상수 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''상수 함수'''(常數函數, {{llang|en|constant function}})는 [[정의역]]의 값에 관계없이 항상 같은 값을 갖는 [[함수]]를 말한다. 예를 들어, 함수 <math>f(x) = 3</math>은 <math>x</math>의 값이 무엇이든 항상 3이라는 값을 갖는다.

== 정의 ==
[[정의역]] <math>X</math>와 [[공역]] <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수 <math>f</math>를 '''상수 함수'''라고 한다.
* 임의의 <math>x,x'\in X</math>에 대하여 <math>f(x)=f(x')</math>이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>f(x)=y</math>가 되는 <math>y\in Y</math>가 존재하며, <math>y</math>는 <math>x</math>에 의존하지 않는다.
* <math>X</math>가 [[공집합]]이거나, 또는 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>f(x)=y</math>가 되는, <math>x</math>에 의존하지 않는 <math>y\in Y</math>가 유일하게 존재한다.
* <math>X</math>에 [[비이산 위상]]을 부여하고, <math>Y</math>에 [[이산 위상]]을 부여하였을 때, <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.

[[정의역]] <math>X</math>와 [[공역]] <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하고, 정의역 <math>X</math>에 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수 <math>f</math>를 '''국소 상수 함수'''(局所常數函數, {{llang|en|locally constant function}})라고 한다.
* 만약 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f|_U</math>가 상수 함수가 되는 [[근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다.
* <math>Y</math>에 [[이산 위상]]을 부여하였을 때, <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.

=== 상수 사상 ===
상수 함수의 개념을 [[집합]]의 범주에서 임의의 [[범주 (수학)|범주]]로 일반화할 수 있다.

[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에서, [[사상 (수학)|사상]] <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면 '''상수 사상'''({{llang|en|constant morphism}})이라고 한다.
* 임의의 대상 <math>W\in\mathcal C</math> 및 사상 <math>g,h\colon W\to X</math>에 대하여, <math>f\circ g=f\circ h</math>. 즉, 다음 그림이 가환한다.
*:<math>\begin{matrix}
W&\xrightarrow h&X\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\
X&\xrightarrow[f]{}&Y
\end{matrix}</math>
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에서, 사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면 '''쌍대 상수 사상'''({{llang|en|coconstant morphism}})이라고 한다.
* 임의의 대상 <math>W\in\mathcal C</math> 및 사상 <math>g,h\colon X\to W</math>에 대하여, <math>g\circ f=h\circ f</math>. 즉, 다음 그림이 가환한다.
*:<math>\begin{matrix}
W&\xleftarrow h&X\\
{\scriptstyle g}\uparrow&&\uparrow\scriptstyle f\\
X&\xleftarrow[f]{}&Y
\end{matrix}</math>
상수 사상이자 쌍대 상수 사상인 사상을 '''영 사상'''({{llang|en|zero morphism}})이라고 한다.

범주 <math>\mathcal C</math> 속의 임의의 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math>에 대하여 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 <math>0_{XY}\colon X\to Y</math>가 존재한다면, <math>\mathcal C</math>를
[[파일:Wiki constant function 175 200.png|thumb]]
'''영 사상을 갖는 범주'''({{llang|en|category with zero morphisms}})라고 한다.
* 임의의 대상 <math>X,Y,Z\in\mathcal C</math> 및 사상 <math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ</math>에 대하여,
*:<math>\begin{matrix}
X&\xrightarrow{0_{XY}}&Y\\
{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow\scriptstyle 0_{XZ}&\downarrow\scriptstyle f\\
Y&\xrightarrow[0_{YZ}]{}&Z
\end{matrix}</math>
이 경우, <math>0_{XY}</math>들은 항상 영 사상을 이루며, 또한 주어진 범주가 영 대상을 갖는 범주라면 그 위의 <math>0_{XY}</math>들의 집합은 유일하다. 영 사상을 갖는 범주의 개념은 [[점을 가진 집합]]의 ([[분쇄곱]]을 통한) [[모노이드 범주]] 위의 [[풍성한 범주]]의 개념과 일치하며, 두 대상 사이의 영 사상은 점을 가진 사상 집합의 점과 같다.

