상한과 하한 문서 원본 보기

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[[파일:Supremum illustration.png|섬네일|집합 <math>A</math>의 모든 원소가 파란색으로 표시되어 있다. 임의의 빨간색 원소는 모든 파란색 원소보다 크거나 같고, 그 중에서 가장 작은 빨간색 값(다이아몬드)이 최소 상계가 된다.]]
[[순서론]]에서, 어떤 [[집합]] ''T''의 [[부분 집합]] ''S''에 대해 ''S''의 '''상한'''(上限, {{llang|en|supremum|슈프리멈}}) 또는 '''최소 상계'''(最小上界, {{llang|en|least upper bound}}, LUB)는 ''T''의 원소 중 ''S''의 모든 원소보다 큰 최소의 원소 (최소 [[유계 집합#부분 순서 집합에서의 유계 집합|상계]])를 말한다. 마찬가지로, '''하한'''(下限, {{llang|en|infimum|인파이멈}}) 또는 '''최대 하계'''(最大下界, {{llang|en|greatest lower bound}}, GLB)는 ''T''의 원소 중 ''S''의 모든 원소보다 작은 최대의 원소 (최대 [[유계 집합#부분 순서 집합에서의 유계 집합|하계]])를 말한다.

== 정의 ==
=== 상계와 하계 ===
[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset P</math>의 '''상계'''(上界, {{llang|en|upper bound}}) <math>p\in P</math>는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.
* 모든 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>s\lesssim p</math>이다.
[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset P</math>의 '''하계'''(下界, {{llang|en|lower bound}}) <math>p\in P</math>는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.
* 모든 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>s\gtrsim p</math>이다.

=== 상한과 하한 ===
[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset P</math>의 '''상한''' <math>s\in P</math>는 다음 두 성질을 만족시키는 원소이다.
* <math>S</math>의 상계이다.
* 모든 <math>p\in P</math>에 대하여, 만약 <math>p</math>가 <math>S</math>의 상계라면, <math>p\gtrsim s</math>이다.
[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset P</math>의 '''하한''' <math>i\in P</math>는 다음 두 성질을 만족시키는 원소이다.
* <math>S</math>의 하계이다.
* 모든 <math>p\in P</math>에 대하여, 만약 <math>p</math>가 <math>S</math>의 하계라면, <math>i\gtrsim p</math>이다.
즉, 어떤 집합의 상한은 그 상계들의 집합의 [[최소 원소]]이며, 하한은 그 하계들의 집합의 [[최대 원소]]이다.

모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 [[부분 순서 집합]]을 '''[[완비 격자]]'''라고 한다.

== 성질 ==
임의의 [[원순서 집합]]에서, 정의에 따라, [[공집합]] <math>\varnothing\subseteq P</math>의 상한은 (만약 존재한다면) <math>P</math>의 [[최소 원소]]이며, [[공집합]] <math>\varnothing\subseteq P</math>의 하한은 (만약 존재한다면) <math>P</math>의 [[최대 원소]]이다.

=== 유일성 ===
원순서 집합의 [[최소 원소]]들은 서로 동치이며, 따라서 어떤 집합의 상한의 [[동치류]]는 (만약 존재한다면) 유일하다. 이는 하한도 마찬가지다.

만약 <math>P</math>가 [[부분 순서 집합]]이라면, [[최소 원소]] 및 [[최대 원소]]는 유일하며, 이 경우 어떤 집합의 상한 또는 하한은 만약 존재한다면 유일하다. 이 경우 집합 <math>S</math>의 상한은 <math>\sup S</math> 또는 <math>\textstyle\bigvee S</math>로, 하한은 <math>\inf S</math> 또는 <math>\textstyle\bigwedge S</math>로 쓴다.

=== 존재 ===
[[부분 순서 집합]]의 [[부분 집합]] <math>S</math>가 [[최대 원소]] <math>\max S</math>를 갖는다면, 이 집합은 상한을 가지며, <math>\sup S=\max S</math>이다. 마찬가지로, 만약 최소 원소가 존재한다면 하한이 존재하며, 최소 원소와 하한은 같다.

== 예 ==
[[실수]]의 [[전순서 집합]]에서, 모든 [[유계 집합]]은 상한과 하한을 갖는다. 반대로, 모든 유계 집합이 상한과 하한을 갖는 [[순서체]]는 실수체밖에 없다.

[[확장된 실수]]의 [[전순서 집합]] <math>\bar{\mathbb R}=\mathbb R\sqcup\{-\infty,+\infty\}</math>의 경우, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다. 유계가 아닌 실수 집합의 상한·하한은 확장된 실수 집합으로서의 상한·하한을 말하는 것이다. 즉, 상계가 없는 실수 집합의 상한은 <math>+\infty</math>, 하계가 없는 실수 집합의 하한은 <math>-\infty</math>이다.

실수의 부분 집합으로서, 열린 구간 <math>(0,1)</math>은 상한 <math>1</math>을 갖지만, 최대 원소를 갖지 않는다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Upper and lower bounds}}
* {{매스월드|id=Supremum|title=Supremum}}
* {{매스월드|id=Infimum|title=Infimum}}
* {{매스월드|id=UpperBound|title=Upper bound}}
* {{매스월드|id=LowerBound|title=Lower bound}}
* {{매스월드|id=LeastUpperBound|title=Least upper bound}}
* {{매스월드|id=GreatestLowerBound|title=Greatest lower bound}}
* {{매스월드|id=BoundedfromAbove|title=Bounded from above}}
* {{매스월드|id=BoundedfromBelow|title=Bounded from below}}

== 같이 보기 ==
* [[유계 집합]]
* [[극대 원소와 극소 원소]]
* [[상한공리]]

[[분류:순서론]]
[[분류:실해석학]]