사타케 도표 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''사타케 도표'''({{llang|en|Satake diagram}})는 [[반단순 리 군]] 또는 [[가약군]]의 구조를 나타내는 [[그래프]]의 일종이다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.mat.univie.ac.at/~cap/files/wisser.pdf | 제목=Classification of complex and real semisimple Lie algebras | 이름=Florian | 성=Wisser | 날짜=2001-06|언어=en}}</ref> [[딘킨 도표]]에 추가로 꼭짓점의 색깔(검은색 또는 흰색)과 흰 꼭짓점 위의 [[절대 갈루아 군]]의 작용을 그린 것이다.

== 정의 ==
실수 [[반단순 리 대수]] <matth>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 대합 <math>\theta</math>에 대한 카르탕 분해
:<math>\mathfrak g = \mathfrak k \oplus \mathfrak p</math>
가 주어졌다고 하자. 즉, <math>\mathfrak g^{\mathbb C}</math>의 콤팩트 실수 형태는 <math>\mathfrak k \oplus \mathrm i\mathfrak p</math>이다. <math>\mathfrak p</math>의 극대 아벨 부분 리 대수 <math>\mathfrak a \subseteq \mathfrak p</math>를 고르고, <math>\theta</math>에 대하여 불변이며 <math>\mathfrak a</math>를 카르탕 부분 대수
:<math>\mathfrak h \subseteq \mathfrak g</math>
를 고르자. 그렇다면, [[근계]]
:<math>\Delta(\mathfrak g,\mathfrak h) \subseteq\mathfrak h^\vee</math>
및 무게 공간
:<math>\mathfrak g^{\mathbb C} = \mathfrak h^{\mathbb C} \oplus \bigoplus_{\alpha\in\Delta(\mathfrak g,\mathfrak h)}\mathfrak g_\alpha</math>
를 정의할 수 있다. 그렇다면, 근들을 다음과 같은 두 종류로 분류할 수 있다.
* <math>\mathfrak a</math>에서 값이 0인 근.
* <math>\mathfrak a</math>에서 값이 0이 아닌 근. 이 위에는 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb R)=\{\operatorname{id}, z\mapsto \bar z\}</math>이 [[군의 작용|작용]]한다.
그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 '''사타케 도표'''는 <math>\mathfrak g</math>의 [[딘킨 도표]]에 다음과 같은 추가 구조를 더한 것이다.
* <math>\mathfrak a</math>에서 값이 0인 근에 대응되는 꼭짓점은 검게 칠한다.
* <math>\mathfrak a</math>에서 값이 0이 아닌 근에 대응되는 꼭짓점은 희게 칠한다.
* 갈루아 군의 작용에 대하여 같은 궤도에 있는 두 흰 꼭짓점은 화살표로 잇는다.

보다 일반적으로, 임의의 체 위에 정의된 [[가약군]]에 대하여 사타케 도표를 정의할 수 있다. 이 경우, 흰 꼭짓점 위에는 해당 체의 [[절대 갈루아 군]]이 작용하게 된다.

== 예 ==
콤팩트 실수 [[반단순 리 대수]]의 사타케 도표에서는 모든 꼭짓점이 검다.

분할 실수 [[반단순 리 대수]]의 사타케 도표에서는 모든 꼭짓점이 희며, 아무런 화살표도 없다 (즉, 갈루아 군의 작용은 [[항등 함수]]이다). 

== 역사 ==
사타케 이치로({{llang|ja|{{ruby-ja|佐武 一郎|さたけ いちろう}}}}, 1927〜2014)가 1960년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Satake | first1=Ichirô | title=On representations and compactifications of symmetric Riemannian spaces | jstor=1969880 |mr=0118775 | year=1960 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=71 | pages=77–110 | doi=10.2307/1969880|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:리 대수]]