삼각행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''삼각행렬'''(三角行列, {{llang|en|triangular matrix}})은 [[정사각행렬]]의 특수한 경우로, [[주대각선]]을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다.
[[파일:Diagonal-matrix001.svg|오른쪽|200px| 주대각선]]
다음과 같은 모양을 가지는 행렬 <math>\mathbf{L}</math>을 '''하삼각행렬'''(lower triangular matrix)로 정의한다.{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|p=100|2013}}
:<math>\mathbf{L}= \begin{bmatrix} l_{1,1} & & & & 0 \\ l_{2,1} & l_{2,2} & & & \\ l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\ l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n} \end{bmatrix}</math>

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 <math>\mathbf{U}</math>을 '''상삼각행렬'''(upper triangular matrix)로 정의한다.{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|p=100|2013}}
:<math>\mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n} \\ & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & u_{n-1,n}\\ 0 & & & & u_{n,n} \end{bmatrix}</math>

만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 '''순삼각행렬'''(strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 '''순하삼각행렬''', '''순상삼각행렬'''로 부른다.

== 성질 ==

* 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 [[대각행렬]]이다.
* 삼각행렬이면서 [[정규행렬]]인 행렬은 [[대각행렬]]이다.
* 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, [[역행렬]]에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 [[행렬]]은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다.
** 단, 순삼각행렬 등과 같이 행렬식이 0의 값을 가질 경우 역행렬이 존재하지 않으므로, 역행렬에 대해 닫혀있기 위해서는 삼각행렬이 가역행렬이어야 한다는 추가 조건이 있다.
* 삼각행렬의 [[행렬식]]은 대각항들의 곱과 같다.
* [[대각행렬]]과 [[행사다리꼴행렬|사다리꼴행렬]]은 삼각행렬의 특수한 형태이다.

== 예 ==
* (순)상삼각행렬(식)<ref>[[소행렬식#소행렬식의 라플라스 전개에의한 실베스터 행렬의4차방정식 판별식 유도|소행렬식의 라플라스전개에의한 실베스터 행렬의 4차방정식 판별식 유도 중에서]]</ref>

:<math>
+eee\begin{vmatrix}

{\color{red}{ 4a}} &  3b &  2c &  d     \\
0  &  {\color{red}{ 4a}} &  3b &  2c    \\
0  &  0  &  {\color{red}{ 4a}} &  3b    \\
0  & 0   &  0  &  {\color{red}{ 4a }}   \\  \end{vmatrix} =
+eee \left(
{\color{red}{ 4a}}\begin{vmatrix}


  {\color{red}{ 4a}} &  3b &  2c    \\
  0  &  {\color{red}{ 4a}} &  3b    \\
 0   &  0  &  {\color{red}{ 4a}}    \\  \end{vmatrix}
-3b\begin{vmatrix}

0  &    3b &  2c    \\
0  &    4a &  3b    \\
0  &   0  &  4a    \\  \end{vmatrix}
+2c\begin{vmatrix}


0  &  4a &    2c    \\
0  &  0  &    3b    \\
0  & 0   &    4a    \\  \end{vmatrix}
-d\begin{vmatrix}


0  &  4a &  3b     \\
0  &  0  &  4a     \\
0  & 0   &  0     \\  \end{vmatrix}
\right)
</math>
:<math>

+eee{\color{red}{ 4a}}\begin{vmatrix}
  {\color{red}{ 4a}} &  3b &  2c    \\
  0  &  {\color{red}{ 4a}} &  3b    \\
 0   &  0  & {\color{red}{  4a}}    \\  \end{vmatrix} =
+eee{\color{red}{ 4a}} \left(
 {\color{red}{ 4a}}\begin{vmatrix}

    {\color{red}{ 4a}} &  3b    \\
   0  &  {\color{red}{ 4a}}    \\  \end{vmatrix}
 -3b\begin{vmatrix}

  0  &    3b    \\
 0   &    4a    \\  \end{vmatrix}
 +2c\begin{vmatrix}

  0  &  4a     \\
 0   &  0      \\  \end{vmatrix}
\right)
</math>
:<math>
-eee3b\begin{vmatrix}
0  &    3b &  2c    \\
0  &    4a &  3b    \\
0  &   0  &  4a    \\  \end{vmatrix} =
-eee3b \left(
\cancel{ 0 \begin{vmatrix}

    4a &  3b    \\
   0  &  4a    \\  \end{vmatrix} }
 -3b\begin{vmatrix}

0  &      3b    \\
0  &     4a    \\  \end{vmatrix}
 +2c\begin{vmatrix}

0  &    4a     \\
0  &   0      \\  \end{vmatrix}
\right)
</math>
:<math>
+eee2c\begin{vmatrix}
0  &  4a &    2c    \\
0  &  0  &    3b    \\
0  & 0   &    4a    \\  \end{vmatrix}=
+eee2c \left(
\cancel{ 0\begin{vmatrix}

