삼각군 문서 원본 보기

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[[군론]]과 [[기하학]]에서 '''삼각군'''(三角群, {{llang|en|triangle group}})은 음 또는 양 또는 0의 곡률을 갖는 평면에서, 삼각형을 이루는 세 개의 직선에 대한 반사들로 생성되는 [[군 (수학)|군]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 2 이상의 세 수 <math>l,m,n\in\{2,3,4,\dotsc,\infty\}</math>.
<math>(l,m,n)</math>-'''삼각군''' <math>\triangle(l,m,n)</math>은 [[군 (수학)|군]]이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다.
* 대수적으로, 삼각군은 [[콕서터 군]]의 일종이다.
* 기하학적으로, 삼각군은 어떤 평면의 삼각형 [[테셀레이션]]을 정의하는 대칭군이다.
세 정수 <math>(l,m,n)</math>의 [[순열]]을 취해도 서로 [[동형]]인 군을 얻는다. 따라서, 보통 <math>l\le m\le n</math>인 순서로 배열한다.

=== 대수적 정의 ===
<math>(l,m,n)</math>-'''삼각군''' <math>\triangle(l,m,n)</math>은 다음과 같은 [[군의 표시|표시]]를 갖는 [[콕서터 군]]이다.
:<math>\triangle(l,m,n) = \langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m = (ca)^n = 1 \rangle</math>
여기서, <math>l</math> 또는 <math>m</math> 또는 <math>n</math>이 ∞라면, 해당 관계를 생략하는 것으로 처리한다. 예를 들어,
:<math>\triangle(l,m,\infty) = \langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m =  1 \rangle</math>
이다.

=== 기하학적 정의 ===
<math>X</math>를 다음과 같이 정의하자.
* 만약 <math>1/l+1/m+1/n<1</math>라면, <math>X</math>는 [[쌍곡 평면]] <math>\mathbb H^2</math>이다.
* 만약 <math>1/l+1/m+1/n=1</math>라면, <math>X</math>는 유클리드 평면 <math>\mathbb R^2</math>이다.
* 만약 <math>1/l+1/m+1/n>1</math>라면, <math>X</math>는 실수 [[사영 평면]] <math>\operatorname{\mathbb{RP}}^2</math>이다.
이 경우, <math>X</math> 위에, 세 각이 각각 <math>(\pi/l,\pi/m,\pi/n)</math> [[라디안]]인 [[삼각형]]을 그릴 수 있다. (여기서 <math>\pi/\infty=0</math>이다.) 이 삼각형의 세 변을 축으로 하는 반사들로 생성되는 군을 <math>(l,m,n)</math>-'''삼각군'''이라고 한다. 이에 따라, 예를 들어 만약 <math>1/l+1/m+1/n=1</math>라면 삼각군 <math>\triangle(l,m,n)</math>은 2차원 [[유클리드 군]]
:<math>\operatorname{IO}(2;\mathbb R)
=\mathbb R^2\rtimes\operatorname O(2;\mathbb R)</math>
의 [[부분군]]이 된다.

쌍곡 평면에서는 세 각 가운데 일부가 0인 삼각형이 존재한다. 유클리드 평면에서, 각이 <math>(\pi/2,\pi/2,0)</math>으로 이루어진 “삼각형”은 무한한 넓이의 도형, 예를 들어
:<math>\{(x,y)\colon x\ge0,0\le y\le 1\}</math>
이다.

=== 폰 뒤크 군 ===
'''폰 뒤크 군'''(von Dyck群, {{llang|en|von Dyck group}}) <math>\operatorname D(l,m,n)\le\triangle(l,m,n)</math>은 <math>(l,m,n)</math>-삼각군 <math>\triangle(l,m,n)</math>의, 다음과 같은 [[부분군]]이다.
* 대수적 정의: <math>(l,m,n)</math>-삼각군 <math>\triangle(l,m,n)=\langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m = (ca)^n = 1 \rangle</math>의 원소들 가운데, 짝수 개의 생성원 <math>(a,b,c)</math>로 생성되는 원소들의 군이다. 즉, <math>(x,y)=(ab,bc)</math>로 놓으면, <math>\operatorname D(l,m,n)=\langle x,y|x^l=y^m=(xy)^n=1\rangle</math>이다.

* 기하학적 정의: <math>(l,m,n)</math>-삼각군 <math>\triangle(l,m,n)</math> 가운데, 국소적으로 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하는 것이다. ([[가향 다양체]]인 쌍곡 평면 및 유클리드 평면의 경우, 이는 대역적으로 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하는 것이지만, 실수 사영 평면은 [[가향 다양체]]가 아니므로 대역적인 [[방향 (다양체)|방향]]의 개념이 존재하지 않는다.)

