삼각형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴2|세모|세모(歲暮)|섣달그믐|세모(細毛)|참풀가사리}}
{| border="0" solid #B0E0E6 cellpadding="2" cellspacing="1" style="float:right; margin-left:1em; background:#E6E6FA;"
! colspan="2" | <span style="color:#191970;">삼각형</span>
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| colspan="2" align="center" |[[파일:Triangle_with_notations_2.svg|center|200px]]
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|변과 각의 수 || 3
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|내각의 합 || 180[[도 (각도)|°]]
|}
{{다각형 정보
|name        = 삼각형
|image       = Triangle illustration.svg
|caption     = 삼각형
|edges       = 3
|schläfli    = {3} (정삼각형의 경우)
|area        = 다양한 방법이 존재;<br>[[#넓이]]
|angle       = 60° (정삼각형의 경우)
}}
'''삼각형'''(三角形, 세모꼴)은 세 개의 [[점 (기하학)|점]]과 세 개의 [[선분]]으로 이루어진 [[다각형]]이다. 삼각형의 세 점을 [[꼭짓점]]이라 하고, 선분을 변(邊)이라고 한다.

== 종류 ==
{{삼각형}}

== 넓이 ==
=== 밑변의 길이와 높이를 알 때 ===
밑변의 길이가 <math>a</math>이고, 높이가 <math>h_a</math>인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. (기본 공식)
:<math> S = \frac {a h_a} {2} </math>

=== [[삼각함수]] 공식 ===
==== 세 변의 길이를 알 때 ====
세 변의 길이가 각각  a, b, c 이고, <math>k=\frac{a+b+c}{2}</math> 일 때 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. ([[헤론의 공식]])
:<math> S = \sqrt{k(k-a)(k-b)(k-c)} </math>

==== 두 변과 끼인각의 크기를 알 때 ====
세 변의 길이가 각각  a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
:<math> S = \frac {bc \sin A} {2}= \frac {ca \sin B} {2}= \frac {ab \sin C} {2} </math>

==== 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때 ====
세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
:<math> S = \frac {a^2 \sin B \sin C} {2 \sin (B+C)} = \frac {b^2 \sin C \sin A} {2 \sin (C+A)} = \frac {c^2 \sin A \sin B} {2 \sin (A+B)} </math>

=== 세 변의 길이와 [[내접원]]의 반지름의 길이를 알 때 ===
세 변의 길이가 각각 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>이고, 내접원의 반지름이 <math>r</math>이며, <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
:<math> \ S = rs </math>

=== 세 변의 길이와 [[외접원]]의 반지름의 길이를 알 때 ===
세 변의 길이가 각각 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>이고, 외접원의 반지름이 <math>R</math>인 삼각형의 넓이 <math>S</math>는 다음과 같다.
:<math> S = \frac {abc} {4R} </math>

=== 세 변의 길이와 [[방접원]]의 반지름 중 하나의 길이를 알 때 ===
세 변의 길이가 각각 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 <math>r_a</math>, <math>r_b</math>, <math>r_c</math>이며, <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
:<math> \ S =(s-a) r_a = (s-b) r_b = (s-c) r_c </math>

=== 세 각의 크기와 [[내접원]]의 반지름의 길이를 알 때 ===
세 각의 크기가 각각 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>이고, 내접원의 반지름이 <math>r</math>인 삼각형의 넓이 <math>S</math>는 다음과 같다.
:<math> S = r^2 \left( \cot \frac {A} {2}+ \cot \frac {B} {2}+ \cot \frac {C} {2} \right) </math>

=== 세 각의 크기와 [[외접원]]의 반지름의 길이를 알 때 ===
세 각의 크기가 각각 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>이고, 외접원의 반지름이 <math>R</math>인 삼각형의 넓이 <math>S</math>는 다음과 같다.
:<math> S = 2R^2 \cdot \sin A \sin B \sin C </math>

=== [[내접원]]과 모든 [[방접원]]의 반지름의 길이를 알 때 ===
내접원의 반지름이 <math>r</math>이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 <math>r_a</math>, <math>r_b</math>, <math>r_c</math>인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
:<math> S = \sqrt{r r_a r_b r_c} </math>

