상대 호몰로지 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''상대 호몰로지'''({{lang|en|relative homology}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 어떤 부분공간에 대하여 [[사슬 복합체]]의 몫을 취하여 얻은 [[특이 호몰로지]]다.

== 정의 ==
<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이고, <math>A\subset X</math>가 그 부분공간이라고 하자. 그렇다면 그 [[사슬 복합체]]에 대하여 다음과 같은 [[벡터 공간]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to C_\bullet(A)\to C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)/C_\bullet(A)\to0</math>.
[[몫공간]] <math>C_\bullet(X)/C_\bullet(A)</math>의 원소를 '''상대 사슬'''({{lang|en|relative chain}})이라고 한다.

<math>C_\bullet(X)</math>에 대한 경계 연산자 <math>\partial</math>은 <math>C_\bullet(A)</math>를 보존한다. 따라서 <math>C_\bullet(X)/C_\bullet(A)</math>의 경계를 정의할 수 있다. 이에 따라 <math>C_\bullet(X)/C_\bullet(A)</math>는 사슬 복합체를 이루며, 그 [[호몰로지]]를 '''상대 호몰로지''' <math>H_\bullet(X,A)</math>라고 한다.

== 성질 ==
(통상적인) [[특이 호몰로지]]를 <math>H_n(X)</math>라고 하면, <math>H_n(X,\varnothing)=H_n(X)</math>이다. 즉, 통상적인 특이 호몰로지는 상대 호몰로지의 특수한 경우다.

=== 절단 정리 ===
<math>U\subset A</math>가 <math>\operatorname{cl}U\subset\operatorname{int}(A)</math>를 만족한다고 하자. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[닫힘 (위상수학)|닫힘]]이고, <math>\operatorname{int}</math>는 [[내부 (위상수학)|내부]]이다. 그렇다면 <math>H_\bullet(X,A)=H_\bullet(X\setminus U,A\setminus U)</math>이다. 이를 '''절단 정리'''({{lang|en|excision theorem}})이라고 한다.

나아가, <math>(X,A)</math>가 위상수학적으로 비교적 정상적인 경우 보통 <math>H_\bullet(X,A)=H_\bullet(X/A)</math>이다.
=== 상대 호몰로지의 긴 완전열 ===
[[지그재그 보조정리]]({{lang|en|zigzag lemma}})를 사용하여, 다음과 같은 [[완전열]]을 정의할 수 있다.
:<math>\cdots\to H_n(A)\xrightarrow{i_*}H_n(X)\xrightarrow{j_*}H_n(X,A)\xrightarrow{\partial_*}H_{n-1}(A)\to\cdots</math>.
여기서 <math>i_*</math>와 <math>j_*</math>는 짧은 완전열의 사상들
:<math>0\to C_\bullet(A)\xrightarrow i C_\bullet(X)\xrightarrow j C_\bullet(X,A)\to0</math>
의 펑터 <math>H_n</math>에 대한 [[상 (수학)|상]]이다. <math>\partial_*</math>는 지그재그 보조정리에 의하여 정의되는 사상이다. 즉, 상대 호몰로지 <math>H_n(X,A)</math>의 경계는 <math>H_{n-1}(A)</math>에 속한다.

== 에일렌베르크-스틴로드 공리 ==
{{본문|에일렌베르크-스틴로드 공리}}
상대 호몰로지는 [[에일렌베르크-스틴로드 공리]]라는 [[공리계]]를 따른다.

== 같이 보기 ==
* [[마이어-피토리스 열]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Hatcher|이름=Allen|제목=Algebraic topology|출판사=Cambridge University Press|연도=2002|ISBN=0-521-79540-0|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 이론]]