사인 법칙 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''사인 법칙'''(-法則, {{llang|en|law of sines}}) 혹은 '''라미의 정리'''는 [[삼각형]]의 변의 길이와 각의 [[삼각 함수|사인]] 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.

== 정의 ==
[[삼각형]] <math>ABC</math>의 각 <math>A,B,C</math>을 마주보는 변을 <math>a,b,c</math>라고 하자. '''사인 법칙'''에 따르면 다음이 성립한다.<ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4 
}}</ref>{{rp|20, 52}}
:<math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R</math>
여기서 <math>R</math>은 삼각형 <math>ABC</math>의 [[외접원]]의 [[반지름]]이다.

== 증명 ==
=== 삼각형의 넓이를 통한 증명 ===
[[파일:Law of sines proof.svg|섬네일|200픽셀|사인 법칙의 증명]]
삼각형 <math>ABC</math>의 변 <math>c</math> 위의 높이를 <math>h</math>라고 하자.<ref name="Isaacs" />{{rp|20}} 삼각법에 따라 <math>h=b\sin A</math>이므로, 삼각형 <math>ABC</math>의 넓이 <math>K</math>는 다음과 같다.
:<math>K=\frac 12ch=\frac 12bc\sin A</math>
자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.
:<math>2K=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C</math>
양변에 <math>abc</math>를 나누면 사인 법칙을 얻는다.
:<math>\frac{\sin A}a=\frac{\sin B}b=\frac{\sin C}c</math>

=== 외접원을 통한 증명 ===
{{여러 그림
|그림1=Dowód sinusów2.svg
|설명1=<math>C</math>가 예각일 경우
|그림2=Dowód sinusów1.svg
|설명2=<math>C</math>가 직각일 경우
|그림3=Dowód sinusów3.svg
|설명3=<math>C</math>가 둔각일 경우
}}
삼각형 <math>ABC</math>의 [[외접원]]을 그리자.<ref name="Isaacs" />{{rp|52}} <math>A</math>를 지나는 지름을 <math>AD</math>라고 하자. 따라서 <math>ABD</math>는 직각 삼각형이며, 빗변은 <math>AD=2R</math>이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
:<math>c=2R\sin D</math>
만약 <math>C</math>가 예각일 경우, <math>C</math>와 <math>D</math>는 같은 호의 [[원주각]]이므로 <math>\angle C=\angle D</math>이다. 따라서 다음이 성립한다.
:<math>c=2R\sin C</math>
만약 <math>C</math>가 직각일 경우, <math>B</math>와 <math>D</math>는 같은 점이므로, <math>2R=c</math>이며 <math>\sin C=1</math>이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 <math>C</math>가 둔각일 경우, <math>C</math>와 <math>D</math>는 [[내접 사각형]]의 두 마주보는 각이므로, <math>\angle C=\pi-\angle D</math>이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 <math>A,B</math>에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

=== 코사인 법칙을 통한 증명 ===
[[코사인 법칙]]에 따라 다음이 성립한다.<ref name="Nystedt>{{저널 인용
|성=Nystedt
|이름=Patrik
|제목=A Proof of the Law of Sines Using the Law of Cosines
|저널=Mathematics Magazine
|권=90
|호=3
|출판사=Taylor & Francis, Ltd.
|날짜=2017-06
|쪽=180-181
|issn=0025-570X
|doi=10.4169/math.mag.90.3.180
|mr=3654857
}}</ref>{{rp|180}}
:<math>\begin{align}\frac{\sin^2A}{a^2}
&=\frac{1-\cos^2A}{a^2}\\
&=\frac{4b^2c^2-4b^2c^2\cos^2 A}{4a^2b^2c^2}\\
&=\frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-4bc)^2}{4a^2b^2c^2}\\
&=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}{4a^2b^2c^2}
\end{align}</math>
결과가 <math>a,b,c</math>에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

== 구면 사인 법칙 ==
[[단위 구면]] 위의 [[구면 삼각형]] <math>ABC</math>의 각 <math>A,B,C</math>가 마주보는 변을 <math>a,b,c</math>라고 하자. '''구면 사인 법칙'''(球面-法則, {{llang|en|spherical law of sines}})에 따르면 다음이 성립한다.
:<math>\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}</math>

