산술 도함수 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''산술 도함수'''(算術導函數, {{llang|en|arithmetic derivative}})란 [[정수]] 상에서 [[소인수 분해]]를 기초로 정의된 [[함수]]로서, [[라이프니츠 법칙]]을 만족하여 일종의 [[도함수]]처럼 계산할 수 있다.

== 정의 ==
우선 음이 아닌 정수에 대해 '''산술 도함수'''는 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.
* 임의의 [[소수 (수론)|소수]] <math>p \!</math>에 대해 <math>p' \;=\; 1 \!</math>.
* 임의의 <math>a \textrm{,}\, b \;\in\; \mathbb{N}</math>에 대해 <math>(ab)'\;=\;a'b\,+\,ab' \!</math>. (라이프니츠 법칙)

여기에 덧붙여 <math>1' := 0</math> 과 <math>0' := 0</math> 이라 둔다. 그러면 이상에서 모든 [[자연수]] 및 0에 대해 산술 도함수가 잘 정의된다. 구체적으로, 임의의 1보다 큰 정수 <math>x \!</math>에 대해 [[산술의 기본정리]]를 적용하여 다음과 같이 놓자.

:<math>x = p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}\textrm{,}</math>

여기서 <math>p_1,\, \dots,\, p_k</math>는 서로 다른 소수이며 <math>e_1,\, \dots,\, e_k</math>는 양의 정수이다. 그러면, <math>x \!</math>의 산술 도함수는,

:<math>x' = \sum_{i=1}^k e_ip_1^{e_1}\cdots p_{i-1}^{e_{i-1}}p_i^{e_i-1}p_{i+1}^{e_{i+1}}\cdots p_k^{e_k} = \sum_{i=1}^k e_i\frac{x}{p_i}</math>

와 같이 명시적으로 구할 수 있다. 이러한 정의를 처음으로 공식화한 사람은 E. J. Barbeau인데, Barbeau는 이상의 자연수 및 0에 대한 정의를 받아들이면 음의 정수에 대하여도 <math>(-x)' \;:=\; -(x')</math> 와 같이 정의할 경우 모든 정수 상에서 산술 도함수가 유일하게 확장됨을 증명하였다.

== 기본 성질과 확장 ==
산술 도함수는 이상의 정의에 따라 소수 <math>p \!</math> 와 양의 정수 <math>a</math>에 대해 다음과 같은 거듭제곱 법칙을 만족한다.
:<math>(p^a)' = ap^{a-1}</math>

이를테면 다음과 같다.
: <math>
\begin{align}
81' = (3^4)' & = (9\cdot 9)' = 9'\cdot 9 + 9\cdot 9' = 2[9(3\cdot 3)'] \\
& = 2[9(3'\cdot 3 + 3\cdot 3')] = 2[9\cdot 6] = 108 = 4\cdot 3^3.
\end{align}
</math>

또 기술한 Barbeau는 [[유리수]]에 대하여 다음의 [[몫의 법칙]]을 만족하도록 산술 도함수를 확장할 수 있음도 보였다.

:<math>\left(\frac{a}{b}\right)' = \frac{a'b-b'a}{b^2} \ .</math>

Victor Ufnarovski와 [[보 올란데르]](Bo Åhlander)는 이상의 정의를 일부 [[무리수]]에 대해서도 확장하였다. 이러한 무리수에 대한 확장에서는, 전술한 소인수 분해를 통한 명시적 정의식의 형태는 그대로 적용되나 지수 부분인 <math>e_i</math>는 임의의 유리수를 취할 수 있다.

나아가, 형식적으로 <math>(\ln n)' := \frac{n'}{n}</math> 와 같이 [[로그 도함수]]를 정의할 수 있는데, 이 로그 도함수의 정의역을 자연수에 제한할 경우 완전 가법적 함수(totally additive function)가 된다. 즉, 임의의 자연수 a, b에 대하여,

:<math>(\ln ab)' = (\ln a)' + (\ln b)'</math>

이 성립하게 된다.