  0  &    3b    \\
 0   &    4a    \\  \end{vmatrix}}
-4a\begin{vmatrix}

0  &     3b    \\
0  &     4a    \\  \end{vmatrix}
+2c\begin{vmatrix}

0  &  0      \\
0  & 0       \\  \end{vmatrix}
\right)
</math>
:<math>
-eeed\begin{vmatrix}
0  &  4a &  3b     \\
0  &  0  &  4a     \\
0  & 0   &  0     \\  \end{vmatrix} =
-eeed \left(
\cancel{ 0\begin{vmatrix}

  0  &  4a     \\
 0   &  0     \\  \end{vmatrix} }
-4a\begin{vmatrix}

0  &    4a     \\
0  &  0     \\  \end{vmatrix}
+3b\begin{vmatrix}

0  &  0       \\
0  & 0        \\  \end{vmatrix}
\right)
</math>
:<math>

 +eee{\color{red}{ 4a4a}}\begin{vmatrix}

    {\color{red}{ 4a}} &  3b    \\
   0  &  {\color{red}{ 4a}}    \\  \end{vmatrix}=+eee{\color{red}{ 4a4a}}({\color{red}{ 4a4a}}-\cancel{3b0})=+{\color{red}{ 4^4 a^4}} e^3=+{\color{red}{ 256a^4}} e^3
</math>
:<math>
 -eee4a3b\begin{vmatrix}

  0  &    3b    \\
 0   &    4a    \\  \end{vmatrix}=-eee4a3b(04a-3b0)=0
</math>
:<math>
 +eee4a2c\begin{vmatrix}

  0  &  4a     \\
 0   &  0      \\  \end{vmatrix} = +eee4a2c(00-4a0)=0

</math>
:<math>

 +eee3b3b\begin{vmatrix}

0  &      3b    \\
0  &     4a    \\  \end{vmatrix} =+eee3b3b(04a-3b0)=0
</math>
:<math>
 -eee3b2c\begin{vmatrix}

0  &    4a     \\
0  &   0      \\  \end{vmatrix}= -eee3b2c(00-4a0)=0

</math>
:<math>

-eee2c4a\begin{vmatrix}

0  &     3b    \\
0  &     4a    \\  \end{vmatrix}=-eee2c4a(04a-3b0)=0
</math>
:<math>
+eee2c2c\begin{vmatrix}

0  &  0      \\
0  & 0       \\  \end{vmatrix}=+eee2c2c(00-00)=0

</math>
:<math>

+eeed4a\begin{vmatrix}

0  &    4a     \\
0  &  0     \\  \end{vmatrix} =+eeed4a(00-4a0)=0
</math>
:<math>
-eeed3b\begin{vmatrix}

0  &  0       \\
0  & 0        \\  \end{vmatrix} =-eeed3b(00-00)=0
</math>


* (순)하삼각행렬(식)
:<math>
 aaa\begin{vmatrix}

     {\color{red}{ d }} &  0  &  0  &  0   \\
      2c &  {\color{red}{ d}}  &  0  &  0   \\
      3b &  2c & {\color{red}{ d }}  &  0   \\
      4a &  3b & 2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix} =

aaa \left(
{\color{red}{ d}}\begin{vmatrix}

        {\color{red}{ d}}  &  0  &  0   \\
        2c & {\color{red}{ d}}   &  0   \\
        3b & 2c  & {\color{red}{  d}}   \\  \end{vmatrix}
-\cancel{ 0\begin{vmatrix}

      2c &    0  &  0   \\
      3b &   d   &  0   \\
      4a &   2c  &  d   \\  \end{vmatrix}
+0\begin{vmatrix}

      2c &  d  &    0   \\
      3b &  2c &   0   \\
      4a &  3b &  d   \\  \end{vmatrix}
-0\begin{vmatrix}

      2c &  d  &  0     \\
      3b &  2c & d      \\
      4a &  3b & 2c     \\  \end{vmatrix}}
\right)
</math>
:<math>
aaa{\color{red}{ d}}\begin{vmatrix}

        {\color{red}{ d}}  &  0  &  0   \\
        2c & {\color{red}{ d }}  &  0   \\
        3b & 2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix}=
aaa{\color{red}{ d}} \left(
{\color{red}{ d}} \begin{vmatrix}


         {\color{red}{ d}}   &  0   \\
         2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix}
\cancel{ -0\begin{vmatrix}


        2c &   0   \\
        3b &   d   \\  \end{vmatrix}
+0\begin{vmatrix}
        2c & d      \\
        3b & 2c     \\  \end{vmatrix}}

\right)
</math>
:<math>

aaa{\color{red}{ dd}}\begin{vmatrix}
         {\color{red}{ d}}   &  0   \\
         2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix}=aaa{\color{red}{ dd}}({\color{red}{ dd}}-\cancel{02c})=a^3{\color{red}{ d^4}}
</math>


* 삼각행렬 <math>A</math>에 대해서 <math>xI-A</math>도 역시 삼각행렬이기 때문에, [[고윳값 행렬|고유행렬식]] <math>det(xI-A)</math>은 대각항들을 근으로 가진다. 따라서 <math>A</math>의 [[고윳값]]은 각 대각항이 된다.