== 구면 사인 법칙의 증명 ==
=== 순수 기하 증명 ===
구의 중심을 <math>O</math>라고 하자. <math>OA</math>에서 아무 점 <math>P</math>를 취하자. <math>P</math>를 지나는 평면 <math>BOC</math>의 수선을 <math>PD</math>라고 하자. <math>D</math>를 지나는 직선 <math>OB,OC</math>의 수선을 각각 <math>DE,DF</math>라고 하자. [[삼수선 정리]]에 따라 <math>PE,PF</math>는 각각 <math>OB,OC</math>와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
:<math>PD=PE\sin B=OP\sin c\sin B</math>
:<math>PD=PF\sin  C=OP\sin b\sin C</math>
두 식에서 <math>PD/OP</math>를 소거하면 다음을 얻는다.
:<math>\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}</math>
남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.<ref name="Todhunter" />{{rp|21, Art. 42}}

=== 벡터를 통한 증명 ===
구의 중심과 세 꼭짓점 <math>A,B,C</math>를 잇는 벡터를 각각 <math>\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c</math>라고 하자. [[삼중곱]]의 정의에 따라 다음이 성립한다.
:<math>(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)=((\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c)\mathbf a</math>
:<math>(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)=((\mathbf b\times\mathbf a)\cdot\mathbf c)\mathbf b</math>
:<math>(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)=((\mathbf c\times\mathbf a)\cdot\mathbf b)\mathbf c</math>
따라서 다음이 성립한다.
:<math>|(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)|=
|(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)|=
|(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)|</math>
여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.
:<math>|(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)|=\sin c\sin b\sin A</math>
:<math>|(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)|=\sin c\sin a\sin B</math>
:<math>|(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)|=\sin b\sin a\sin C</math>

=== 구면 코사인 법칙을 통한 증명 ===
[[제1 구면 코사인 법칙]]을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.<ref name="Todhunter">{{서적 인용
|url=http://www.gutenberg.org/ebooks/19770
|성=Todhunter
|이름=I.
|제목=Spherical Trigonometry: For the use of colleges and schools
|언어=en
|판=5
|출판사=Macmillan and Co.
|위치=London
|날짜=1886
}}</ref>{{rp|20-21, Art. 40, 41}}
:<math>\begin{align}\frac{\sin^2A}{\sin^2a}
&=\frac{1-\cos^2A}{\sin^2a}\\
&=\frac{\sin^2b\sin^2c-\sin^2b\sin^2c\cos^2A}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}\\
&=\frac{\sin^2b\sin^2c-(\cos a-\cos b\cos c)^2}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}\\
&=\frac{1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}
\end{align}</math>

== 쌍곡 사인 법칙 ==
[[가우스 곡률]]이 -1인 [[쌍곡면]] 위의 [[쌍곡 삼각형]] <math>ABC</math>의 각 <math>A,B,C</math>가 마주보는 변을 <math>a,b,c</math>라고 하자. '''쌍곡 사인 법칙'''(雙曲-法則, {{llang|en|hyperbolic law of sines}})에 따르면 다음이 성립한다.<ref name="liz">{{서적 인용
|저자1=李忠
|저자2=周建莹
|제목=双曲几何
|언어=zh
|출판사=湖南教育出版社
|위치=长沙
|날짜=1991-12
|isbn=978-7-5355-1376-2
}}</ref>{{rp|72}}
:<math>\frac{\sinh a}{\sin A}=\frac{\sinh b}{\sin B}=\frac{\sinh c}{\sin C}</math>
여기서 <math>\sinh</math>는 [[쌍곡 사인]]이다.

== 쌍곡 사인 법칙의 증명 ==
=== 쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명 ===
[[제1 쌍곡 코사인 법칙]]을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.<ref name="liz" />{{rp|74}}
:<math>\begin{align}\frac{\sin^2A}{\sinh^2a}
&=\frac{1-\cos^2A}{\sinh^2a}\\
&=\frac{\sinh^2b\sinh^2c-\sinh^2b\sinh^2c\cos^2A}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}\\
&=\frac{\sinh^2b\sinh^2c-(\cosh b\cosh c-\cosh a)^2}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}\\
&=\frac{1-\cosh^2a-\cosh^2b-\cosh^2c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}
\end{align}</math>

== 같이 보기 ==
* [[코사인 법칙]]
* [[탄젠트 법칙]]
* [[코탄젠트 법칙]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{포털|수학}}
* {{proofwiki|id=Law of ines|제목=Law of sines}}

[[분류:삼각법]]
[[분류:각]]
[[분류:삼각형에 대한 정리]]