사차원 전류 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{전자기학}}

[[특수상대론]] 및 [[일반상대론]]에서 '''사차원 전류'''(Four-current)<ref>{{서적 인용|title=Introduction to Special Relativity |edition=2nd |first1=Wolfgang |last1=Rindler |publisher=Oxford Science Publications |year=1991 |isbn=978-0-19-853952-0 |pages=103–107 |url=https://books.google.com/books?id=YKUPAQAAMAAJ}}</ref>는 [[전류 밀도]]를 4차원으로 표시한 유사체를 의미한다. 이를 '''벡터 전류'''(vector current)라고도 부르며 3차원 시공간을 벗어난 4차원 시공간에서 기하학적으로 표현하는 데 이용한다. 수학적으로는 [[사차원 벡터]]로 표현하며 [[로런츠 공변량]]이다.

이와 비슷하게 어떠한 형태로든 "전류 밀도"를 가질 수 있는데 단위 면적당 단위 시간 동안 전하가 흐른 흐름을 말한다. 이를 단순히 전류 밀도라고 표현한다.<ref>{{서적 인용|url=|title=Fundamentals of physics|last1=Walker| first1=Jearl|date=2014| publisher=Wiley|last2=Halliday| first2=David |last3=Resnick |first3=Robert |isbn=9781118230732|edition=10th |location=Hoboken, NJ| page= 749|oclc=950235056}}</ref>

이 문서에서는 [[아인슈타인 표기법]]을 사용하여 식을 전개한다.

== 정의 ==
[[계량 부호수]]를 (+−−−)를 가진 [[민코프스키 공간|민코프스키 거리공간]] <math>\eta_{\mu\nu}</math>에서 사차원 전류는 다음과 같이 표기된다.

:<math>J^\alpha = \left(c \rho, j^1 , j^2 , j^3 \right) = \left(c \rho, \mathbf{j} \right)</math>

여기서 ''c''는 [[빛의 속력]]이며, ''ρ''는 [[전하 밀도]]이고 '''j'''는 3차원 전류 밀도를 나타낸다. [[아인슈타인 표기법|합지표]] ''α''는 [[시공간]] [[차원]]을 의미한다.

=== 시공간 안에서 전하의 움직임 ===
{{참고|로런츠 변환}}

위 식은 [[사차원 속도]]를 통해 아래 식으로도 표기할 수 있다.<ref>Roald K. Wangsness, Electromagnetic Fields, 2nd edition (1986), p. 518, 519</ref><ref>Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics, Dover edition (1987), p. 122, 123</ref>

:<math>
J^\alpha = \rho_0 U^\alpha = \rho_u \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} U^\alpha
</math>

여기서

* <math>\rho_u</math>는 속력 ''u''(3차원 [[속도]]의 크기)로 [[전류|전하가 흐르는 것]]으로 보이는 관성계 관측자 O가 관측한 [[전하 밀도]]이다.
* <math>\rho_0</math>는 정지전하밀도, 즉 관성계의 관측자 O와 비교하여 전하와 함께 속력 ''u''로 진행하고 있는 관측자가 관측한 전하 밀도이다.

정성적으로 보았을 때 전하 밀도의 변화는 [[길이수축|로런츠 수축]]으로 압축된 전하 공간 때문이다.

=== 물리학적 해석 ===
정지 상태의 전하는 일정 시간을 두고 관측하면 '그 자리'에 그대로 있는 것으로 보인다. 이 전하가 움직이기 시작하면 시간에 따라 위치가 변화하므로 전하는 속도를 가지게 되고 전하의 움직임은 바로 [[전류]]를 구성하게 된다. 이는 전하 밀도는 시간과 관련이 있고 전류 밀도는 공간과 관련이 있다는 의미이다. 사차원 전류는 하나의 식을 통해 전하 밀도와 전류 밀도를 묶어 서술한다.

== 연속 방정식 ==
{{참고|연속 방정식}}

특수상대론에서 [[전하량 보존 법칙]]이란 ''J''의 [[로런츠 공변량]]의 [[발산 (벡터)|발산]]이 0임을 의미한다.<ref>J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition (1999), p. 554</ref>

:<math>\dfrac{\partial J^\alpha}{\partial x^\alpha} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0</math>

여기서 <math>\partial/\partial x^\alpha </math>는 [[사차원 기울기]]를 의미한다. 이것이 [[연속 방정식]]이다.

일반상대론에서는 연속 방정식을 다음과 같이 표현한다.

:<math>J^\alpha{}_{;\alpha}=0\,</math>

여기서 세미콜론 ;은 [[공변도함수]]를 의미한다.

== 맥스웰 방정식 ==
{{참고|맥스웰 방정식}}

맥스웰 방정식에서 사차원 전류는 [[전자기 퍼텐셜]] 관점에서 2가지 등식으로 나타난다.<ref>as [ref. 1, p519]</ref>

:<math>\Box A^\alpha = \mu_0 J^\alpha </math>

여기서 <math>\Box </math>는 [[달랑베르 연산자]]이다.

[[전자기장 텐서]]를 통해 나타내면 다음과 같다.

:<math>\partial_\beta F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^\alpha</math>

여기서 ''μ''<sub>0</sub>는 [[진공의 투자율|자유공간의 투자율]]을 의미한다.

== 일반상대론 ==
{{참고|굽은 시공간에서 맥스웰 방정식}}

일반상대론에서 사차원 전류는 다음과 같은 전자기 전위의 발산으로 정의된다.

:<math>\mathcal{D}^{\mu \nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, g^{\beta \nu} \, \sqrt{-g} \,</math>

즉

:<math>J^\mu = \partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu}</math>

== 같이 보기 ==
* [[사차원 벡터]]
* [[뇌터 정리]]
* [[고전 전자기학에서의 공변성 항]]
* [[리치 미적분]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [https://www.britannica.com/science/vector-current vector current] - Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica

{{전거 통제}}

[[분류:전자기학]]
[[분류:사차원 벡터]]