</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|509, Example (19.11)(1)}}

=== (쌍대) 생성 집합이 없는 범주 ===
범주 <math>\operatorname{Set}\times\operatorname{Set}</math>는 생성 대상을 갖지 않는다. 그러나
:<math>\left\{(\{\bullet\},\varnothing),(\varnothing,\{\bullet\})\right\}</math>
는 <math>\operatorname{Set}\times\operatorname{Set}</math> 생성 집합을 이룬다.<ref name="AHS"/>{{rp|Example 7.15(3)}}

다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.<ref name="AHS"/>{{rp|Example 7.18(8)}}
* 군의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>. ([[단순군]]의 [[집합의 크기|크기]]는 상한을 갖지 않는다.)
* [[환 (수학)|환]]의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>. ([[단순환]], 특히 [[체 (수학)|체]]의 [[집합의 크기|크기]]는 상한을 갖지 않는다.)
* [[하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{HausTop}</math>

== 같이 보기 ==
* [[생성함수 (수학)]]
* [[대칭 (물리학)]]
* [[입자물리학]]
* [[초대칭]]
* [[게이지 이론]]
* [[장 (물리학)]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Generator of a category}}
* {{nlab|id=separator|title=Separator}}
* {{nlab|id=cogenerator|title=Cogenerator}}
* {{nlab|id=generators and relations|title=Generators and relations}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/38080/what-are-examples-of-cogenerators-in-r-mod|제목=
What are examples of cogenerators in R-mod?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:범주론]]