상극한과 하극한 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Lim sup example 5.png|right|섬네일|300px|수열의 상극한과 하극한. 파란 선은 수열 <math>x_n</math>이고, 두 빨간 곡선은 수열의 경계이며 <math>x_n</math>의 상극한과 하극한(검은 선)으로 수렴한다.]]
[[수학]]에서, [[수열]]의 '''상극한'''(上極限, {{llang|en|limit superior}})과 '''하극한'''(下極限, {{llang|en|limit inferior}})은 간단히 말하면 일종의 수열의 경계의 극한이다. [[함수]]의 상극한과 하극한도 이와 비슷하다. [[집합]]의 [[극한점]]의 [[상한]]·[[하한]]으로 생각할 수도 있다. 상극한의 기호는 <math>\limsup</math> 또는 <math>\varlimsup</math>이며, 하극한의 기호는 <math>\liminf</math> 또는 <math>\varliminf</math>이다.

== 정의 ==
상극한과 하극한은 기본적으로 [[부분 순서]]를 갖춘 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 속의 [[점렬]] 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. [[위상수학]]에서, [[점렬]]의 개념은 [[그물 (수학)|그물]]과 [[필터 (수학)|필터]](또는 [[필터 기저]])로 일반화된다. [[필터 (수학)|필터]]는 [[집합족]]의 일종이며, 상극한·하극한의 개념은 임의의 [[집합족]]에 대하여 일반화된다.

또한, 임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math> 및 임의의 점 <math>x_0\in X</math>가 주어졌을 때, <math>f</math>가 <math>x_0</math>의 [[근방]]에서 취하는 값들의 [[집합족]]을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수 <math>f</math>의, 특정한 점 <math>x_0\in X</math>에서의 상극한·하극한을 정의할 수 있다.

=== 집합족 ===
<math>Y</math>가 [[완비 격자]]라고 하자. <math>Y</math> 속의 [[집합족]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(Y)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>Y</math>의 [[부분 집합]]
:<math>\{\sup B\colon B\in\mathcal B\}</math>
:<math>\{\inf B\colon B\in\mathcal B\}</math>
을 정의할 수 있다. 만약 <math>\mathcal B</math>가 [[하향 원순서 집합|하향 집합족]]라면 이들 역시 [[하향 원순서 집합|하향 집합]]이며, 만약 <math>\mathcal B</math>가 [[상집합]]이라면 이들 역시 [[상집합]]이다. 즉, 만약 <math>\mathcal B</math>가 [[필터 (수학)|필터]]라면 이들 역시 [[필터 (수학)|필터]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\mathcal B</math>가 [[하향 원순서 집합|하향 집합족]]이라고 하면, 임의의 <math>B_1,B_2\in\mathcal B</math>에 대하여, <math>B_3\subseteq B_1\cap B_2</math>인 <math>B_3\in\mathcal B</math>가 존재한다. 그렇다면 <math>\sup B_3\le\sup(B_1\cap B_2)\le(\sup B_1)\land(\sup B_2)</math>이다.

<math>\mathcal B</math>가 [[상집합]]이며,  임의의 <math>B\in\mathcal B</math> 및 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>\sup B\le y</math>라고 하자. 그렇다면 <math>B\cup\{y\}\in\mathcal B</math>이며 <math>\sup(B\cup\{y\})=y</math>이다.</div></div>

이제, <math>Y</math>에 추가로 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상 공간 (수학)|위상]]이 부여되었다고 하고, <math>\mathcal B</math>가 [[하향 원순서 집합|하향 집합족]]이라고 하자. 그렇다면,
:<math>\sup\colon\mathcal B\to Y</math>
:<math>\sup\colon(B\in\mathcal B)\to\sup B</math>
는 [[그물 (수학)|그물]]을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, <math>\mathcal B</math>의 '''상극한'''은 이 그물의 극한이다.
:<math>\limsup\mathcal B=\lim_{B\to\bot}\sup B</math>

