삼중곱 문서 원본 보기

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'''삼중곱'''({{lang|en|triple product}}) 또는 '''삼중 벡터곱'''({{lang|en|triple vector product}})는 [[벡터 미적분학]]에서 [[유클리드 벡터|벡터]] 3개를 곱하는 방법을 말하는 것으로 스칼라 삼중곱과 벡터 삼중곱 2가지가 있다.

== 스칼라 삼중곱 ==
[[파일:Parallelepiped volume.svg|right|섬네일|240px|세개의 벡터로 정의된 평행 육면체]]

'''스칼라 삼중곱'''({{lang|en|scalar triple product}})은 두개의 벡터의 [[벡터곱]]을 나머지 벡터와 [[스칼라곱]]한 것으로 정의된다.
:<math> \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) </math>
보통 괄호 없이 이를 표기하기도 하는데, 점곱을 먼저 계산하면 [[벡터곱]]이 불가능하기 때문에 [[중의성|중의적]]이지 않기 때문이다.
=== 기하학적 의미 ===
스칼라 삼중곱의 [[절댓값]]은 [[기하학]]적으로 스칼라 삼중곱의 3개의 벡터로 정의되는 [[평행육면체]]의 [[부피]]로 정의된다.
:<math>V = \left| \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) \right| </math>

=== 성질 ===
스칼라 삼중곱은 다음과 같이 벡터의 순서를 [[짝순열]]이 되도록 바꾸면 값이 변하지 않는다.

:<math>
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})
</math>

또한, 만약 스칼라 삼중곱의 값이 0이면 세 벡터 '''a''', '''b''', '''c'''는 모두 동일평면상의 벡터라는 성질이 있다.

=== 스칼라 삼중곱과 행렬식 ===
세 벡터의 스칼라 삼중곱은 그 세 벡터들을 [[행벡터]] 또는 [[열벡터]]로 갖는 3 x 3 [[행렬]]의 [[행렬식]]이다. 이를 [[데카르트 좌표계]]의 성분으로 써보면 ([[아인슈타인 표기법]] 사용)
:<math>\begin{align}
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) & =a^i ( \mathbf{b}\times \mathbf{c})_i
\\ & = a^i (\epsilon_{ijk} b^j c^k)
\\ & = \epsilon_{ijk} a^i b^j c^k
\\ & = \begin{vmatrix} a^1 & b^1 & c^1\\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}
\\ & = \begin{vmatrix} a^1 & a^2 & a^3\\ b^1 & b^2 & b^3 \\ c^1 & c^2 & c^3 \end{vmatrix}
\end{align}
</math>
이 되어 쉽게 이를 확인할 수 있다. (여기서 ε<sub>ijk</sub>는 [[레비치비타 기호]]이다.)

또한, [[회전변환]] 행렬의 [[행렬식]]의 값이 1이기 때문에, 스칼라 삼중곱의 값은 좌표의 회전에 대해 값이 변하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다.

=== 스칼라 또는 유사 스칼라 ===
스칼라 삼중곱의 결과는 보통 [[유사스칼라]]이다. 만약 좌표계의 [[방향]]이 미리 주어지고 고정되면 유사스칼라는 (진짜) [[스칼라]]와 같아진다.

좀 더 정확히 말하면, '''a''' · ('''b''' × '''c''') 는
* '''a''', '''b''' × '''c'''가 모두 (진짜) 벡터이거나,
* 둘 모두 [[유사벡터]]
일 때만 (진짜) 스칼라이다. 다른 경우, 스칼라 삼중곱의 결과는 [[유사스칼라]]이다.

=== 스칼라 삼중곱과 쐐기곱 ===
[[파일:Exterior calc triple product.png|섬네일|right|[[차원|3차원]] 공간에서의 [[삼중벡터]]는 방향이 있는 [[부피요소]]이다. 이것의 [[호지 쌍대]]로 얻어지는 [[스칼라]]의 크기는 삼중벡터의 [[부피]]와 같다.]]
스칼라 삼중곱은 [[외대수]]에서의 [[쐐기곱]]을 사용해 표현할 수 있다.
{{본문|외대수}}
먼저, 외대수의 요소들과 쐐기곱에 대해 간단히 알아보자. [[외 미적분학]]에서 두 벡터를 쐐기곱하면 [[이중벡터]]를 얻고, 세 벡터를 쐐기곱하면 [[삼중벡터]]를 얻는다. 간단히 설명하면, 외 미적분학의 이중벡터란, 일종의 방향이 있는 [[평면요소]]이고, 삼중벡터는 일종의 방향이 있는 [[부피요소]]이다. 비슷하게 벡터는 방향이 있는 [[선요소]]이다.
여기서 삼중벡터 '''a'''∧'''b'''∧'''c'''는 세 백터 '''a''', '''b''', and '''c'''로 정의된 평행육면체로 볼 수 있는데 각각의 면은 이중벡터 '''a'''∧'''b''', '''a'''∧'''c''', '''b'''∧'''c'''에 해당한다.