== 성질 ==
삼각군 <math>\triangle(l,m,n)</math>이 [[유한군]]일 [[필요 충분 조건]]은 구형인 경우, 즉 <math>1/l+1/m+1/n>1</math>인 것이다. 이는 [[쌍곡 평면]]이나 [[유클리드 평면]]과 달리, 실수 사영 평면은 [[콤팩트 공간]]이기 때문이다.

쌍곡 폰 뒤크 군은 [[푹스 군]]이다.

== 분류 ==
구형 삼각군, 즉 <math>1/l+1/m+1/n>1</math>인 경우의 목록은 다음과 같다.
* <math>(2,2,n)</math>, <math>n=2,3,4,\dotsc</math>
* <math>(2,3,3)</math>. 이는 [[정사면체]]의 대칭군이다.
* <math>(2,3,4)</math>. 이는 [[정육면체]] 및 [[정팔면체]]의 대칭군이다.
* <math>(2,3,5)</math>. 이는 [[정십이면체]] 및 [[정이십면체]]의 대칭군이다.

<gallery>
파일:Spherical square bipyramid2.png|(2,2,2)-삼각군
파일:Spherical hexagonal bipyramid2.png|(2,2,3)-삼각군
파일:Spherical octagonal bipyramid2.png|(2,2,4)-삼각군
파일:Spherical decagonal bipyramid2.png|(2,2,5)-삼각군
파일:Spherical dodecagonal bipyramid2.png|(2,2,6)-삼각군
파일:E2 tiling 22i-2 dual.png|(2,2,∞)-삼각군
</gallery>
<gallery>
파일:Tetrahedral reflection domains.png|(2,3,3)-삼각군
파일:Octahedral reflection domains.png|(2,3,4)-삼각군
파일:Icosahedral reflection domains.png|(2,3,5)-삼각군
</gallery>

유클리드 삼각군, 즉 <math>1/l+1/m+1/n=1</math>인 경우의 목록은 다음과 같다.
* <math>(2,3,6)</math>. 이는 평면의 [[정육각형]]을 통한 [[테셀레이션]]에 대응한다.
* <math>(2,4,4)</math>. 이는 평면의 [[정사각형]]을 통한 [[테셀레이션]]에 대응한다.
* <math>(3,3,3)</math>. 이는 평면의 [[정삼각형]]을 통한 [[테셀레이션]]에 대응한다.

<gallery>
파일:Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg|(2,3,6)-삼각군에 대응하는 [[테셀레이션]]
파일:Tile V488 bicolor.svg|(2,4,4)-삼각군에 대응하는 [[테셀레이션]]
파일:Tiling Regular 3-6 Triangular.svg|(3,3,3)-삼각군에 대응하는 [[테셀레이션]]
</gallery>

위 목록에 속하지 않은 것들은 모두 쌍곡 삼각군이다. 즉, 그 목록은 다음과 같다.
* <math>(2,3,n)</math>, <math>n=7,8,9,\dotsc</math>
* <math>(2,4,n)</math>, <math>n=5,6,7,\dotsc</math>
* <math>(3,3,n)</math>, <math>n=4,5,6,\dotsc</math>
* <math>(3,m,n)</math>, <math>4\le m\le n</math>
* <math>(l,m,n)</math>, <math>4\le l\le m\le n</math>

<gallery>
파일:H2checkers 237.png|(2,3,7)-삼각군
파일:H2checkers 238.png|(2,3,8)-삼각군
파일:Hyperbolic domains 932 black.png|(2,3,9)-삼각군
파일:H2checkers 23i.png|(2,3,∞)-삼각군
</gallery>
<gallery>
파일:H2checkers 245.png|(2,4,5)-삼각군
파일:H2checkers 246.png|(2,4,6)-삼각군
파일:H2checkers 247.png|(2,4,7)-삼각군
파일:H2checkers 248.png|(2,4,8)-삼각군
파일:H2checkers 24i.png|(2,4,∞)-삼각군
</gallery>
<gallery>
파일:H2checkers 255.png|(2,5,5)-삼각군
파일:H2checkers 256.png|(2,5,6)-삼각군
파일:H2checkers 257.png|(2,5,7)-삼각군
</gallery>
<gallery>
파일:H2checkers 334.png|(3,3,4)-삼각군
파일:H2checkers 335.png|(3,3,5)-삼각군
파일:H2checkers 336.png|(3,3,6)-삼각군
파일:H2checkers 337.png|(3,3,7)-삼각군
파일:H2checkers 33i.png|(3,3,∞)-삼각군
</gallery>
<gallery>
파일:H2checkers 344.png|(3,4,4)-삼각군
파일:H2checkers 366.png|(3,6,6)-삼각군
파일:H2checkers 666.png|(6,6,6)-삼각군
파일:H2checkers iii.png|(∞,∞,∞)-삼각군
</gallery>