마찬가지로, <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(Y)</math>가 [[상향 원순서 집합|상향 집합족]]이라고 하자. 그렇다면,
:<math>\inf\colon\mathcal B\to Y</math>
:<math>\inf\colon(B\in\mathcal B)\mapsto\inf B</math>
는 [[그물 (수학)|그물]]을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, <math>\mathcal B</math>의 '''하극한'''은 이 그물의 극한이다.
:<math>\liminf\mathcal B=\lim_{B\to\top}\inf B</math>

=== 그물과 점렬 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[부분 순서]]가 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math>
* [[상향 원순서 집합]] <math>(I,\lesssim)</math>
* <math>Y</math> 위의 [[그물 (수학)|그물]] <math>y\colon I\to Y</math>
그렇다면, [[그물 (수학)|그물]] <math>y</math>의 꼬리들의 [[필터 기저]]
:<math>\operatorname{tail}(y)=\left\{\{y_i\colon i\le i_0\}\colon i_0\in I\right\}</math>
를 생각하자. 그물 <math>y</math>의 '''상극한''' 및 '''하극한'''은 [[필터 기저]] <math>\operatorname{tail}(y)</math> (또는 이로부터 생성되는 [[필터 (수학)|필터]])의 상극한·하극한이다.
:<math>\limsup_{i\to\infty}y_i=\limsup\operatorname{tail}(y)</math>
:<math>\liminf_{i\to\infty}y_i=\liminf\operatorname{tail}(y)</math>
특히, <math>Y</math>의 [[점렬]] <math>y\colon\mathbb N\to Y</math>은 [[그물 (수학)|그물]]의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다.

특히, <math>Y</math>가 [[순서 위상]]이 부여된 [[전순서 집합]]이며, 모든 [[상한]]과 [[하한]]이 존재한다고 하자 (예를 들어, [[확장된 실수]] <math>Y=\bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]</math>). 그렇다면, 상극한·하극한의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\limsup_{i\to\infty}y_i=\lim_{i_0\to\infty}\sup_{i\ge i_0}y_i=\inf_{i_0\in I}\sup_{i\ge i_0}y_i</math>
:<math>\liminf_{i\to\infty}y_i=\lim_{i_0\to\infty}\inf_{i\ge i_0}y_i=\sup_{i_0\in I}\inf_{i\ge i_0}y_i</math>

=== 함수 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[부분 순서]]가 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math>
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>
* 점 <math>x_0\in X</math>
그렇다면, 다음과 같은 [[집합족]]을 생각할 수 있다.
:<math>B_{f,x_0,U}=f(U\setminus\{x_0\})=\left\{f(x)\colon x\in U\setminus\{x_0\}\right\}</math>
:<math>\mathcal B_{f,x_0}=\left\{B_{f,U,x_0}\colon U\in\mathcal N_{X,x_0}\right\}</math>
여기서 <math>\mathcal N_{X,x_0}</math>는 <math>x_0\in X</math>의 [[근방 필터]]이다. 즉, <math>x_0</math>의 [[근방]]에서 <math>f</math>가 취하는 값들의 [[집합족]]이다. <math>\mathcal B_{f,x_0}</math>는 <math>Y</math> 속의 [[필터 (수학)|필터]]를 이룬다.