이를 이용해 스칼라 삼중곱과 쐐기곱의 관계를 표현하면, 임의의 주어진 벡터 '''a''', '''b''', '''c'''의 스칼라 삼중곱은 삼중벡터의 [[호지 쌍대]]로 얻어지는 스칼라와 같다. (비슷하게,  이중벡터의 삼중곱은 [[벡터곱]]과 같다.).
:<math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = *(\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\wedge \mathbf{c})</math>

=== 그라스만 기호 ===
스칼라 삼중곱을 다음과 같이 쓰기도 한다.
:<math>\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\equiv[\mathbf a\mathbf b\mathbf c]</math>.
이와 같은 기호를 '''그라스만 기호'''라 한다.<ref>Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학개론》, 경문사, 2008, 17쪽.</ref> 이는 독일의 수학자 [[헤르만 그라스만]]({{lang|de|Hermann Graßmann}})의 이름을 딴 것이다.

== 벡터 삼중곱 ==
'''벡터 삼중곱'''({{lang|en|vector triple product}})은 두 벡터의 [[벡터곱]]에 다시 다른 벡터와 벡터곱을 한 것을 말한다.
:<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})</math>
=== 벡터 삼중곱의 전개 ===
:<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})</math>
:<math>(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a} +(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) \mathbf{b}</math>

위의 첫 번째 공식은 흔히 '''삼중곱 전개''' 또는 '''라그랑주 공식'''
<ref>[[조제프루이 라그랑주]]는 벡터곱을 벡터에 대한 대수적 곱으로 전개하진 않았다. 하지만 그는 성분으로 구성된 동등한 형태를 사용했다. Lagrange, J-L (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires", Oeuvres '''vol 3'''. 참조. 또한 그는 벡터 삼중곱 전개의 성분으로 된 형태를 사용했었다. [[라그랑주의 항등식]] 또는 Kiyoshi Ito (1987). ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics''. MIT Press, p. 1679. {{ISBN|0-262-59020-4}}. 참조.</ref>
또는 '''백캡 규칙'''({{lang|en|BAC-CAB rule}})
<ref>Reitz, Milford, Christy(2006). ''Foundations of Electromagnetic Theory''. Pearson Education, Inc, Benjamin Cummings. p. 5.</ref>
이라고 불린다.

또한 [[그래디언트]]가 들어간 삼중곱과 관계된 항등식은 [[벡터 미적분학]]과 여러 [[물리학]]의 분야에서 유용하게 쓰인다.
:<math> \begin{align}
 \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f})
& {}= \nabla      (\nabla \cdot  \mathbf{f} )
 - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f}  \\
& {}= \mbox{grad }(\mbox{div }   \mathbf{f} )
 - \mbox{laplacian }     \mathbf{f}.
\end{align} </math>
이 식은 [[라플라스-드 람 연산자]] <math>\Delta = d \delta + \delta d</math> 의 특별한 경우로 볼 수도 있다.

중 하나가 [[유사벡터]]라면 삼중곱 '''a''' × ('''b''' × '''c''')의 결과는 벡터이다. 하지만 다른경우엔 모두 [[유사벡터]]이다. 예를 들어, 만약 '''a''', '''b''', '''c'''가 모두 벡터라면, '''b''' × '''c'''는 유사벡터이고, '''a''' × ('''b''' × '''c''')는 벡터가 된다.

== 정의 불가능한 삼중곱들 ==
위의 두 삼중곱과 마찬가지로 다음과 같은 삼중곱들을 생각해 볼 수도 있다.
:<math>\mathbf{a} \times \left( \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \right)</math>
:<math>\mathbf{a} \cdot \left( \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \right)</math>
하지만 위 두 곱은 [[점곱]]이 주는 값이 [[스칼라]]이기 때문에, 괄호를 계산한 뒤에 [[벡터곱]]과 [[점곱]]을 하는 것이 불가능하다. 따라서, 위 두 삼중곱은 정의되지 않는다.

== 각주 ==
{{각주}}
* Lass, Harry (1950). ''Vector and Tensor Analysis''. McGraw-Hill Book Company, Inc., pp.&nbsp;23–25.

{{선형대수학}}

[[분류:벡터 미적분학]]