샌드위치 정리 문서 원본 보기

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'''샌드위치 정리'''(-定理, {{llang|en|sandwich theorem, pinching theorem, squeeze theorem}})는 [[함수의 극한]]에 관한 [[정리]]이다. [[미적분학]]과 [[해석학 (수학)|해석학]]에서 널리 쓰인다. 이 정리에 따르면, 두 함수가 어떤 점에서 같은 극한을 갖고, 어떤 함수가 두 함수 사이에서 값을 가지면, 그 함수도 똑같은 값의 극한을 가진다. '''압착 정리'''(壓搾定理), '''스퀴즈 정리''', '''조임 정리'''로도 불린다.

== 역사 ==
샌드위치 정리를 최초로 사용한 수학자는 [[아르키메데스]]와 [[에우독소스]]로, 이들은 [[원주율]]을 기하학적으로 구하는 데에 이 방법을 사용했다.

샌드위치 정리의 현대적 증명은 [[카를 프리드리히 가우스]]에 의해 이루어졌다.

== 내용 ==
=== 수열 ===
수열 <math>\{a_n\}</math>, <math>\{b_n\}</math>, <math>\{c_n\}</math>에 대하여, 충분히 큰 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>a_n \leq c_n \leq b_n</math>이고 <math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = L</math>이면, <math>\lim_{n \to \infty} c_n = L</math>이다.

=== 함수 ===
함수 <math>f,g,h</math>에 대하여, <math>a</math>에 충분히 가까운 모든 <math>x</math>에 대해 <math>f(x) \leq h(x) \leq g(x)</math>이고 <math>\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L</math>이면, <math>\lim_{x \to a} h(x) = L</math>이다.

== 증명 ==
아래는 함수에 관한 명제의 증명이다. 수열에 관한 명제도 이와 비슷하게 증명 가능하다.<ref>{{서적 인용 |language=en |isbn=0-495-38362-7 |제목=Calculus(Metric International Version, 6th Edition) |성1=Stewart |이름1=James |출판사=Brooks/Cole, Cengage Learning |연도=2009}}</ref>

모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대하여

:<math>0<|x-a|<\delta_1\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon\Rightarrow L-\epsilon<f(x)</math>
:<math>0<|x-a|<\delta_2\Rightarrow|g(x)-L|<\epsilon\Rightarrow g(x)<L+\epsilon</math>

를 만족하는 양의 실수 <math>\delta_1,~\delta_2</math>가 존재한다.

또한 전제조건에 의해

:<math>0<|x-a|<\delta_0\Rightarrow f(x)\le h(x)\le g(x)</math>

를 만족하는 양의 실수 <math>\delta_0</math>이 존재한다.

<math>\delta</math>를 <math>\min(\delta_0,\delta_1,\delta_2)</math>로 잡으면,

:<math>\begin{array}{rcl}
0<|x-a|<\delta & \Rightarrow & 0<|x-a|<\delta_i,\ i=0,1,2 \\
& \Rightarrow & L-\epsilon<f(x)\le h(x)\le g(x)<L+\epsilon \\
& \Rightarrow & |h(x)-L|<\epsilon
\end{array}</math>

이다.

정리하면 모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대하여 <math>0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| h(x)-L\right| <\epsilon</math>를 만족하는 양의 실수 <math>\delta</math>가 존재한다. 그러므로 극한의 정의에 의하여 <math>\lim_{x\to a}h(x)=L</math>이다.

== 예 ==
[[파일:Squeeze theorem example.svg|섬네일|오른쪽|250px|샌드위치 정리의 예]]

=== 예 1 ===
극한

:<math>\lim_{x\to 0}x^2\sin\frac1x</math>

은 샌드위치 정리에 의해 0이다. 이는 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

:<math>-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2</math>

더 나아가, 임의의 [[무한소]](즉 0을 극한으로 하는 함수)와 [[유계 함수]]의 곱은 여전히 무한소이다.

=== 예 2 ===
:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1</math>

이는 임의의 <math>x\in(-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2})</math>에 대해 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

:<math>\cos x<\frac{\sin x}{x}<1</math>

=== 예 3 ===
:<math>\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+\cdots+\frac{n}{n^2+n})=\frac12</math>

이는 다음과 같은 분석을 통해 얻어진다.

:<math>\begin{array}{cl}
  & \frac12 \\
= & \frac{1}{n^2+n}+\frac{2}{n^2+n}+\frac{3}{n^2+n}+\cdots+\frac{n}{n^2+n} \\
< & \frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+\cdots+\frac{n}{n^2+n} \\
< & \frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\frac{3}{n^2+1}+\cdots+\frac{n}{n^2+1} \\
= & \frac{n^2+n}{2n^2+2}
\end{array}</math>

양끝의 수열이 모두 <math>\frac12</math>로 수렴하므로 사이에 끼인 수열도 같은 값으로 수렴한다.

=== 예 4 ===
:<math>\left(\max_{1\le i\le n}a_i\right)^p \le a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p \le n\left(\max_{1\le i\le n}a_i\right)^p</math>

이므로

:<math>\left(\frac1n\right)^{\frac1p}\max_{1\le i\le n}a_i \le \left(\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p}{n}\right)^{\frac1p} \le \max_{1\le i\le n}a_i</math>

또한 극한

:<math>\lim_{p\to\infty}\left(\frac1n\right)^{\frac1p}</math>

의 값이 1임에 따라 부등식 양 옆의 함수의 극한은 모두 <math>\max_{1\le i\le n}a_i</math>이다. 따라서 다음의 극한이 있다. ([[멱평균]] 참고)

:<math>\lim_{p\to\infty}\left(\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p}{n}\right)^{\frac1p}=\max_{1\le i\le n}a_i</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{매스월드|id=SqueezingTheorem|title=Squeezing Theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:극한]]
[[분류:실해석학 정리]]