=== 2차원 직교좌표 ===
2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>),(''x''<sub>2</sub>,''y''<sub>2</sub>)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
:<math> S = \frac{|x_1 y_2 - x_2 y_1|}{2} </math>

=== 2차원 극좌표 ===
2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(''r''<sub>1</sub>,''θ''<sub>1</sub>),(''r''<sub>2</sub>,''θ''<sub>2</sub>)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
:<math> S = \frac{|r_1 \cos \theta_1 r_2 \sin \theta_2 - r_2 \cos \theta_2 r_1 \sin \theta_1|}{2}= \frac{r_1 r_2 \sin (|\theta_1 - \theta_2|)}{2} </math>

=== n차원 좌표 공간 ===
한 점을 두 벡터의 시점으로 하고 각각 다른 벡터를 종점으로 하는 두 벡터를 <math> \vec{X}, \vec{Y} </math> 라 하자. 2보다 크거나 같은 ''n''차원 유클리드 공간에서 표현된 삼각형의 넓이를 <math> S_{n} </math>라 하면

:<math> S_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{( \left| \vec{X} \right| \left| \vec{Y} \right| )^{2} - ( \vec{X} \cdot \vec{Y} )^{2} } </math>

이 표현을 성분으로 바꾸어서 표현하여 <math> \vec{X} = ( x_{1}\, , x_{2}\, , x_{3}\, , ... \, , x_{n} ),\ \vec{Y} = ( y_{1}\, , y_{2}\, , y_{3}\, , ... \, , y_{n} ) </math> 라 하면 다음과 같은 표현이 가능하다.

:<math> S_{n} = \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} \\ x_{j} & y_{j} \end{vmatrix} ^{2} } </math>

벡터의 증명은 사인을 이용한 삼각형 넓이 공식과 벡터의 내적을, 성분의 증명은 귀납법을 통해서 증명 가능하다.

성분의 증명에서 <math> n=2 </math> 인 경우가 [[#2차원 직교좌표]]가 된다.

=== [[정삼각형]] ===
한 변의 길이가 <math>a</math>인 정삼각형의 넓이는 다음과 같다.
:<math> S = \frac {\sqrt {3} } {4} a^2 </math>

== 성질 ==
=== 유클리드 기하학 ===
다음의 성질은 [[유클리드 기하학]]에서 성립한다.

* 세 내각의 합은 180도이다. 단, 쌍곡면, 구면, 타원면 등에서는 이 법칙이 적용되지 않는다.[[비유클리드 기하학]] 문서 참고.
* 삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
* 그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다. 예를 들어, 각 변의 길이가 2cm, 3cm, 5cm인 삼각형이나 각 변의 길이가 3cm, 4cm, 10cm인 삼각형 등은 성립할 수 없다.
* [[중점연결정리]]
* [[피타고라스의 정리]]
* [[사인 법칙]]
* [[코사인 법칙]]
* [[체바 정리]]/[[메넬라오스 정리]]

=== 비유클리드 기하학 ===
[[파일:Triangles (spherical geometry).jpg|섬네일|지구 위에 그려진 직각삼각형의 예]]
[[비유클리드 기하학]]에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 되지 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 [[직각삼각형]]을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과함을 보여준다.

=== 기타 성질 ===
== 삼각형의 합동 조건 ==
삼각형의 [[합동 (기하학)|합동]] 조건에는 대표적인 4가지가 있다.

* SSS 합동: 모든 변의 길이가 같을 때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다.
* SAS 합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
* ASA 합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
* AAS 합동: 두 각과 이웃한 변의 길이를 아는 경우. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것과 ASA 합동으로부터 나온다.

* RHS 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 변의 길이가 같은 경우.
* RHA 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 각의 크기가 같은 경우.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[삼각형의 오심]]
* [[나블라|역삼각형]]
* [[삼각법]]

{{다각형}}

{{전거 통제}}

[[분류:삼각형| ]]