== 예 ==
(2,3,7)-폰 뒤크 군은 [[클라인 4차 곡선]]의 이론에서 등장한다.

[[모듈러 군]]
:<math>\langle S,T|S^2=(ST)^3=1\rangle</math>
은 (2,3,∞)-폰 뒤크 군이다.

== 역사 ==
1856년에 이미 [[윌리엄 로언 해밀턴]]이 [[정이십면체]]의 대칭군이 폰 뒤크 군 <math>\operatorname D(2,3,5)</math>임을 증명하였으며, 이 군을 “정이십면체 산법”({{llang|en|icosian calculus|아이코시언 캘큘러스}})이라고 불렀다.<ref name="Hamilton">{{저널 인용
|title=ⅬⅥ. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity
|이름= William Rowan|성= Hamilton
|저자링크=윌리엄 로언 해밀턴
|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Icosian/NewSys.pdf
|journal=Philosophical Magazine
|권=12|호=81
|year=1856
|pages=446–446
|doi=10.1080/14786445608642212
|언어=en
}}</ref> 이 논문에서 해밀턴은 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
나는 최근 '''비가환 [[1의 거듭제곱근]]'''의 새로운 체계 — 또는 '''체계들의 족(族)''' —를 발견하였다. 이는 [[사원수]][…]와 어떤 면에서는 유사하지만, 전혀 다르다. 또한, 이들은 사원수보다도 더 쉽게 '''기하학적인 해석'''을 갖는다. 이 새 족 가운데 현재 가장 흥미롭다고 생각되는 것은 다음과 같은 관계를 따르는 세 개의 기호 <math>\iota</math>, <math>\kappa</math>, <math>\lambda</math>로 구성된다.
:<math>
\left.
{
{\textstyle\iota^2=1,\qquad\kappa^3=1,\qquad\lambda^5=1,}\atop
{\textstyle\lambda=\iota\kappa;}
}
\right\}\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad\mathrm{(A)}
</math>
여기서 <math>\iota\kappa</math>는 <math>\kappa\iota</math>와 '''다르다''' […].
<br>
{{lang|en|I have lately been led to the conception of a new system, or rather ''family of systems'', of ''non-commutative roots of unity'', which are entirely distinct from […] the quaternions, though having some general analogy thereto; and which admit, even more easily than the quaternion symbols do, of ''geometrical interpretation''. In the system which seems at present to be the most interesting one, among those included in this new family, I assume three
symbols, <math>\iota</math>, <math>\kappa</math>, <math>\lambda</math>, such that
:<math>
\left.
{
{\textstyle\iota^2=1,\qquad\kappa^3=1,\qquad\lambda^5=1,}\atop
{\textstyle\lambda=\iota\kappa;}
}
\right\}\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad\mathrm{(A)}
</math>
where <math>\iota\kappa</math> must be ''distinguished'' from <math>\kappa\iota</math> […].
}}
|<ref name="Hamilton"/>{{rp|446}}<!--
-->}}
“폰 뒤크 군”이라는 용어는 독일의 수학자 발터 프란츠 안톤 폰 뒤크({{llang|de|Walther Franz Anton von Dyck}}, 1856~1934)의 이름을 딴 것이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=TriangularSymmetryGroup|title=Triangular symmetry group}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2007/REUPapers/FINALFULL/Morrison.pdf|제목=Tessellating the hyperbolic plane|이름=Jean|성=Morrison|날짜=2007-08-19|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.cmi.ac.in/~pdeshpande/projects/triangle%20groups.pdf|제목=Triangle group|이름=Dipankar|성=Mondal|날짜=2013-04-26|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://math.la.asu.edu/~paupert/Steffen.pdf|제목=Triangle reflection groups|이름=Kyle|성=Steffen|날짜=2009-05-11|언어=en}}

[[분류:군론]]
[[분류:다포체]]
[[분류:유한군]]
[[분류:테셀레이션]]
[[분류:구면삼각법]]
[[분류:기하군론]]