삼각형의 중심 문서 원본 보기

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기하학에서 '''[[삼각형]]의 중심'''은 삼각형의 고유한 위치이다. 그 중에서 '''오심'''(五心)은 가장 널리 알려진 예이다. 내심, 외심, 방심은 [[원 (기하학)|원]]의 [[중심 (기하학)|중심]]이고, 무게중심, 수심은 원의 중심이 아니다.
== 종류 ==

=== 삼각형의 오심 ===

==== [[내심]] ====

{{본문|내접원}}

삼각형의 [[내접원]]의 [[중심 (기하학)|중심]]으로 세 [[외각 (수학)|내각]]의 이등분선의 교점이다.

==== [[외심]] ====

{{본문|외접원}}

삼각형의 [[외접원]]의 [[중심 (기하학)|중심]]으로 세 [[변 (기하학)|변]]의 수직이등분선의 교점이다. 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 있고, 직각삼각형의 외심은 빗변의 [[중심 (기하학)#선분|중점]]이며, 둔각삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 있다.

==== [[모양중심]](무게중심) ====

삼각형의 꼭짓점과 그 마주보는 변의 중점을 이은 세 개의 [[선분]](중선)이 만나는 [[점 (기하학)|점]]의 교점이다. 세 꼭짓점의 [[좌표]]가 각각 <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\,</math>인 삼각형의 무게중심의 좌표의 공식으로는 <math>\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)</math>가 있다.

==== [[수심 (기하학)|수심]] ====

{{본문|수심 (기하학)}}

삼각형의 세 [[꼭짓점]]에서 각각의 [[대변]]에 내린 [[수선]]의 교점이다.

==== [[방심]] ====

{{본문|방접원}}

삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점이다. 서로 다른 3개의 방심이 생긴다.

=== 삼각형의 여러 중심들 ===

{| class="wikitable" border="1" style="margin: auto;"
|-
!  &nbsp;&nbsp; 삼각형의 중심들  &nbsp;&nbsp;
!  width="130" | 이름
!  &nbsp;&nbsp; 기호  &nbsp;&nbsp;
!  width="350" | 삼선좌표(Trilinear Coordinates)
|-
|  align="center" | ''X''<sub>1</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[내심]]
|  align="center" | ''I''
|  &nbsp;&nbsp; 1 : 1 : 1
|-
|  align="center" | ''X''<sub>2</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[모양중심|무게중심]]
|  align="center" | ''G''
|  &nbsp;&nbsp; ''bc'' : ''ca'' : ''ab''
|-
|  align="center" | ''X''<sub>3</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[외심]]
|  align="center" | ''O''
|  &nbsp;&nbsp; cos ''A'' : cos ''B'' : cos ''C''
|-
|  align="center" | ''X''<sub>4</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[수심]]
|  align="center" | ''H''
|  &nbsp;&nbsp;  sec ''A'' : sec ''B'' : sec ''C''
|-
|  align="center" | ''X''<sub>5</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[구점원]]의 중심
|  align="center" | ''N''
|  &nbsp;&nbsp;  cos(''B'' − ''C'') : cos(''C'' − ''A'') : cos(''A'' − ''B'')
|-
|  align="center" | ''X''<sub>6</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[대칭중심]]
|  align="center" | ''K''
|  &nbsp;&nbsp; ''a'' : ''b'' : ''c''
|-
|  align="center" | ''X''<sub>7</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[제르곤 점]]
|  align="center" | ''G''<sub>''e''</sub>
|  &nbsp;&nbsp;  ''bc''/(''b'' + ''c'' − ''a'') : ''ca''/(''c'' + ''a'' − ''b'') : ''ab''/(''a'' + ''b'' − ''c'')
|-
|  align="center" | ''X''<sub>8</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[나겔 점]]
|  align="center" | ''N''<sub>''a''</sub>
|  &nbsp;&nbsp; (''b'' + ''c'' − ''a'')/''a'' : (''c'' + ''a'' − ''b'')/''b'': (''a'' + ''b'' − ''c'')/''c''
|-
|  align="center" | ''X''<sub>9</sub>
|  &nbsp;&nbsp; Mittenpunkt
|  align="center" | ''M''
|  &nbsp;&nbsp;  ''b'' + ''c'' − ''a'' : ''c'' + ''a'' − ''b'' : ''a'' + ''b'' − ''c''
|-
|  align="center" | ''X''<sub>10</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[슈피커 중심]]
|  align="center" | ''S''<sub>''p''</sub>
|  &nbsp;&nbsp;  ''bc''(''b'' + ''c'') : ''ca''(''c'' + ''a'') : ''ab''(''a'' + ''b'')
|-
|  align="center" | ''X''<sub>11</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[포이어바흐 점]]
|  align="center" | ''F''
|  &nbsp;&nbsp; 1 − cos(''B'' − ''C'') : 1 − cos(''C'' − ''A'') : 1 − cos(''A'' − ''B'')
|-
|  align="center" | ''X''<sub>13</sub>
|  &nbsp;&nbsp; [[페르마 점]]
|  align="center" | ''X''
|  &nbsp;&nbsp; csc(''A'' + π/3) : csc(''B'' + π/3) : csc(''C'' + π/3) &nbsp; &nbsp; *
|-
|  align="center" | ''X''<sub>15</sub><br /> ''X''<sub>16</sub>
|  &nbsp;&nbsp; Isodynamic points
|  align="center" | ''S''<br />''S''′
|  &nbsp;&nbsp; sin(''A'' + π/3) : sin(''B'' + π/3) : sin(''C'' + π/3) &nbsp;&nbsp; <br /> &nbsp;&nbsp; sin(''A'' − π/3) : sin(''B'' − π/3) : sin(''C'' − π/3)
|-
|  align="center" | ''X''<sub>17</sub><br /> ''X''<sub>18</sub>
|  &nbsp;&nbsp; Napoleon points
|  align="center" | ''N''<br />''N''′
|  &nbsp;&nbsp; sec(''A'' − π/3) : sec(''B'' − π/3) : sec(''C'' − π/3)   &nbsp;&nbsp; <br />  &nbsp;&nbsp;  sec(''A'' + π/3) : sec(''B'' + π/3) : sec(''C'' + π/3)
|-
|  align="center" | ''X''<sub>99 </sub>
|  &nbsp;&nbsp; Steiner point
|  align="center" | ''S''
|  &nbsp;&nbsp; ''bc''/(''b''<sup>2</sup> − ''c''<sup>2</sup>) : ''ca''/(''c''<sup>2</sup> − ''a''<sup>2</sup>) : ''ab''/(''a''<sup>2</sup> − ''b''<sup>2</sup>)
|}
== 같이 보기 ==
* [[무게 중심 (기하학)]]
* [[오일러 직선]]

{{오심}}

[[분류:삼각형의 중심| ]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]