<math>f</math>의 <math>x_0\in X</math>에서의 '''상극한''' <math>\textstyle\limsup_{x\to x_0}f(x)</math>과 '''하극한''' <math>\textstyle\liminf_{x\to x_0}f(x)</math>은 각각 [[필터 (수학)|필터]] <math>\mathcal B_{f,x_0}</math>의 상극한과 하극한이다.
:<math>\limsup_{x\to x_0}f(x)=\limsup\mathcal B_{f,x_0}</math>
:<math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=\liminf\mathcal B_{f,x_0}</math>

특히, 만약 <math>Y</math>가 [[순서 위상]]이 부여된 [[완비 격자|완비]] [[전순서 집합]]이라고 하자 (예를 들어, [[확장된 실수]] <math>Y=\bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]</math>). 그렇다면 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\limsup_{x\to x_0}f(x)=\inf_{U\in\mathcal N_{X,x_0}}\sup f\left(U\setminus\{x_0\}\right)</math>
:<math>\limsup_{x\to x_0}f(x)=\sup_{U\in\mathcal N_{X,x_0}}\inf f\left(U\setminus\{x_0\}\right)</math>

== 성질 ==
=== 존재 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[순서 위상]]이 부여된 [[완비 격자|완비]] [[전순서 집합]] <math>(X,\le)</math>
* [[하향 원순서 집합]] <math>(I,\lesssim)</math>
* 순서를 보존하는 [[그물 (수학)|그물]] <math>x\colon I\to X</math>. 즉, 만약 <math>i,i'\in I</math>에 대하여 <math>i\lesssim i'</math>이라면 <math>x_i\le x_{i'}</math>이다.
그렇다면, <math>x</math>는 <math>\{x_i\}_{i\in I}</math>의 [[하한]]으로 수렴한다.
:<math>\lim_{i\to\bot}x_i=\inf_{i\in I}x_i</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
편의상
:<math>y=\inf_{i\in I}x_i</math>
로 표기하자. 임의의 <math>y_-<y<y_+</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>y_+</math>는 ([[하한]]의 정의에 의하여) <math>\{x_i\}_{i\in I}</math>의 [[하계 (수학)|하계]]가 될 수 없으며, 따라서 <math>x_{i_0}<y</math>인 <math>i_0\in I</math>가 존재한다. 그렇다면, 임의의 <math>i\lesssim i_0</math>에 대하여 <math>y_-<x_i<y_+</math>이다.
</div>
</div>
따라서, 만약 <math>(X,\le)</math>가 [[순서 위상]]이 부여된 [[완비 격자|완비]] [[전순서 집합]] <math>(X,\le)</math>이라면, <math>X</math> 위의 [[필터 기저]] <math>\mathcal B</math>는 항상 상극한과 하극한을 가지며, 이들은 다음과 같다.
:<math>\limsup\mathcal B=\inf_{B\in\mathcal B}\sup B</math>
:<math>\liminf\mathcal B=\sup_{B\in\mathcal B}\inf B</math>
특히, [[확장된 실수]] <math>\bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]</math>는 [[완비 격자|완비]] [[전순서 집합]]이므로, 이 속의 그물 및 [[수열]]은 항상 상극한과 하극한을 가진다.

=== 극한과의 관계 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[순서 위상]]이 부여된 [[완비 격자|완비]] [[전순서 집합]] <math>(X,\le)</math>
* [[하향 원순서 집합]] <math>(I,\lesssim)</math>
* 그물 <math>x\colon I\to X</math>
* 점 <math>x_0\in X</math>
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\textstyle\lim_{i\in I}=x_0</math>. 즉, <math>(x_i)_{i\in I}</math>는 <math>x_0\in X</math>로 수렴한다.
* <math>x_0=\limsup_{i\in I}=\liminf_{i\in I}</math>이다.

=== 상극한과 하극한의 관계 ===
임의의 [[순서체]] <math>(K,\le)</math> 속의 [[집합족]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(K)</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>-\liminf\mathcal B=\limsup(-\mathcal B)</math>
:<math>-\mathcal B=\{-B\colon B\in\mathcal B\}=\left\{\{-b\colon b\in B\}\colon B\in\mathcal B\right\}</math>
마찬가지로, 임의의 [[순서체]] <math>(K,\le)</math> 위의 [[그물 (수학)|그물]] <math>x\colon I\to K</math>에 대하여, 상극한과 하극한에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.
:<math>-\liminf_{i\to\infty}x_i=-\limsup_{n\to\infty}(-x_i)</math>
:<math>\inf_{i\in I}x_i\le\liminf_{i\to\infty}x_i\le\limsup_{i\to\infty}(x_i)\le\sup_{i\in I}x_i</math>