== 성질 ==
두 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to\mathbb R</math>는 미분을 취할 수 있다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>의 [[도함수]] <math>Df</math>는 어디서나 0이다.
* <math>f</math>는 상수 함수이다.

상수 함수는 (정의역에 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상]]에 상관없이) 국소 상수 함수이다. 또한, 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* <math>X</math>는 상수 함수이다.
* <math>X</math>에 [[비이산 위상]]을 부여하였을 때, <math>X</math>는 국소 상수 함수이다.
* <math>X</math>에 임의의 위상을 부여하였을 때, <math>X</math>는 국소 상수 함수이다.
즉, 국소 상수 함수의 개념은 상수 함수의 개념의 일반화이다.

위상 공간 <math>X</math> 위의 국소 상수 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math>의 모든 [[연결 성분]] <math>X_0</math>에 대하여, <math>f|_{X_0}</math>는 상수 함수이다. 만약 <math>X</math>가 [[국소 연결 공간]]이라면 연결 성분이 [[열린집합]]을 이루며, 따라서 임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 국소 상수 함수이다.
* <math>X</math>의 임의의 연결 성분 <math>X_0\subset X</math>에 대하여, <math>f|_{X_0}</math>는 상수 함수이다.

=== 국소 상수 함수의 층 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위에, 실수 값의 상수 함수들의 [[준층]]을 정의할 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 층이 아니며, 그 [[층화]]는 실수 값의 국소 상수 함수들의 [[층 (수학)|층]]이다.

=== 상수 사상의 존재 ===
[[끝 대상]] <math>1</math>을 갖는 범주에서, 상수 사상은 <math>X\to1\to Y</math>의 꼴의 사상들이다. [[시작 대상]] <math>0</math>을 갖는 범주에서, 쌍대 상수 사상은 <math>X\to0\to Y</math>의 꼴의 사상들이다.

[[영 대상]]을 갖는 범주는 영 사상을 갖는 범주를 이룬다. 이 경우, 두 대상 <math>X,Y</math> 사이의 사상은 [[영 대상]]을 통하는 유일한 사상
:<math>X\to 0\to Y</math>
이다.

== 예 ==
정의역이 [[이산 공간]]인 모든 함수는 국소 상수 함수이다.

[[공역]]이 [[한원소 집합]]이거나 [[공집합]]인 모든 함수는 상수 함수이다. [[정의역]]이 [[한원소 집합]]이거나 [[공집합]]인 모든 함수는 상수 함수이다.

=== 상수 사상의 예 ===
집합의 범주에서, 상수 사상은 상수 함수이다. 집합의 범주에서 쌍대 상수 사상은 [[공집합]]을 [[정의역]]으로 하는 함수이다.

[[군 (수학)|군]]의 범주에서, 상수 사상 · 쌍대 상수 사상 · 영 사상의 개념이 일치하며, 이는 [[상 (수학)|상]]이 항등원 1인 [[상수 함수]]이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]]들의 범주 <math>R\text{-Mod}</math>는 [[영 대상]]을 갖는 범주이며 따라서 영 사상을 갖는다. <math>R\text{-Mod}</math>에서 영 사상은 0(가군 덧셈의 항등원)으로 가는 상수 함수이다. 가군 범주에서 상수 함수인 준동형은 영 사상밖에 없다.

== 같이 보기 ==
* [[상수층]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=ConstantFunction|title=Constant function}}
* {{매스월드|id=ConstantMap|title=Constant map}}
* {{매스월드|id=ZeroMap|title=Zero map}}
* {{nlab|id=constant map|title=Constant map}}
* {{nlab|id=locally constant function|title=Locally constant function}}
* {{nlab|id=zero function|title=Zero function}}
* {{nlab|id=constant morphism|title=Constant morphism}}
* {{nlab|id=constant functor|title=Constant functor}}

{{집합론}}

[[분류:초등 수학]]
[[분류:함수의 종류]]
[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:다항식]]