== 평균 차수 ==
산술 도함수와 산술 로그 도함수의 평균 차수(average order)에 대한 다음과 같은 결과가 있다.(이하에서 ''n'' 은 자연수이다)

:<math> \sum_{n \le x} n' = (1/2)T_0 x^2 + O(x^{1+\delta}) </math>
:<math> \sum_{n \le x} \frac{n'}{n} = T_0 x + O(\log x \log\log x) </math>

여기서 δ는 임의의 양수이며, <math>T_0</math>는 다음과 같다.

:<math>T_0 = \sum_p \frac{1}{p(p-2)} \approx 0.749 \ . </math>

== 부등식과 상하계 ==
E. J. Barbeau는 산술 도함수의 상하계에 대하여 다음 두 부등식이 성립함을 보였다.(이하에서 ''n'' 은 자연수이다)
: <math>n' \le \frac{n \log_k n}{k}</math>
여기서 ''k''는 ''n'' 의 최소 소인수이며,
: <math>
n' \geq sn^{\frac{s-1}{s}}
</math>
여기서 ''s''는 ''n'' 을 나누는 소수의 가짓수이다. 이상의 부등식들은 ''n'' 이 2의 거듭제곱수일 때, 즉 <math>n=2^m</math> 꼴에 대해서만 등호가 성립한다.

Alexander Loiko와 [[요나스 에른스트 올손]](Jonas Ernst Olsson), [[니클라스 달]](Niklas Dahl)은 산술 도함수의 정의역을 앞에서와 같은 방식으로 유리수로 확장했을 때에는, 두 서로 다른 유리수 사이에는 임의로 크거나 작은 산술 도함수를 갖는 유리수들이 존재함을 보임으로써 비슷한 부등식이 성립할 수 없음을 보였다.

== 수론의 문제들과의 관련성 ==
빅토르 우프나롭스키(Victor Ufnarovski)와 보 알란데르는 유명한 수론의 미해결 문제인 [[쌍둥이 소수 추측]], [[소수 세짝|소수 세짝 추측]], [[골트바흐의 추측]]과 산술 도함수가 관련이 있음을 보였다. 예로, [[골트바흐의 추측]]을 가정하면 1보다 큰 자연수 ''k''에 대하여 ''n''<nowiki>'</nowiki> = 2''k'' 을 만족하는 자연수 ''n'' 이 항상 존재한다. 또 쌍둥이 소수 추측을 가정하면 ''k''<nowiki>''</nowiki> = 1 을 만족하는 자연수 ''k''는 무수히 많다.

== 같이 보기 ==
* [[수론적 함수]]
* [[미분 리 대수]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용| first=E. J. | last=Barbeau | title=Remarks on an arithmetic derivative | journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]] | volume=4 | year=1961 | pages=117–122 | doi=10.4153/CMB-1961-013-0 | zbl=0101.03702 }}
* {{저널 인용| first1=Victor | last1=Ufnarovski | first2=Bo | last2=Åhlander | url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Ufnarovski/ufnarovski.html | title=How to Differentiate a Number | journal=[[Journal of Integer Sequences]] | volume=6 | year=2003 | at=Article 03.3.4 | zbl=1142.11305 | issn=1530-7638 }}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/ArithmeticDerivative.html Arithmetic Derivative] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20071018000709/http://planetmath.org/encyclopedia/ArithmeticDerivative.html}}'', [[Planet Math]]'', accessed 04:15, 9 April 2008 (UTC)
* L. Westrick. ''[http://web.mit.edu/lwest/www/intmain.pdf Investigations of the Number Derivative]''.
* Peterson, I. ''[https://web.archive.org/web/20040422150314/http://www.maa.org/mathland/mathtrek_03_22_04.html Math Trek: Deriving the Structure of Numbers]''.
* {{저널 인용| first=Michael | last=Stay | journal=[[Journal of Integer Sequences]] | volume=8 | year=2005 | at=Article 05.1.4 | title=Generalized Number Derivatives | url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Stay/stay44.html | zbl=1065.05019 | issn=1530-7638 }}
* Dahl N., Olsson J., Loiko A., ''[http://arxiv.org/abs/1108.4762 Investigation of the properties of the arithmetic derivative]''.

[[분류:수론]]
[[분류:수론적 함수]]
[[분류:미분학]]