마찬가지로, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 함수 <math>f\colon X\to K</math> 및 점 <math>x_0\in X</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>-\liminf_{x\to x_0}f(x)=\limsup_{x\to x_0}(-f(x))</math>
:<math>\inf_{x\in X}f(x)\le\liminf f(x)\le\limsup_{x\to x_0}f(x)\le\sup_{x\in X}f(x)</math>

=== 가법성 ===
[[순서체]] <math>(K,\le)</math> 속의 두 [[그물 (수학)|그물]]
:<math>a,b\colon I\to K</math>
에 대하여, 만약 아래 부등식들의 우변이 존재한다면, 다음이 성립한다.
:<math>\limsup_{i\in I}(a_i+b_i)\le\limsup_{i\in I}(a_i)+\limsup_{i\in I}(b_i)</math>
:<math>\liminf_{i\in I}(a_i+b_i)\ge\liminf_{i\in I}(a_i)+\liminf_{i\in I}(b_i)</math>
또한, 만약 <math>a</math>나 <math>b</math>가 수렴한다면, 위의 두 부등식은 등식이 된다.

== 예 ==
수열 <math>x_n=\sin n</math>에 대하여, [[원주율|π]]가 [[무리수]]이므로 다음이 성립한다.
:<math>\liminf_{n\to\infty}x_n=-1</math>
:<math>\limsup_{n\to\infty}x_n=+1</math>
이는 [[균등 분포 정리]]에 의해 <math>1,2,3,\ldots\,\bmod\,2\pi</math>가 [[균등 분포 수열|균등 분포]]이기 때문이다.

[[쌍둥이 소수 추측]]은 다음과 같은 내용을 담는다.
:<math>\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)=2</math>
여기서 <math>p_n</math>은 <math>n</math>번째 [[소수 (수론)|소수]]이다.

=== 함수 ===
[[파일:The function sin(1 over x).svg|섬네일|right|<math>f</math>의 그래프 ([[위상수학자의 사인 곡선]])]]
[[위상수학자의 사인 곡선]]을 정의하는 함수
:<math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f\colon x\mapsto\begin{cases}
\sin(1/x)&x\ne0\\
0&x=0
\end{cases}</math>
를 생각하자. 그렇다면,
:<math>\liminf_{x\to 0}f(x)=-1</math>
:<math>\limsup_{x\to 0}f(x)=1</math>
이다. (사실, <math>f(0)</math>의 값은 어떻든 상관없다.)

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}
* {{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2016-06-27
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Upper and lower limits}}
* {{매스월드|id=SupremumLimit|title=Supremum limit}}
* {{매스월드|id=InfimumLimit|title=Infimum limit}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Limit_Superior|제목=Definition: limit superior|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Limit_Inferior|제목=Definition: limit inferior|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Limit_Superior_of_Sequence_of_Sets|제목=Definition: limit superior of a sequence of sets|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Limit_Inferior_of_Sequence_of_Sets|제목=Definition: limit inferior of a sequence of sets|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Limit_Superior_of_Sequence_of_Sets|제목=Equivalence of definitions of limit superior of sequence of sets|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Lower_Limit_(Topological_Space)|제목=Definition: lower limit (topological space)|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Limsup_and_Liminf_are_Limits_of_Bounds|제목=Limsup and liminf are limits of bounds|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Convergence_of_Limsup_and_Liminf|제목=Convergence of limsup and liminf|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Limsup_Squeeze_Theorem|제목=Limsup squeeze theorem|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Relationship_between_Limit_Inferior_and_Lower_Limit|제목=Relationship between limit inferior and lower limit|언어=en}}

[[분류:극한]]