* [[단위행렬|단위]] 하삼각행렬
:<math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
\blacksquare & 1 & 0 & 0 \\
\blacksquare& \blacksquare & 1 & 0 \\
\blacksquare &\blacksquare &\blacksquare & 1 \\
\end{bmatrix}
</math>

== 전진 대입과 후진 대입 ==
행렬 방정식 <math>\mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> 또는 <math>\mathbf{U}\mathbf{x} = \mathbf{b}</math>의 형태에서 각각 하삼각행렬에 대한 전진대입( forward substitution) 및 상 삼각행렬에대한 후진대입(back substitution)이라고하는 반복적 프로세스로 해결하기가 용이하다. 우선 소위 하삼각행렬의 경우의 프로세스는 <math> x_{1}</math>을 첫번째 계산으로 해서 다음 방정식으로 대입하여 <math> x_ {2}</math> , ~<math> x_{n}</math>까지 반복한다. 상삼각행렬에서는 역으로 작동하는데 , 첫번째 계산은 <math> x_{n} </math>, 그런 다음 이를 이전 방정식으로 대입하여 <math> x_{n-1} </math>, 반복하여 <math> x_{1}</math>에 이른다.

행렬을 뒤집는것은 아니다.

* 전진대입
행렬 방정식 L x = b는 선형 방정식의 시스템([[연립방정식|연립]])으로 쓸 수 있다
:<math>
\begin{matrix}
\ell_{1,1} x_1 &   &             &            &             & = &    b_1 \\
\ell_{2,1} x_1 & + & \ell_{2,2} x_2 &            &             & = &    b_2 \\
     \vdots &   &      \vdots &     \ddots &             &   & \vdots \\
\ell_{(m-1),1} x_1 & + & \ell_{(m-1),2} x_2 & + \dotsb + & \ell_{(m-1),(m-1)} x_{(m-1)} & = &   b_{(m-1)}  \\
\ell_{m,1} x_1 & + & \ell_{m,2} x_2 & + \dotsb + & \ell_{m,m} x_m & = &   b_m  \\
\end{matrix}
</math>
여기서 <math>x_1</math>는 첫 번째 방정식 (<math>\ell_{1,1} x_1 = b_1</math>) 에만 관련된다. 이어서 두 번째 방정식은 <math>x_1</math> 과 <math>x_2</math>에 관련된다. 따라서 이미 해결 된 값으로 대입하여 풀수있게된다. 계속해서 마지막의 직전은 <math>x_m</math>이전에 접근한 값 <math>x_{m-1}</math>이다. 그리고 맨 마지막 <math>m</math>번째 방정식은 <math>x_m</math>이다.

이러한 <math>x_1,x_2,\dots,x_{m-1},x_m</math> 결과 수식은 다음과 같다.
:<math> x_1 {\ell_{1,1}}  = {b_1}</math>
:<math> x_1 = \frac{b_1}{\ell_{1,1}} </math> 이고,
:<math> x_2 {\ell_{2,2}} + \ell_{2,1} x_1 = b_2  </math>
:<math> x_2 = \frac{b_2 - \ell_{2,1} x_1}{\ell_{2,2}} </math> 이고,
:<math> x_3 {\ell_{3,3}} +x_2 {\ell_{2,2}} + \ell_{2,1} x_1 = b_3  </math>

:<math> x_3 = {{b_3 -x_2 {\ell_{2,2}}  -  \ell_{2,1} x_1}\over{\ell_{3,3}}} </math> 이고,

:정리하면,
:<math> x_1 = \frac{b_1}{\ell_{1,1}} </math>
:<math> x_2 = \frac{b_2 - \ell_{2,1} x_1}{\ell_{2,2}} </math>
:<math> x_3 = {{b_3 -x_2 {\ell_{2,2}}  -  \ell_{2,1} x_1}\over{\ell_{3,3}}} </math>

:계속해서 ,
::<math> \vdots </math>

:일반화하면
:<math> x_m = {{b_m - \left( \sum_{i=1}^{m-1} \ell_{m,i}x_i \right) } \over {\ell_{m,m}} } </math>

* 후진대입
:상삼각행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 역방향에서 같은 방식으로 적용하여 접근할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[사다리꼴행렬]]
* [[LU 분해]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/TriangularMatrix.html 매스월드]
* {{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8 |ref=harv}}
* [http://mathworld.wolfram.com/LowerTriangularMatrix.html 매스월드]
* [http://mathworld.wolfram.com/StrictlyLowerTriangularMatrix.html 매스월드]
* [http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=5054 정보통신기술용어해설]

{{전거 통제}}

[[분류:행렬]]
[[분류:수치선형대수학]]