상반방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
대수학에서, 임의의 <math>n</math>차 [[다항식]] <math>p</math> 와 그것의 상반다항식 <math>p*</math>은 다음과 같다.<ref>Roman, Steven (1995), Field Theory,pg.37, New York: Springer-Verlag, {{ISBN|0-387-94408-7}}</ref>
:<math>p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n, \,\!</math>
: <math>p^*(x) = a_n + a_{n-1}x + \cdots + a_0x^n = x^n p(x^{-1}).</math>
상반방정식은 임의의 다항식과 그 다항식의 상반다항식이 같은 자기상반다항식(self-reciprocal polynomial)이다.<ref>[[w:Reciprocal polynomial#Palindromic and antipalindromic polynomial|Reciprocal polynomial]]</ref>
:<math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + a_{n-3}x + a_0 = 0   </math>일때,
:<math>a_i = a_{n-i}</math>이다.
따라서, '''상반방정식'''(Reciprocal polynomial,symmetrical equation)이란 [[다항 방정식]]의 계수의 모양이 대칭적으로 나열되어 있는 것을 말하게 된다.

최고차항의 차수가 기수(홀수)인지, 우수(짝수)인지에 따라 풀이방식을 달리한다.

== 해법 ==
=== 짝수차 상반방정식(우수차 상반방정식) ===
짝수차 상반방정식은, 최고차수가 짝수인 상반방정식을 말한다.

예) :<math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0   </math>

양변을 중앙항으로 나눈다. 그러면
:<math>ax^2 + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^2} = 0   </math>
이런 형태로 된다.
:<math>a(x^2 + \frac{1}{x^2}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0   </math>
둘씩 묶어서 <math>x+\frac{1}{x}</math>의 형태로 정리하면
:<math>a((x + \frac{1}{x})^2 - 2) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0   </math>
가 된다.
이 때 <math>X = x + \frac{1}{x}  </math>으로 치환해주면
:<math>aX^2 + bX + (c - 2a) = 0   </math>
이다. 이 <math>X</math>를 이차방정식의 근의 공식에 대입하면
:<math>X = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4a(c-2a)\ }}{2a}  </math>
이 되는데, 이것은 <math>X</math>에 대한 풀이이므로 <math>X = x + \frac{1}{x}  </math>에 대입하면 <math>x</math>의 해를 알 수 있다.

=== 홀수차 상반방정식(기수차 상반방정식) ===
홀수차 상반방정식은, 최고차항이 홀수인 상반방정식을 말한다.

예) :<math>ax^5 + bx^4 + cx^3 + cx^2 + bx + a = 0   </math>

이 식은 먼저 하나의 해는 <math>-1</math>임을 가정한다.
: <math>-1</math>이 나올 수 있는 인수는 <math>(x+1)</math>이므로 [[조립제법]]이나 [[다항식의 나눗셈]]을 통해 남는 인수를 알아낸다.

조립제법을 이용하면 방정식은 차수가 내려가게 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.
:<math>ax^4+(-a+b)x^3+(a-b+c)x^2+(-a+b)x+a =0  </math>

=== 준상반방정식 ===
준상반방정식은, 상반방정식이 아닌 것처럼 보이지만 실제적으로는 상반방정식의 해법을 응용하여 풀 수 있는 방정식으로, 이 방정식의 형태는
:<math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + bmx + am^2 = 0   </math>
과 같이 중앙항의 바로 다음 항부터는 같은 수인 m을 곱하여 나타낸 것이다. 이 경우에는 상반방정식에서는 <math>x + \frac{1}{x}  </math>을 치환하던 것을 바꾸어 <math>x + \frac{m}{x}  </math>을 치환해서 풀면 된다.

==상반다항식 급수 곱==
[[급수 (수학)|급수]] 곱의 표현
:<math>\left(\sum_{n=0}^{n} {x^n}  \right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{n-1} {x^n}\right) =</math> 홀수차 상반방정식
:<math>\left(\sum_{n=0}^{n} {x^n}  \right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{n} {x^n}\right) =</math> 짝수차 상반방정식

상반다항식 [[급수 (수학)|급수]]곱의 예
:<math>\left(\sum_{n=0}^{3} {x^n}  \right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{3-1} {x^n}\right) </math>

2개의 수렴하는 수열의 곱 <math>(x^3,x^2,x^1,x^0)\cdot(x^2,x^1,x^0)</math>에서
:<math>(x^3+x^2+x^1+x^0)\cdot(x^2+x^1+x^0)</math>
:<math>= x^3(x^2+x^1+x^0)+x^2(x^2+x^1+x^0)+x^1(x^2+x^1+x^0)+x^0(x^2+x^1+x^0)</math>
:<math>= x^3(x^2+x^1+1)+x^2(x^2+x^1+1)+x^1(x^2+x^1+1)+1(x^2+x^1+1)</math>
:<math>= (x^5+x^4+x^3)+(x^4+x^3+x^2)+(x^3+x^2+x^1)+(x^2+x^1+1) </math>
:<math>= x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x^1+1 \qquad\qquad </math> ([[5차 방정식]]중 상반방정식)

== 같이 보기 ==
* [[5차 방정식]]
* [[다항방정식]]

== 각주 ==
{{각주}}
*김주영,1993 방정식에 관한 수학사적 고찰
*연세대 교육대학원 석사학위 논문,pp32–37,채순향,1998
*방정식의 풀이 방벙에 관한 연구, 전남대 교육대학원 석사학위 논문,pp4–5
{{토막글|수학}}

[[분류:방정식]]
[[분류:다항식]]